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2026年重庆中考数学模拟试题（二）
一、选择题（共10题，每题4分，共40分）
1．-的相反数是 （　　）
A．5 B．-5 C．- D．
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】-的相反数是．
故选D．
【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键
2．如图是由5个小正方体组成的几何体，则它的俯视图是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由几何体可得出 它的俯视图是：
故答案为：B.
【分析】根据俯视图的定义，结合几何体，即可得出答案。
3．每年3 月 21 日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的基础.为了了解某校800名七年级学生的睡眠时间，从13 个班级中随机抽取 50名学生进行调查，下列说法中，正确的是 (　　)
A．800名学生是总体 B．50 是样本容量
C．13个班级是所抽取的一个样本 D．每名学生是个体
【答案】B
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：根据题意知：总体：研究对象的全体（此处为800名七年级学生的睡眠时间），
个体：总体中的每一个元素（每名学生的睡眠时间），
样本：从总体中抽取的一部分（50名学生的睡眠时间），
样本容量：样本中包含的个体数量（50），
选项A称“800名学生是总体”，错误，总体应为学生的睡眠时间，而非学生本身；
选项B称“50是样本容量”，正确，样本容量是样本中个体的数量，此处抽取50名学生，样本容量为50；
选项C称“13个班级是所抽取的一个样本”，错误，样本应为50名学生的睡眠时间，而非班级；
选项D称“每名学生是个体”，错误，个体应为每名学生的睡眠时间，而非学生本身.
故答案为：B.
【分析】根题题意正确区分调查的总体、个体、样本和样本容量，注意研究对象是“睡眠时间”，而非学生本身.
4．某种近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例函数关系，其图象如图所示.已知某同学的佩戴该种眼镜镜片的焦距为0.2米，经过矫正治疗后眼镜镜片的焦距调整到0.5米，则该同学的佩戴该种近视眼镜的度数减少了(　　)
A．500度 B．300度 C．200度 D．100度
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 近视眼镜的度数 与镜片焦距 成反比例函数关系，
∴ 设反比例函数解析式为 （ 为常数，），
由图象可知，当 时，，
将其代入解析式得 ，
∴ 反比例函数解析式为 ，
当 时，，
∴ 度数减少了 （度）。
故答案为：B
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，解题思路是先通过待定系数法求出函数解析式，再分别计算不同焦距对应的度数，求出差值。首先根据反比例函数的定义设出解析式，利用图象上的已知点求出比例系数，确定解析式；再将矫正前后的焦距分别代入解析式，求出对应的度数，最后计算度数的差值，得到减少的度数。
5．如图， △ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA=2， AD=3， △ABC的面积为 ，则△DEF的面积为 (　　)
A．20 B． C．30 D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A ．
【分析】根据位似图形的性质可得，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
6．估计的值应在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，
∴，
即的值应在2和3之间，
故选：B
【分析】先根据二次根式的运算进行化简得到，得到的范围，即可求解．
7．一组图形按下列规律排序，其中第①个图形有5个圆球，第②个图形有8个圆球，第③个图形有13个圆球，…，按此规律排列下去，则第⑧个图形的圆球的个数是（　　）
A．53 B．55 C．68 D．69
【答案】C
【知识点】探索图形规律
8．《九章算术》中记载：今有上等稻6捆，其所得谷粒减去18升相当于下等稻10捆所得谷粒；下等稻15捆，其所得谷粒减去5升相当于上等稻5捆所得谷粒。问上等稻、下等稻每捆各出谷粒几升？若设上等稻每捆出谷粒升，下等稻每捆出谷粒升，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵上等稻6捆，其所得谷粒减去18升(1斗=10升)，相当于下等稻10捆所得谷粒，
∴6x-18 =10y，
∵下等稻15捆，其所得谷粒减去5升，相当于上等稻5捆所得谷粒，
∴15y-5=5x，
则根据题意可列出方程组
故答案为：B.
【分析】根据“上等稻6捆，其所得谷粒减去18升，相当于下等稻10捆所得谷粒；下等稻15捆，其所得谷粒减去5升，相当于上等稻5捆所得谷粒”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，即可得出答案.
