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21．2.1　平行四边形及其性质
1．平行四边形的定义及表示方法
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形ABCD记作 ABCD.
2．平行四边形的性质1
平行四边形的对边相等．
3．平行四边形的性质2
平行四边形的对角相等．
4．平行四边形的性质3
平行四边形的对角线互相平分．
5．两条平行线之间的距离
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离．
考点1?　平行四边形性质的运用
【典例1】如图，在 ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E.求证：AB＝BE.
证明：∵F是BC边的中点，
∴BF＝CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥CD，
∴∠C＝∠FBE，∠CDF＝∠E.
∵在△CDF和△BEF中，
∴△CDF≌△BEF(AAS)，
∴BE＝DC.
∵AB＝DC，∴AB＝BE.
与等角对等边、全等三角形的对应边相等一样，利用平行四边形的对边相等是得出线段相等的重要方法，当要说明相等的两条线段正好是某个四边形的对边时，可以先说明这个四边形是平行四边形，然后得出结论．
【变式训练】
1．(海南儋州校级期末)如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，AB＝5，求△COD的周长．
∵在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，AB＝5，
∴CO＝AO＝AC＝4，DO＝BO＝BD＝3，CD＝AB＝5，
∴△COD的周长＝OD＋OC＋CD＝5＋3＋4＝12.
考点2?　利用平行线的距离相等解决面积问题
【典例2】在图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是(D)
A．平行四边形的面积最大
B．三角形的面积最大
C．梯形的面积最大
D．三个图形的面积都相等
解析：设两平行线间的距离为h，则由题图，可知平行四边形的面积为4h，三角形的面积为×8h＝4h，梯形的面积为(2＋6)h＝4h；故三个图形的面积都相等．
平行线间的距离处处相等，等底等高的三角形面积相等．
【变式训练】
2．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边延长线上一点，连接AE，DE.若平行四边形ABCD的面积为12，则△ADE的面积为(C)
A．3 B．4 C．6 D．8
知识点1?　平行四边形的定义
1．如图，在 ABCD中，EF∥AD，MN∥AB，那么图中共有9个平行四边形．
知识点2?　平行四边形的性质
如图，在 ABCD中，下列结论不一定成立的是(B)
A．∠1＝∠2
B．AD＝DC
C．∠ADC＝∠CBA
D．OA＝OC
如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F.若AF＝DE＝5，BE＝24，则BC的长为(D)
A．8 B．13 C．16 D．18
4．如图，在平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E.
(1)求证：CD＝CE；
(2)若点E是BC的中点，∠C＝110°，求∠DAE的度数．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC.
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC，
∴∠DEC＝∠EDC，∴CD＝CE；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠B＋∠BAD＝180°.
∵∠C＝110°，∴∠B＝180°－110°＝70°.
∵BE＝CE，CE＝CD，∴AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA＝(180°－70°)÷2＝55°，
∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝110°－55°＝55°.
知识点3?　平行线间的距离
5．如图，已知点A在直线a上，C，B两点在直线b上，且a∥b，∠ABC是个钝角，若AB＝5，则a，b两直线的距离可以是(D)
A．8 B．6 C．5 D．4
6．(河北沧州吴桥县期末)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＋∠D＝90°，DE∥BC.
(1)求证：AB∥DC；
(2)若AB＝5，AC＝4，BC＝3，求AB与DC之间的距离．
(1)∵DE∥BC，∴∠AFE＝∠ACB＝90°.
在Rt△AEF中，∠A＋∠AEF＝90°.
∵∠A＋∠D＝90°，∴∠AEF＝∠D，∴AB∥DC；
(2)如图，过点C作CG⊥AB于点G.
∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，
S△ABC＝AC×BC＝AB×CG，
∴×4×3＝×5×CG，解得CG＝，
即AB与DC之间的距离为.
易错易混点　确定两平行线间的距离易忽略分类讨论的情况
7.已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为5 cm，b与c之间的距离为3 cm，则a与c之间的距离是(C)
A．2 cm B．8 cm
C．2 cm或8 cm D．以上都不对
8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于点E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为(D)
A． B． C． D．
9．(河北秦皇岛山海关区一模)如图，在平行四边形内部选取一点O，使得OA＋OB＋OC＋OD最小，则点O的位置在(C)
A．AC边上靠近A
B．AC边上靠近C
C．AC与BD的交点
D．A，B，C，D中任意一点
10．如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则 ABCD的面积是(C)
A．12 B．16 C．24 D．32
11．(海南海口期中)如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，1)，(－2，－2)，(2，－2)，则顶点D的坐标是(C)
A．(－4，－1) B．(4，－2)
C．(4，1) D．(2，1)
12．(海南海口期中)如图，在 ABCD中，延长DA至点E，延长BC至点F，使得AE＝CF，连接EF与对角线BD交于点O，求证：OE＝OF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DA∥BC，DA＝BC.
∵AE＝CF，∴DA＋AE＝BC＋CF，即DE＝BF.
∵DA∥BC，∴DE∥BF，
∴∠E＝∠F，∠EDO＝∠FBO.
在△EOD和△FOB中，
∴△EOD≌△FOB(ASA)，∴OE＝OF.
13．(江西吉安遂川县期末)如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BAE＝60°，AB＝4，求 ABCD的面积．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠E＝∠DAE.
∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠E，∴AB＝BE，∴BE＝CD；
(2)∵AB＝BE，∠BAE＝60°，
∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝4.
∵BF⊥AE，∴AF＝EF＝AE＝×4＝2，
∴BF＝＝＝2.
∵AD∥BC，∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，
在△ADF和△ECF中，
∴△ADF≌△ECF(AAS)，即S△ADF＝S△ECF，
∴S ABCD＝S△ABE＝AE·BF＝×4×2＝4.
【母题P58例2】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F.求证：OE＝OF.
在 ABCD中，AB∥CD，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
又OA＝OC，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.
【变式】已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，BE＝DF，求证：AE∥CF.
在平行四边形ABCD中，
∵AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF.
∵BE＝DF，∴DE＝BF.
在△ADE与△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，∴∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF.
14．(推理能力)问题：如图，在 ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：EF＝2.
探究：(1)把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
(2)把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
(1)①如图1所示，
图1
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，BC＝AD＝5，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE.
∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝AD＝5.
同理BC＝CF＝5.
∵点E与点F重合，∴AB＝CD＝DE＋CF＝10.
②如图2所示，
图2
∵点E与点C重合，
易证DE＝DC＝AD＝5.
CF＝BC＝5，∴点F与点D重合．
∴EF＝DC＝5；
(2)分三种情况：
①如图3所示，
图3
同(1)得AD＝DE＝CF.
因为点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AD＝DE＝EF＝CF，
∴＝；
图4
②如图4所示，
同(1)得AD＝DF＝CE.
因为DE＝FE＝CF，∴＝；
③如图5所示，
图5
同(1)得AD＝DE＝CF.
∵DF＝DC＝CE，
∴＝2.
综上所述，的值为或或2.21．2.1　平行四边形及其性质
1．平行四边形的定义及表示方法
两组对边分别 的四边形叫做平行四边形．平行四边形ABCD记作 ABCD.
2．平行四边形的性质1
平行四边形的对边 ．
3．平行四边形的性质2
平行四边形的对角 ．
4．平行四边形的性质3
平行四边形的对角线 ．
5．两条平行线之间的距离
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都 ．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离．
考点1?　平行四边形性质的运用
【典例1】如图，在 ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E.求证：AB＝BE.
与等角对等边、全等三角形的对应边相等一样，利用平行四边形的对边相等是得出线段相等的重要方法，当要说明相等的两条线段正好是某个四边形的对边时，可以先说明这个四边形是平行四边形，然后得出结论．
【变式训练】
1．(海南儋州校级期末)如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，AB＝5，求△COD的周长．
考点2?　利用平行线的距离相等解决面积问题
【典例2】在图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是( )
A．平行四边形的面积最大
B．三角形的面积最大
C．梯形的面积最大
D．三个图形的面积都相等
平行线间的距离处处相等，等底等高的三角形面积相等．
【变式训练】
2．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边延长线上一点，连接AE，DE.若平行四边形ABCD的面积为12，则△ADE的面积为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
知识点1?　平行四边形的定义
1．如图，在 ABCD中，EF∥AD，MN∥AB，那么图中共有 个平行四边形．
知识点2?　平行四边形的性质
如图，在 ABCD中，下列结论不一定成立的是( )
A．∠1＝∠2
B．AD＝DC
C．∠ADC＝∠CBA
D．OA＝OC
如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F.若AF＝DE＝5，BE＝24，则BC的长为( )
A．8 B．13 C．16 D．18
4．如图，在平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E.
(1)求证：CD＝CE；
(2)若点E是BC的中点，∠C＝110°，求∠DAE的度数．
知识点3?　平行线间的距离
5．如图，已知点A在直线a上，C，B两点在直线b上，且a∥b，∠ABC是个钝角，若AB＝5，则a，b两直线的距离可以是( )
A．8 B．6 C．5 D．4
6．(河北沧州吴桥县期末)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＋∠D＝90°，DE∥BC.
(1)求证：AB∥DC；
(2)若AB＝5，AC＝4，BC＝3，求AB与DC之间的距离．
易错易混点　确定两平行线间的距离易忽略分类讨论的情况
7.已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为5 cm，b与c之间的距离为3 cm，则a与c之间的距离是( )
A．2 cm B．8 cm
C．2 cm或8 cm D．以上都不对
8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于点E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为( )
A． B． C． D．
9．(河北秦皇岛山海关区一模)如图，在平行四边形内部选取一点O，使得OA＋OB＋OC＋OD最小，则点O的位置在( )
A．AC边上靠近A
B．AC边上靠近C
C．AC与BD的交点
D．A，B，C，D中任意一点
10．如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则 ABCD的面积是( )
A．12 B．16 C．24 D．32
11．(海南海口期中)如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，1)，(－2，－2)，(2，－2)，则顶点D的坐标是( )
A．(－4，－1) B．(4，－2)
C．(4，1) D．(2，1)
12．(海南海口期中)如图，在 ABCD中，延长DA至点E，延长BC至点F，使得AE＝CF，连接EF与对角线BD交于点O，求证：OE＝OF.
13．(江西吉安遂川县期末)如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BAE＝60°，AB＝4，求 ABCD的面积．
【母题P58例2】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F.求证：OE＝OF.
【变式】已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，BE＝DF，求证：AE∥CF.
14．(推理能力)问题：如图，在 ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：EF＝2.
探究：(1)把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
(2)把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．

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