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2025-2026学年江西省南昌中学三经路校区高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在数列中，，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知公差为的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则数列的项数为( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，( )
A. 或 B. C. D. 或
4.已知数列是等比数列，，则“对任意的正整数都有”是“数列是单调递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.函数在区间上的平均变化率为( )
A. B. C. D.
6.设是可导函数，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则( )
A. B. C. D.
8.已知过原点的直线与函数的图象相切，则的斜率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的首项，且，则下列结论正确的有( )
A. B. 数列是递增数列
C. 数列是等比数列 D.
10.下列求函数的导数正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，则( )
A.
B. 曲线在点处的切线方程为
C. 恰有个极值点
D. 的图象与轴恰有个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，且，，则 ．
13.已知数列的前项和为，且，，则 ．
14.函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足．
求的通项公式；
已知，求．
16.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程；
讨论的单调性．
17.本小题分
已知函数．
求函数的极值；
求函数在上的值域；
设，证明：．
18.本小题分
已知数列的前项和为，满足．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
若对任意，不等式恒成立，且，为常数已知，求的最小值．
19.本小题分
已知函数在处取得极值．
求函数的解析式．
求曲线在处的切线方程．
若时，函数有三个零点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，，
当时，，且，
两式作差得，
所以，
显然符合上式，
所以；
根据可知，
所以，
所以，
则．
16.解：，则，
因为，
所以，得，又，
所以的方程为，即；
，
当时，，则在上单调递增，
当时，令，得或，令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
当时，令，得或，
令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
17.解：已知函数的定义域为，
则，
因，故，令得，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
因此只有极小值，无极大值，且极小值为，无极大值．
由的单调性可知在单调递减，在单调递增，
因此最小值为，
又，，
因为，所以，
故在上的最大值为，
因此在上的值域为．
因为，
由，得，即，
令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即恒成立，
所以．
18.解：因为数列的前项和为，满足，
，，
所以当时，，也满足，
所以；
由知，
，
，
得，
，
故．
把代入，
所以等价于，即，
对任意恒成立，所以，
设，显然递减，
当时，取最大值，
所以，的最小值．
19.解：由题意函数在处取得极值，
对函数求导可得，
所以，解得，
经检验符合题意，
所以函数的解析式为；
由可得，
所以，又，
因此切线方程为，即；
易知，令可得或；
因此当或时，；当时，，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
易知，
画出函数在时的图象如下图所示：
根据函数有三个零点可知函数的图象与有个交点，
因此可得的取值范围为．
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