9．如图，正方形中，，点为上一个动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的性质-对应边
10．如果 A、B 都是关于 x 的次数不同的单项式（ A，B 都不是常数项），且 是一个八次单项式，则下列说法中正确的是（　　）
①可能是一个单项式；②可能是七次二项式；③的项数与 的项数一定相同；
④的次数与 的次数不一定相同．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【知识点】单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：∵和是次数不同的单项式，且是八次单项式，
∴ 设的次数为，的次数为，则且．
对于说法①：可能是一个单项式。但由于，和不是同类项，无法合并，故总是二项式，不可能为单项式．①错误．
对于说法②：可能是七次二项式．若，，则的次数为7，且为二项式，例如，，则（八次），（七次二项式）．②正确．
对于说法③：的项数与的项数一定相同。由于，和均为二项式，项数均为2．③正确。
对于说法④：的次数与的次数不一定相同．
∵和的次数均为，且，
∴ 次数一定相同。④错误．
综上，②和③正确，
故选C．
【分析】本题可根据单项式的次数以及合并同类项的法则，对每个说法逐一进行分析．
二、填空题（共6题，每题4分，共24分）
11． 据统计， 某日某搜索平台使用DeepSeek解决的问题超过9540000个， 数字9540000用科学记数法表示是(　　)
A．954×104 B．95.4×105 C．9.54×106 D．0.954×107
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵9540000科学记数法表示为，
故答案为：C .
【分析】科学记数法的表示形式为，n为所有整数位的个数减1，据此解答即可.
12．一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除了分别标有的数字1，2，3，4不同外，其它完全相同，任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为5的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：列出摸出的2球的树从图如下所示：
总共有12种情况，两球数字之和为5的情况有4种，故概率为P=
故答案为：.
【分析】利用树众图将可能所有情况列出，即可求出和为5的概率.
13．若一个边形的每个内角为，过一个顶点可以画出　 　条对角线．
【答案】
【知识点】多边形的对角线；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：一个正边形的每个内角为，
)，
解得：．
过一个顶点可以画出．
故答案为：．
【分析】先根据多边形内角和公式求出边的数量，然后根据对角线的条数公式计算即可．
14．设 ，且 ，则 的值是　 　．
【答案】 或
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；整式的加减运算
【解析】【解答】 ，且 ，
，
则 ，
当 或 ，
解得： 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】由可得关于y的方程，解方程可得y的值。
15．如图，点O是△ABC的内心，以O为圆心作半径为3的圆，分别交的边于D，E，F，G，H，I点，连接EG和DG，若∠DGE=30°，则FG=　 　.
【答案】3
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理；三角形的内切圆与内心；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为，
∵，
∴
∴是等边三角形，
∴
∵点是的内心，
∴，
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
故答案为：．
【分析】连接，过点分别作的垂线，垂足分别为，即可得到是等边三角形，进而得到，然后根据HL得到，即可得到EN=FM，再根据垂径定理求出DE=FG，根据SSS得到，根据对应边相等解答即可．
16．若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为160，则称这个四位数为“吉祥数”，若一个四位数．（其中，b，c，，且a，b，c，d均为整数）为“吉祥数”，则　 　，定义，若能被17整除，且存在整数k，使得，则满足条件的M的值为　 　．
【答案】10；6928
【知识点】整式的加减运算；不等式的性质；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：，
变形得，为 10 的倍数．
，
，
∵为 10 的倍数，
∴．
∴，可求得．
∵能被 17 整除，
可设为整数）．
将变形得：，
即，
∴为整数，
∵与 3 互质，
∴必是 17 的整数倍．
∵均为正整数，
∴，即，
∵是 17 的整数倍，
∴或．
以下分两种情况讨论：
①当时，则，
，
符合条件的有或或，
当时，，
，
∴（不符合题意，舍去）；
当时，，
，
∴（符合题意），
此时，
∴；
当时，，
，
∴（不符合题意，舍去）；
②当时，则，
，
符合条件的有或或，
当时，，
，
∴无解（不符合题意，舍去）；
当时，，
，
∴无解（不符合题意，舍去）；
当时，，
，
∴（不符合题意，舍去）；
综上，，
故答案为： 10，6928 ．
【分析】第一空：用“吉祥数”的定义以及各字母的范围，结合两位数的表示方法和整数的性质，即可求解；第二空：由整数整除的性质，可得或；分两种情况讨论：①当时，则，②当时，则，结合题意即可求得满足条件的的值．
三、解答题（共9题，共86分，要写出必要的解题步骤）
17．解不等式组 ，把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解.
【答案】解：由①得，x≥﹣ ，
由②得，x＜3，
故此不等式组的解集为：﹣ ≤x＜3，
在数轴上表示为：
此不等式组的整数解为：﹣1，0，1，2.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后根据“大小小大取中间”得出该不等式组的解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将解集在数轴上表示出来，利用数轴找出解集范围为内的整数解即可.
