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21．1.1　四边形及其内角和
四边形的定义
在平面内，由 的四条线段 组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的 ，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的 .
考点　四边形的内、外角和
【典例】如图，在四边形ABCD中，∠B＝50°，∠C＝110°，∠D＝90°，AE⊥BC于点E，AF是∠BAD的平分线，与边BC交于点F，求∠EAF的度数．
在四边形中求角时，通常会用到四边形的内角和为360°，再结合三角形的内角和定理、角的平分线、垂线等性质进行计算．
【变式训练】
如图所示，在四边形ABDC中，∠C与∠D的平分线相交于点P，且∠A＝70°，∠B＝80°，求∠P的度数．
知识点1?　四边形及其相关概念
1．(福建龙岩上杭县期中)在四边形ABCD中，边AB的对边是 ．
2．(辽宁大连中山区月考)如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD是一个凹四边形.
(1)求凹四边形ABCD的周长；
(2)连接AC，∠ACD是直角吗？求出凹四边形ABCD的面积．
知识点2?　四边形的内角和与外角和
(河北邯郸永年区期末)如图，从△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE.如果∠1＋∠2＝240°，那么∠C度数为( )
A．40° B．60° C．50° D．55°
如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是( )
A．2∠A＝∠1＋∠2
B．3∠A＝2∠1＋∠2
C．∠A＝∠1＋∠2
D．3∠A＝2∠1＋2∠2
如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，E是BC边上的点，EF⊥AE，交CD于点F，∠EFD＝110°.
(1)求∠DAE的度数；
(2)若∠AEB＝∠CEF，AE平分∠BAD，试说明：∠B＝∠C.
知识点3?　四边形的不稳定性
6．下列设计的原理不是利用三角形的稳定性的是( )
A．由四边形组成的伸缩门
B．自行车的三角形车架
C．斜钉一根木条的长方形窗框
D．照相机的三脚架
(河南周口期中)如图，伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的 ．
8．(山东临沂费县期末)定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．如图1，∵∠A＝∠B＝90°，BC＝CD，∴四边形ABCD是邻等四边形．如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，点D在图中的格点上，符合条件的点D有( )
　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(江苏苏州姑苏区期末)如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠D＝245°，将∠B，∠C按如图所示的方式折叠．若∠DMC′＝45°，则∠AEB′＋∠CFB′＋∠BNC′＝ °.
10．(江苏南京玄武区期末)如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝ °.
　
11．(福建泉州南安市期末)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F.
(1)若∠ADC＝130°，则∠CBE＝ °；
(2)探索猜想DF与BE的位置关系，并说明理由．
12．(吉林长春农安县校级期末)如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫作等垂四边形．如图1，在四边形ABCD中，若∠ADC＝∠ABC，且BD⊥AD，则四边形ABCD为等垂四边形．
如图2，图3，已知四边形ABCD为等垂四边形，∠DAB＝∠DCB，AC⊥BC.
　
(1)在图2中，若∠B＝30°，∠ACD＝40°，则∠D的度数为 °；
(2)在图3中，若CD∥AB，CM，AN分别平分∠ACD，∠CAB，请判断四边形CMAN是否为等垂四边形，并说明理由．
【母题P53习题21.1T5】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，问AB与DC有怎样的位置关系？为什么？BC与AD呢？
【变式】如图，在四边形ABCD中，射线CE交AD于点F，连接BF，BF⊥CE.
(1)若∠DFC＝50°，求∠AFB的度数；
(2)若∠FBC＋∠AFE＝90°，判断直线AD和BC的位置关系，并说明理由．
13．(推理能力)(河南驻马店上蔡县期末)规定：有一对相对的角互补的四边形叫作智慧四边形．例如，在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°或∠B＋∠D＝180°，则四边形ABCD是智慧四边形．
(1)如图1，已知四边形ABCD是智慧四边形，其中三个内角∠A，∠B，∠C的比是4∶3∶2，则∠D的度数为 ．
(2)如图2，D为△ABC内一点，且∠BDC＝90°＋∠A，△ABC的两个外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点E，判断四边形DBEC是否为智慧四边形，并说明理由．
　21．1.1　四边形及其内角和
四边形的定义
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点.
考点　四边形的内、外角和
【典例】如图，在四边形ABCD中，∠B＝50°，∠C＝110°，∠D＝90°，AE⊥BC于点E，AF是∠BAD的平分线，与边BC交于点F，求∠EAF的度数．
解：∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°.
∵∠B＝50°，∴∠BAE＝90°－∠B＝40°.
