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2025-2026学年广东省佛山市顺德区罗定邦中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设平面向量，点，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.以下各式，结果为零向量的是( )
A. B.
C. D.
3.已知，，分别为的三个内角，，的对边，若，，，则角等于( )
A. 或 B. C. D.
4.下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，为向量，则“”是“或”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.如图，设，，线段与交于点，且，则( )
A.
B.
C.
D.
8.设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，满足，，则( )
A. 与的夹角为 B. 与的夹角为
C. D.
10.图所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图，单位：表示在时间单位：时，过山车看作质点离地平面的高度，轨道最高点距离地平面，最低点距离地平面，当时，过山车到达最高点，当时，过山车到达最低点，设，则( )
A.
B.
C. 入口处距离地平面
D. 一个周期内过山车距离地平面的高度不大于的时长是
11.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有( )
A. ：：：：
B. 有可能是的重心
C. 若为的外心，则：：：：
D. 若为的内心，则为直角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的最大值为 ．
13.已知向量，，若，则实数的值为 ．
14.在中，已知，是的方程的两个实根，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
若，求的坐标；
若，求与的夹角．
16.本小题分
已知，，函数．
求函数的解析式及周期；
若，且，求的值．
17.本小题分
在中，角，，的对应边分别是，，，且．
求；
若边上的高等于，求的值．
18.本小题分
如图，中，，，，，为的中点，设与相交于点．
若，求的值；
求；
设动点在线段上包含端点，求的取值范围．
19.本小题分
如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道即的三条边，是直角顶点来处理污水，管道越长，污水净化效果越好设计要求管道的接口是的中点，，分别落在线段，上已知米，米，记．
试将污水净化管道的长度表示为的函数；
若，求此时管道的长度；
当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．
参考答案
1.
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4.
5.
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8.
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10.
11.
12.
13.．
14.
15.解：，由，可设，
再根据，求得，
或．
若，
则，
．
设与的夹角为，，则，求得，．
16.解：由题意得
，可得的周期；
由，
可得，即，
因为，，
所以，
可得．
17.解：由，结合正弦定理得，
在中，，
所以，化简得，
因为中，，
所以，即，结合，可得；
如图所示，过作，垂足为，
由知，故是等腰直角三角形，
所以，，
在中，，
所以，
在中，由余弦定理可得．
18.解：因为，为的中点，
所以，
因为，，三点共线，所以，所以；
因为中，，，，
所以以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
因为，
所以；
由知，
所以，
因为动点在线段上包含端点，设，，
所以的坐标为，
所以，
所以，
所以当时，的取得最小值；
当时，取得最大值，
所以的取值范围为
19.解：因为，，都是直角三角形，且，，
所以，
所以．
由于，，
所以，故，
管道的总长度，定义域为；
因为，
所以，
又因为，
所以，所以，
所以；
．
设，则，
由于，
所以．
因为在内单调递减，
于是当时，取得最大值米．
当或时所铺设的管道最长为米．
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