18．学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现．连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：
（1）用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点（只保留作图痕迹）
（2）已知：在四边形中，，为中点，为中点
猜想：，且．
证明：是中点，①　 　
，
在和中
，
，
在中，是中点，是中点
且 ▲ ．
请你根据该探究过程完成下面命题：
连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且 ▲ ．
【答案】（1）
（2）猜想：，且．证明：是中点，①，在和中，，在中，是中点，是中点且．请你根据该探究过程完成下面命题：连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于两底和的一半．
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：是中点，
，
，
在和中
，
，
在中，是中点，是中点
且．
．
故答案为：① ； ② ； ③ ；④等于两底和的一半．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图的作图方法求作即可；
（2）理解已给推理过程，结合全等三角形的性质与判定定理，三角形中位线定理证明即可．
19．中考体考在即，为掌握本校九年级学生的体育训练成效，从慧学班、雅行班两班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行整理、描述和分析．（成绩用x表示，满分50，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据为：47，48，48，49，47，46，48，49．
雅行班20名学生的体测成绩为：44，48，44，39，45，48，47，47，48，42，48，45，49，50，49，50，49，50，48，50．
两班抽取的学生体测成绩统计表
慧学班 雅行班
平均数 47 47
众数 50 b
中位数 a 48
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表中，　 　，　 　，　 　；
（2）根据上述数据，你认为哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校九年级共有800名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？
【答案】（1）49；48；45
（2）解：慧学班成绩较好，理由如下：
慧学班的平均数与雅行班一样，但中位数49大于雅行班中位数48，所以慧学班较好
（3）解：两个班级中，慧学班满分的有：（人），雅行班满分的有4人．
∴估计这次体测成绩为满分的学生人数是：（人）．
答：估计这次体测成绩为满分的学生人数是260人．
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由题意可得：慧学班学生的体测成绩在A组的人数为：（人），
慧学班学生的体测成绩在B组的人数为：（人），
慧学班学生的体测成绩在C组的人数为：人，
将慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据按照从小到大排列为：46，47，47，48，48，48，49，49，
故慧学班20名学生的体测成绩处在第位和第位的成绩分别为49和49，故中位数；
雅行班20名学生的体测成绩中出现次数最多的为，故众数，
慧学班学生的体测成绩在D组的人数为：，
∴，
∴；
故答案为：49；48；45.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出a，的值，求出慧学班学生的体测成绩在D组的人数占比乘以100%解答即可；
（2）比较两班的中位数和平均数果分析即可得出结，解答即可；
（3）分别求出两班满分的人数占比乘以800解答即可．
20．先化简，再求值： 其中
【答案】解：原式=
=
=
又1+（-3）=-2，
∴当 时，原式=
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】 先处理分式的加减和除法运算，通过通分、分解因式等方法化简，最后代入a的值计算（注意分解因式和约分的步骤，以及代入时的符号问题）.
21． 2026马年中央广播电视总台《春节联欢晚会》上，人形机器人凭借在武术、小品、歌曲等多类型节目中的精彩亮相，带动行业销量激增.某公司主推A，B两款人形机器人，已知生产6台A款人形机器人和生产7台B款人形机器人的成本相同；且每台A款人形机器人的成本比每台B款人形机器人的成本多3万元.
（1）该公司生产的A，B两款人形机器人每台的成本各是多少万元
（2）该公司对这两款人形机器人实行网上预约销售，且每台B款人形机器人的定价比每台A款人形机器人的定价少20%，当这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出8台.则该公司每台A款人形机器人在网上销售的定价是多少万元
【答案】（1）解：设每台B款人形机器人的成本为x万元，则每台A款人形机器人的成本为（x+3）万元.根据题意可得6（x+3）=7x，
解得x=18，
则x+3=18+3=21（万元）.
答：A款人形机器人每台成本为21万元，B款人形机器人每台成本为18万元.
（2）解：设每台A款人形机器人的售价为y万元，
则每台B款人形机器人的售价为（1-20%）y=0.8y（万元）.
根据题意可得
解得y=25，
经检验，y=25是原分式方程的解，且符合题意.