∵∠C＝110°，∠D＝90°，∠AEC＝90°，
∴∠DAE＝360°－∠D－∠C－∠AEC＝70°，
∴∠BAD＝∠BAE＋∠DAE＝40°＋70°＝110°.
∵AF平分∠BAD，
∴∠FAB＝∠BAD＝×110°＝55°，
∴∠EAF＝∠FAB－∠BAE＝55°－40°＝15°.
在四边形中求角时，通常会用到四边形的内角和为360°，再结合三角形的内角和定理、角的平分线、垂线等性质进行计算．
【变式训练】
如图所示，在四边形ABDC中，∠C与∠D的平分线相交于点P，且∠A＝70°，∠B＝80°，求∠P的度数．
由题意，得∠DCP＝∠ACD，∠CDP＝∠CDB，
∴∠P＝180°－∠DCP－∠CDP＝180°－∠ACD－∠CDB＝180°－(∠ACD＋∠CDB)＝180°－(360°－∠A－∠B)＝180°－(360°－70°－80°)＝75°.
知识点1?　四边形及其相关概念
1．(福建龙岩上杭县期中)在四边形ABCD中，边AB的对边是CD．
2．(辽宁大连中山区月考)如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD是一个凹四边形.
(1)求凹四边形ABCD的周长；
(2)连接AC，∠ACD是直角吗？求出凹四边形ABCD的面积．
(1)由勾股定理，得AD＝＝5，CD＝＝5.由图可得AB＝4，BC＝3，
∴凹四边形ABCD的周长是AB＋BC＋CD＋AD＝4＋3＋5＋5＝12＋5；
(2)由勾股定理，得AC2＝32＋42＝25.
∵AC2＋CD2＝25＋25＝50，AD2＝50，
∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，
即∠ACD是直角．
∴S凹四边形ABCD＝SRt△ACD－SRt△ABC＝AC·CD－AB·BC＝×5×5－×4×3＝.
知识点2?　四边形的内角和与外角和
(河北邯郸永年区期末)如图，从△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE.如果∠1＋∠2＝240°，那么∠C度数为(B)
A．40° B．60° C．50° D．55°
如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是(A)
A．2∠A＝∠1＋∠2
B．3∠A＝2∠1＋∠2
C．∠A＝∠1＋∠2
D．3∠A＝2∠1＋2∠2
如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，E是BC边上的点，EF⊥AE，交CD于点F，∠EFD＝110°.
(1)求∠DAE的度数；
(2)若∠AEB＝∠CEF，AE平分∠BAD，试说明：∠B＝∠C.
(1)∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°.
∵∠EFD＝110°，∠D＝90°，∴∠DAE＝360°－∠AEF－∠D－∠EFD＝360°－90°－90°－110°＝70°；
(2)由(1)，得∠DAE＝70°.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝70°.
∵∠EFD＝110°，∴∠EFC＝180°－∠EFD＝180°－110°＝70°，∴∠BAE＝∠CFE.
∵∠AEB＝∠CEF，∠B＝180°－∠BAE－∠AEB，∠C＝180°－∠CFE－∠CEF，∴∠B＝∠C.
知识点3?　四边形的不稳定性
6．下列设计的原理不是利用三角形的稳定性的是(A)
A．由四边形组成的伸缩门
B．自行车的三角形车架
C．斜钉一根木条的长方形窗框
D．照相机的三脚架
(河南周口期中)如图，伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的不稳定性．
8．(山东临沂费县期末)定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．如图1，∵∠A＝∠B＝90°，BC＝CD，∴四边形ABCD是邻等四边形．如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，点D在图中的格点上，符合条件的点D有(C)
　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(江苏苏州姑苏区期末)如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠D＝245°，将∠B，∠C按如图所示的方式折叠．若∠DMC′＝45°，则∠AEB′＋∠CFB′＋∠BNC′＝275°.
根据四边形内角和为(4－2)×180°＝360°.
∵∠A＋∠D＝245°，
∴∠B＋∠C＝360°－(∠A＋∠D)＝360°－245°＝115°.
由折叠，可知∠B′＝∠B，∠C′＝∠C，∠BFE＝∠B′FE，∠BEF＝∠B′EF，∠AEB′＋∠B′EB＝∠AEB′＋2∠BEF＝180°①，∠CFB′＋∠BFB′＝∠CFB′＋2∠BFE＝180°②，∠B＋∠BEF＋∠BFE＝180°③，
由①②③，可得∠AEB′＋∠CFB′＝2∠B.
