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2025-2026学年广东省广州市第六十五中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的共轭复数为( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，为中点，在线段上，且，则( )
A.
B.
C.
D.
3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
5.已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.在中，若，且，那么一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
7.如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法中不正确的是( )
A. 平面
B.
C. 直线与平面所成的角为
D. 异面直线与所成的角为
8.中，，，是外接圆圆心，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数，则下列命题中正确的是( )
A. B. 在复平面上对应的点在第一象限
C. 是纯虚数 D. 的虚部为
10.的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，，则有两解
C. 若，且，则为等边三角形
D. 若，，则面积的最大值为
11.如图，为正圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是( )
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 三棱锥体积最大时，其内切球半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为 ．
13.与的夹角为锐角，的取值范围为 ．
14.如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的高为，圆台的体积为 ；在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，满足，，且与的夹角为．
分别求与的值；
若，求的值．
16.本小题分
在中，角、、的对边分别为、、，且．
求角；
若，，求边和的面积．
17.本小题分
已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点．
求证：平面；
求证：平面．
求三棱锥的体积．
18.本小题分
如图所示正四棱锥，，为侧棱上一动点．
正四棱锥的表面积；
若直线面，求证：为棱的中点；
若，侧棱上是否存在一点，使得平面若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
19.本小题分
在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且．
证明：；
若的平分线交于，，，求的值；
求的取值范围．
参考答案
1.
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6.
7.
8.
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10.
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12.
13.
14.
15.又，，与的夹角为，
可得，
所以；
因为，
则有，
即，解得．
16.解：根据题意可知，，由余弦定理得：，
所以，
故，又，故B；
，
根据正弦定理，
所以，
因为，
所以．
17.证明：如图，连接，，
四边形为矩形，为的中点，
与交于点，且为的中点，又点为的中点，，
又平面，且平面，
平面．
证明：直三棱柱满足，，点，分别为，的中点．
可得，，，
平面
解：由图可知，
，，
又三棱柱为直三棱柱，且，
．
，，点为的中点，
，．
又平面，
，
平面．
又为的中点，
到平面的距离为，
．
18.解：因为，可得，
正四棱锥的表面积；
证明：如图，连接与交于点，则为的中点，连接，
因为直线平面，平面，
平面平面，所以，
又为的中点，所以为棱的中点；
在侧棱上存在一点，使得平面，满足，
理由如下：取的中点，连接，
因为，所以，又为的中点，
在中，，又平面，平面，所以平面，
过作，交于，连接，又平面，平面，
所以平面，又，，平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面，由，得，
由，为的中点，得，
所以，
即侧棱上存在一点，当满足时，平面．
19.解：证明：因为，由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
所以，所以．
由知，所以为锐角，
因为，所以，，
因为，
所以，
所以，
所以，即．
因为是锐角三角形，所以，解得，
由余弦函数性质可得，，
由正弦定理得
．
令，则在上单调递增，
而，，所以，
所以．
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