答：每台A款人形机器人在网上的售价是25万元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台B款人形机器人的成本为x万元，则每台A款人形机器人的成本为（x＋3）万元．根据题意列出方程，解方程即可．
（2）设每台A款人形机器人的售价为y万元，则每台B款人形机器人的售价为（1 20%）y＝0.8y（万元），根据题意列出方程，解方程即可．
22．如图，在等腰中，，，点D，E分别在边上，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发沿折线方向运动，到达点E时停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积记为．
（1）请直接写出关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）若函数，在给定的平面直角坐标系中分别画出函数和的图象，并写出的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时对应的t的取值．
【答案】（1）
（2）解：y1，y2的函数图象，如图所示：
观察图象可得：当时，随t的增大而增大，当时，随t的增大而减小；
（3）或6
【知识点】分段函数；反比例函数与一次函数的交点问题；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】解：（1）当点P在线段CD上时，即，过点P作PF⊥AB，如图所示，
∵，BC=AC=4，
∴，
∴，
∵PD=t，AP=t+1，
∴，
∴，
当点P在线段EC上，即，过点P作，如图所示，
则，
∵，BC=AC=4，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：观察图象可得：当出时，或6．
【分析】（1）分两种情况，当点P在线段DC上时和点P在线段CE上，分别过点P作AB边上的垂线，根据等腰直角三角形的性质求出AB边上的高即可解答；
（2）用描点法画出函数的图象，结合图象从增减性上写出函数的性质；
（3）找出y1与y2的交点即可解答．
23．如图，边防雷达站 A 处的工作人员测得在北偏东 60°方向的点 C 处有一艘可疑船只，该船正在以每小时 答案10海里的速度向正东方向航行，点A 到点C的距离为10 海里，此时，我方一艘军舰在距离点 A 的正东方向 12海里的点 B 处.
（1）求点B 与点C 之间的距离(结果保留根号).
（2）当发现可疑船只后，我方军舰立即沿着与正东方向成37°夹角的 BD 方向前往拦截，军舰航行的速度为每小时20海里，请通过计算说明我方军舰能否在可疑船只的正前方的点D 处成功拦截(参考数据：
【答案】（1）解：如图，过点 B 作BH⊥AC 于点H.
由题意，得AB=12海里， 海里，
海里，则在Rt△AHB 中，由勾股定理，得AH= 海里.
∴CH=AC-AH=4 海里.
∴ 在 Rt△BCH 中，由勾股定理，得 海里，即点B 与点C之间的距离为 海里
（2）解：如图，过点 C 作CM⊥BE 于点M，过点 D 作DN⊥BE 于点 N.
∵∠CAB=30°，
∴ 在 Rt△ACM 中， 5 海里.
易知四边形CMND 是矩形，
海里.
∴ 在 Rt△BDN 中， (海里)， (海里).
∴ 我方军舰到达点 D 处的时间为 (小时).
在Rt△CBM中， 3海里，
则 (海里)，∴ 可疑船只到达点 D 处的时间为8.3÷10=0.83(小时).
∵0.71<0.83，
∴ 我方军舰能在可疑船只的正前方的点 D 处成功拦截.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】(1)过B作于H，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可；
(2)过C作 于M，过D作 于N，则 四边形CMND是矩形，可得到. 分别在和 中解直角三角形分别求得 海里， CD 海里，进而分别求得我方军舰和可疑船只到达D的时间，比较可得出结论.
24．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，作过、两点所在的直线，点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点．点是过点的直线上的一个动点，点是轴上一个动点，连接，当线段取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值；
（3）如图2，作过、两点所在的直线，将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，过点作交轴于点，点为平移后抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【知识点】二次函数图象的几何变换；解直角三角形；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
25．已知为等边三角形，是边上一点，连接，点为上一点，连接．
图1 图2 图3
（1）如图1，延长交于点，若，，求的长；
（2）如图2，将绕点顺时针旋转到，延长至点，使得，连接交于点，求证；
（3）如图3，，点是上一点，且，连接，点是上一点，，连接，，将沿翻折到，连接，当的周长最小时，直接写出的面积．
【答案】（1）解 ：如图，过点F作于点P，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图2，延长到I，使，连接，过点H作，交于点M，
为等边三角形，
，，
由旋转的性质得，，，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
，
同理，
，
；
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（3）如图3，过点D，H分别作的垂线，分别交于点F，交于点G，作，交于点E，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
的周长最小值时，的值最小，
当时，的值最小，此时，
即点K，点G重合，如图4，
【分析】(1)作FP⊥BC，利用特殊角45°和60°求出CF的长；
(2)延长到I，使，作，证明，，可得结论；
(3)先转化线段，作DF⊥BC，得BD=2BF由BD=2CH得，再得得DE=DK，BE=AD，BD=AK，当DE取最小值时，△ADk的周长取最小值，得CG=AK=BD=4； 求出此时△CKQ的面积即可.