如图，设CD与C′N相交于点G，
则∠NGC＝∠C′＋∠DMC′＝∠C＋∠DMC′，∠BNC′＝∠NGC＋∠C＝∠C＋∠DMC′＋∠C＝2∠C＋∠DMC′＝2∠C＋45°，
∴∠AEB′＋∠CFB′＋∠BNC′＝2∠B＋2∠C＋45°＝2(∠B＋∠C)＋45°＝2×115°＋45°＝275°.
10．(江苏南京玄武区期末)如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°.
　
11．(福建泉州南安市期末)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F.
(1)若∠ADC＝130°，则∠CBE＝25°；
(2)探索猜想DF与BE的位置关系，并说明理由．
(1)四边形ABCD的内角和为(4－2)·180°＝2×180°＝360°，即∠A＋∠ABC＋∠C＋∠ADC＝360°.
∵∠A＝∠C＝90°，∠ADC＝130°，∴∠ABC＝360°－∠A－∠C－∠ADC＝360°－90°－90°－130°＝50°.
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABC＝×50°＝25°.
(2)DF∥BE，理由如下：
在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC＋∠ADC＝360°－90°－90°＝180°.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠ABC，∠ADF＝∠ADC，
∴∠ABE＋∠ADF＝(∠ABC＋∠ADC)＝×180°＝90°.
∵在Rt△ADF中，∠ADF＋∠AFD＝90°，
∴∠AFD＝∠ABE，∴DF∥BE.
12．(吉林长春农安县校级期末)如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫作等垂四边形．如图1，在四边形ABCD中，若∠ADC＝∠ABC，且BD⊥AD，则四边形ABCD为等垂四边形．
如图2，图3，已知四边形ABCD为等垂四边形，∠DAB＝∠DCB，AC⊥BC.
　
(1)在图2中，若∠B＝30°，∠ACD＝40°，则∠D的度数为70°；
(2)在图3中，若CD∥AB，CM，AN分别平分∠ACD，∠CAB，请判断四边形CMAN是否为等垂四边形，并说明理由．
四边形CMAN是等垂四边形，理由如下：
∵CD∥AB，∴∠ACD＝∠CAB.
∵CM，AN 分别平分∠ACD，∠CAB，∴∠DCM＝∠ACD，∠BAN＝∠CAB，∴∠DCM＝∠BAN.
∵四边形ABCD为等垂四边形，∠DAB＝∠DCB，
∴∠DAB－∠BAN＝∠DCB－∠DCM，即∠MAN＝∠MCN.
∵AC⊥NC，∴四边形CMAN是等垂四边形.
【母题P53习题21.1T5】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，问AB与DC有怎样的位置关系？为什么？BC与AD呢？
AB∥DC；BC∥AD.
理由：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，BC∥AD.
【变式】如图，在四边形ABCD中，射线CE交AD于点F，连接BF，BF⊥CE.
(1)若∠DFC＝50°，求∠AFB的度数；
(2)若∠FBC＋∠AFE＝90°，判断直线AD和BC的位置关系，并说明理由．
(1)∵BF⊥CE，∴∠EFB＝90°.
∵∠DFC＝50°，∴∠AFE＝∠DFC＝50°，
∴∠AFB＝∠EFB－∠AFE＝90°－50°＝40°；
(2)AD∥BC.理由如下：
由题意，可得∠EFB＝90°，即∠AFE＋∠AFB＝90°.
∵∠FBC＋∠AFE＝90°，∴∠AFB＝∠FBC，
∴AD∥BC.
13．(推理能力)(河南驻马店上蔡县期末)规定：有一对相对的角互补的四边形叫作智慧四边形．例如，在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°或∠B＋∠D＝180°，则四边形ABCD是智慧四边形．
(1)如图1，已知四边形ABCD是智慧四边形，其中三个内角∠A，∠B，∠C的比是4∶3∶2，则∠D的度数为90°．
(2)如图2，D为△ABC内一点，且∠BDC＝90°＋∠A，△ABC的两个外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点E，判断四边形DBEC是否为智慧四边形，并说明理由．
　
四边形DBEC是智慧四边形，理由如下：
∵△ABC的两个外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点E，
∴∠CBE＝∠MBC，∠BCE＝∠NCB，
则∠CBE＋∠BCE＝∠MBC＋∠NCB
＝(∠MBC＋∠NCB)
＝(180°－∠ABC＋180°－∠ACB)
＝(180°＋∠A)
＝90°＋∠A.
∵∠CBE＋∠BCE＋∠E＝180°，∴90°＋∠A＋∠E＝180°.
又∵∠BDC＝90°＋∠A，∴∠BDC＋∠E＝180°，
∴四边形DBEC是智慧四边形．

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