1 / 12026年重庆中考数学模拟试题（二）
一、选择题（共10题，每题4分，共40分）
1．-的相反数是 （　　）
A．5 B．-5 C．- D．
2．如图是由5个小正方体组成的几何体，则它的俯视图是(　　)
A． B．
C． D．
3．每年3 月 21 日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的基础.为了了解某校800名七年级学生的睡眠时间，从13 个班级中随机抽取 50名学生进行调查，下列说法中，正确的是 (　　)
A．800名学生是总体 B．50 是样本容量
C．13个班级是所抽取的一个样本 D．每名学生是个体
4．某种近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例函数关系，其图象如图所示.已知某同学的佩戴该种眼镜镜片的焦距为0.2米，经过矫正治疗后眼镜镜片的焦距调整到0.5米，则该同学的佩戴该种近视眼镜的度数减少了(　　)
A．500度 B．300度 C．200度 D．100度
5．如图， △ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA=2， AD=3， △ABC的面积为 ，则△DEF的面积为 (　　)
A．20 B． C．30 D．
6．估计的值应在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
7．一组图形按下列规律排序，其中第①个图形有5个圆球，第②个图形有8个圆球，第③个图形有13个圆球，…，按此规律排列下去，则第⑧个图形的圆球的个数是（　　）
A．53 B．55 C．68 D．69
8．《九章算术》中记载：今有上等稻6捆，其所得谷粒减去18升相当于下等稻10捆所得谷粒；下等稻15捆，其所得谷粒减去5升相当于上等稻5捆所得谷粒。问上等稻、下等稻每捆各出谷粒几升？若设上等稻每捆出谷粒升，下等稻每捆出谷粒升，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，正方形中，，点为上一个动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为（　　）
A． B． C．3 D．
10．如果 A、B 都是关于 x 的次数不同的单项式（ A，B 都不是常数项），且 是一个八次单项式，则下列说法中正确的是（　　）
①可能是一个单项式；②可能是七次二项式；③的项数与 的项数一定相同；
④的次数与 的次数不一定相同．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题（共6题，每题4分，共24分）
11． 据统计， 某日某搜索平台使用DeepSeek解决的问题超过9540000个， 数字9540000用科学记数法表示是(　　)
A．954×104 B．95.4×105 C．9.54×106 D．0.954×107
12．一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除了分别标有的数字1，2，3，4不同外，其它完全相同，任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为5的概率是　 　．
13．若一个边形的每个内角为，过一个顶点可以画出　 　条对角线．
14．设 ，且 ，则 的值是　 　．
15．如图，点O是△ABC的内心，以O为圆心作半径为3的圆，分别交的边于D，E，F，G，H，I点，连接EG和DG，若∠DGE=30°，则FG=　 　.
16．若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为160，则称这个四位数为“吉祥数”，若一个四位数．（其中，b，c，，且a，b，c，d均为整数）为“吉祥数”，则　 　，定义，若能被17整除，且存在整数k，使得，则满足条件的M的值为　 　．
三、解答题（共9题，共86分，要写出必要的解题步骤）
17．解不等式组 ，把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解.
18．学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现．连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：
（1）用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点（只保留作图痕迹）
（2）已知：在四边形中，，为中点，为中点
猜想：，且．
证明：是中点，①　 　
，
在和中
，
，
在中，是中点，是中点
且 ▲ ．
请你根据该探究过程完成下面命题：
连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且 ▲ ．
19．中考体考在即，为掌握本校九年级学生的体育训练成效，从慧学班、雅行班两班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行整理、描述和分析．（成绩用x表示，满分50，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据为：47，48，48，49，47，46，48，49．
雅行班20名学生的体测成绩为：44，48，44，39，45，48，47，47，48，42，48，45，49，50，49，50，49，50，48，50．
两班抽取的学生体测成绩统计表
慧学班 雅行班
平均数 47 47
众数 50 b
中位数 a 48
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表中，　 　，　 　，　 　；
（2）根据上述数据，你认为哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校九年级共有800名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？
20．先化简，再求值： 其中
21． 2026马年中央广播电视总台《春节联欢晚会》上，人形机器人凭借在武术、小品、歌曲等多类型节目中的精彩亮相，带动行业销量激增.某公司主推A，B两款人形机器人，已知生产6台A款人形机器人和生产7台B款人形机器人的成本相同；且每台A款人形机器人的成本比每台B款人形机器人的成本多3万元.
（1）该公司生产的A，B两款人形机器人每台的成本各是多少万元
（2）该公司对这两款人形机器人实行网上预约销售，且每台B款人形机器人的定价比每台A款人形机器人的定价少20%，当这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出8台.则该公司每台A款人形机器人在网上销售的定价是多少万元
22．如图，在等腰中，，，点D，E分别在边上，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发沿折线方向运动，到达点E时停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积记为．
（1）请直接写出关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）若函数，在给定的平面直角坐标系中分别画出函数和的图象，并写出的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时对应的t的取值．
23．如图，边防雷达站 A 处的工作人员测得在北偏东 60°方向的点 C 处有一艘可疑船只，该船正在以每小时 答案10海里的速度向正东方向航行，点A 到点C的距离为10 海里，此时，我方一艘军舰在距离点 A 的正东方向 12海里的点 B 处.
（1）求点B 与点C 之间的距离(结果保留根号).
（2）当发现可疑船只后，我方军舰立即沿着与正东方向成37°夹角的 BD 方向前往拦截，军舰航行的速度为每小时20海里，请通过计算说明我方军舰能否在可疑船只的正前方的点D 处成功拦截(参考数据：
24．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，作过、两点所在的直线，点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点．点是过点的直线上的一个动点，点是轴上一个动点，连接，当线段取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值；
（3）如图2，作过、两点所在的直线，将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，过点作交轴于点，点为平移后抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
25．已知为等边三角形，是边上一点，连接，点为上一点，连接．
图1 图2 图3
（1）如图1，延长交于点，若，，求的长；
（2）如图2，将绕点顺时针旋转到，延长至点，使得，连接交于点，求证；
（3）如图3，，点是上一点，且，连接，点是上一点，，连接，，将沿翻折到，连接，当的周长最小时，直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】-的相反数是．
故选D．
【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由几何体可得出 它的俯视图是：
故答案为：B.
【分析】根据俯视图的定义，结合几何体，即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：根据题意知：总体：研究对象的全体（此处为800名七年级学生的睡眠时间），
个体：总体中的每一个元素（每名学生的睡眠时间），
样本：从总体中抽取的一部分（50名学生的睡眠时间），
样本容量：样本中包含的个体数量（50），
选项A称“800名学生是总体”，错误，总体应为学生的睡眠时间，而非学生本身；
选项B称“50是样本容量”，正确，样本容量是样本中个体的数量，此处抽取50名学生，样本容量为50；
选项C称“13个班级是所抽取的一个样本”，错误，样本应为50名学生的睡眠时间，而非班级；
选项D称“每名学生是个体”，错误，个体应为每名学生的睡眠时间，而非学生本身.
故答案为：B.
【分析】根题题意正确区分调查的总体、个体、样本和样本容量，注意研究对象是“睡眠时间”，而非学生本身.
4．【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 近视眼镜的度数 与镜片焦距 成反比例函数关系，
∴ 设反比例函数解析式为 （ 为常数，），
由图象可知，当 时，，
将其代入解析式得 ，
∴ 反比例函数解析式为 ，
当 时，，
∴ 度数减少了 （度）。
故答案为：B
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，解题思路是先通过待定系数法求出函数解析式，再分别计算不同焦距对应的度数，求出差值。首先根据反比例函数的定义设出解析式，利用图象上的已知点求出比例系数，确定解析式；再将矫正前后的焦距分别代入解析式，求出对应的度数，最后计算度数的差值，得到减少的度数。
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A ．
【分析】根据位似图形的性质可得，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
6．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，
∴，
即的值应在2和3之间，
故选：B
【分析】先根据二次根式的运算进行化简得到，得到的范围，即可求解．
7．【答案】C
【知识点】探索图形规律
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵上等稻6捆，其所得谷粒减去18升(1斗=10升)，相当于下等稻10捆所得谷粒，
∴6x-18 =10y，
∵下等稻15捆，其所得谷粒减去5升，相当于上等稻5捆所得谷粒，
∴15y-5=5x，
则根据题意可列出方程组
故答案为：B.
【分析】根据“上等稻6捆，其所得谷粒减去18升，相当于下等稻10捆所得谷粒；下等稻15捆，其所得谷粒减去5升，相当于上等稻5捆所得谷粒”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，即可得出答案.
9．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的性质-对应边
10．【答案】C
【知识点】单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：∵和是次数不同的单项式，且是八次单项式，
∴ 设的次数为，的次数为，则且．
对于说法①：可能是一个单项式。但由于，和不是同类项，无法合并，故总是二项式，不可能为单项式．①错误．
对于说法②：可能是七次二项式．若，，则的次数为7，且为二项式，例如，，则（八次），（七次二项式）．②正确．
对于说法③：的项数与的项数一定相同。由于，和均为二项式，项数均为2．③正确。
对于说法④：的次数与的次数不一定相同．
∵和的次数均为，且，
∴ 次数一定相同。④错误．
综上，②和③正确，
故选C．
【分析】本题可根据单项式的次数以及合并同类项的法则，对每个说法逐一进行分析．
11．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵9540000科学记数法表示为，
故答案为：C .
【分析】科学记数法的表示形式为，n为所有整数位的个数减1，据此解答即可.
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：列出摸出的2球的树从图如下所示：
总共有12种情况，两球数字之和为5的情况有4种，故概率为P=
故答案为：.
【分析】利用树众图将可能所有情况列出，即可求出和为5的概率.
13．【答案】
【知识点】多边形的对角线；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：一个正边形的每个内角为，
)，
解得：．
过一个顶点可以画出．
故答案为：．
【分析】先根据多边形内角和公式求出边的数量，然后根据对角线的条数公式计算即可．
14．【答案】 或
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；整式的加减运算
【解析】【解答】 ，且 ，
，
则 ，
当 或 ，
解得： 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】由可得关于y的方程，解方程可得y的值。
15．【答案】3
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理；三角形的内切圆与内心；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为，
∵，
∴
∴是等边三角形，
∴
∵点是的内心，
∴，
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
故答案为：．
【分析】连接，过点分别作的垂线，垂足分别为，即可得到是等边三角形，进而得到，然后根据HL得到，即可得到EN=FM，再根据垂径定理求出DE=FG，根据SSS得到，根据对应边相等解答即可．
16．【答案】10；6928
【知识点】整式的加减运算；不等式的性质；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：，
变形得，为 10 的倍数．
，
，
∵为 10 的倍数，
∴．
∴，可求得．
∵能被 17 整除，
可设为整数）．
将变形得：，
即，
∴为整数，
∵与 3 互质，
∴必是 17 的整数倍．
∵均为正整数，
∴，即，
∵是 17 的整数倍，
∴或．
以下分两种情况讨论：
①当时，则，
，
符合条件的有或或，
当时，，
，
∴（不符合题意，舍去）；
当时，，
，
∴（符合题意），
此时，
∴；
当时，，
，
∴（不符合题意，舍去）；
②当时，则，
，
符合条件的有或或，
当时，，
，
∴无解（不符合题意，舍去）；
当时，，
，
∴无解（不符合题意，舍去）；
当时，，
，
∴（不符合题意，舍去）；
综上，，
故答案为： 10，6928 ．
【分析】第一空：用“吉祥数”的定义以及各字母的范围，结合两位数的表示方法和整数的性质，即可求解；第二空：由整数整除的性质，可得或；分两种情况讨论：①当时，则，②当时，则，结合题意即可求得满足条件的的值．
17．【答案】解：由①得，x≥﹣ ，
由②得，x＜3，
故此不等式组的解集为：﹣ ≤x＜3，
在数轴上表示为：
此不等式组的整数解为：﹣1，0，1，2.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后根据“大小小大取中间”得出该不等式组的解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将解集在数轴上表示出来，利用数轴找出解集范围为内的整数解即可.
18．【答案】（1）
（2）猜想：，且．证明：是中点，①，在和中，，在中，是中点，是中点且．请你根据该探究过程完成下面命题：连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于两底和的一半．
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：是中点，
，
，
在和中
，
，
在中，是中点，是中点
且．
．
故答案为：① ； ② ； ③ ；④等于两底和的一半．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图的作图方法求作即可；
（2）理解已给推理过程，结合全等三角形的性质与判定定理，三角形中位线定理证明即可．
19．【答案】（1）49；48；45
（2）解：慧学班成绩较好，理由如下：
慧学班的平均数与雅行班一样，但中位数49大于雅行班中位数48，所以慧学班较好
（3）解：两个班级中，慧学班满分的有：（人），雅行班满分的有4人．
∴估计这次体测成绩为满分的学生人数是：（人）．
答：估计这次体测成绩为满分的学生人数是260人．
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由题意可得：慧学班学生的体测成绩在A组的人数为：（人），
慧学班学生的体测成绩在B组的人数为：（人），
慧学班学生的体测成绩在C组的人数为：人，
将慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据按照从小到大排列为：46，47，47，48，48，48，49，49，
故慧学班20名学生的体测成绩处在第位和第位的成绩分别为49和49，故中位数；
雅行班20名学生的体测成绩中出现次数最多的为，故众数，
慧学班学生的体测成绩在D组的人数为：，
∴，
∴；
故答案为：49；48；45.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出a，的值，求出慧学班学生的体测成绩在D组的人数占比乘以100%解答即可；
（2）比较两班的中位数和平均数果分析即可得出结，解答即可；
（3）分别求出两班满分的人数占比乘以800解答即可．
20．【答案】解：原式=
=
=
又1+（-3）=-2，
∴当 时，原式=
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】 先处理分式的加减和除法运算，通过通分、分解因式等方法化简，最后代入a的值计算（注意分解因式和约分的步骤，以及代入时的符号问题）.
21．【答案】（1）解：设每台B款人形机器人的成本为x万元，则每台A款人形机器人的成本为（x+3）万元.根据题意可得6（x+3）=7x，
解得x=18，
则x+3=18+3=21（万元）.
答：A款人形机器人每台成本为21万元，B款人形机器人每台成本为18万元.
（2）解：设每台A款人形机器人的售价为y万元，
则每台B款人形机器人的售价为（1-20%）y=0.8y（万元）.
根据题意可得
解得y=25，
经检验，y=25是原分式方程的解，且符合题意.
答：每台A款人形机器人在网上的售价是25万元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台B款人形机器人的成本为x万元，则每台A款人形机器人的成本为（x＋3）万元．根据题意列出方程，解方程即可．
（2）设每台A款人形机器人的售价为y万元，则每台B款人形机器人的售价为（1 20%）y＝0.8y（万元），根据题意列出方程，解方程即可．
22．【答案】（1）
（2）解：y1，y2的函数图象，如图所示：
观察图象可得：当时，随t的增大而增大，当时，随t的增大而减小；
（3）或6
【知识点】分段函数；反比例函数与一次函数的交点问题；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】解：（1）当点P在线段CD上时，即，过点P作PF⊥AB，如图所示，
∵，BC=AC=4，
∴，
∴，
∵PD=t，AP=t+1，
∴，
∴，
当点P在线段EC上，即，过点P作，如图所示，
则，
∵，BC=AC=4，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：观察图象可得：当出时，或6．
【分析】（1）分两种情况，当点P在线段DC上时和点P在线段CE上，分别过点P作AB边上的垂线，根据等腰直角三角形的性质求出AB边上的高即可解答；
（2）用描点法画出函数的图象，结合图象从增减性上写出函数的性质；
（3）找出y1与y2的交点即可解答．
23．【答案】（1）解：如图，过点 B 作BH⊥AC 于点H.
由题意，得AB=12海里， 海里，
海里，则在Rt△AHB 中，由勾股定理，得AH= 海里.
∴CH=AC-AH=4 海里.
∴ 在 Rt△BCH 中，由勾股定理，得 海里，即点B 与点C之间的距离为 海里
（2）解：如图，过点 C 作CM⊥BE 于点M，过点 D 作DN⊥BE 于点 N.
∵∠CAB=30°，
∴ 在 Rt△ACM 中， 5 海里.
易知四边形CMND 是矩形，
海里.
∴ 在 Rt△BDN 中， (海里)， (海里).
∴ 我方军舰到达点 D 处的时间为 (小时).
在Rt△CBM中， 3海里，
则 (海里)，∴ 可疑船只到达点 D 处的时间为8.3÷10=0.83(小时).
∵0.71<0.83，
∴ 我方军舰能在可疑船只的正前方的点 D 处成功拦截.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】(1)过B作于H，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可；
(2)过C作 于M，过D作 于N，则 四边形CMND是矩形，可得到. 分别在和 中解直角三角形分别求得 海里， CD 海里，进而分别求得我方军舰和可疑船只到达D的时间，比较可得出结论.
24．【答案】（1）
（2）
（3）或
【知识点】二次函数图象的几何变换；解直角三角形；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
25．【答案】（1）解 ：如图，过点F作于点P，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图2，延长到I，使，连接，过点H作，交于点M，
为等边三角形，
，，
由旋转的性质得，，，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
，
同理，
，
；
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（3）如图3，过点D，H分别作的垂线，分别交于点F，交于点G，作，交于点E，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
的周长最小值时，的值最小，
当时，的值最小，此时，
即点K，点G重合，如图4，
【分析】(1)作FP⊥BC，利用特殊角45°和60°求出CF的长；
(2)延长到I，使，作，证明，，可得结论；
(3)先转化线段，作DF⊥BC，得BD=2BF由BD=2CH得，再得得DE=DK，BE=AD，BD=AK，当DE取最小值时，△ADk的周长取最小值，得CG=AK=BD=4； 求出此时△CKQ的面积即可.
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