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20．2　勾股定理的逆定理及其应用
1．互逆命题
一个命题的题设和结论与另一个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题．
2．互逆定理
一般地，一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么这个逆命题也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.
3．勾股定理的逆定理
如果直角三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
4．勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
考点1?　勾股定理的逆定理
【典例1】如图，AC＝5，AB＝3，边BC上的中线AD＝2，求△ABC的面积．
解：如图，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE.
∵AD为BC上的中线，
∴BD＝CD.
在△ACD和△EBD中，
∴△ACD≌△EBD(SAS)，
∴S△ACD＝S△EDB，AC＝BE＝5，
∴S△ABC＝S△ABE，
∵ED＝AD，∴AE＝2AD＝2×2＝4.
在△ABE中，AB＝3，AE＝4，BE＝5，
∵32＋42＝52，∴△ABE是直角三角形．
∴S△ABE＝×3×4＝6，∴S△ABC＝6.
勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要依据，同时它还可以用来判断两条相交线是否相互垂直．运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：(1)先确定三角形的最长边c，算出最长边的平方c2的值；(2)计算三角形另外两条边a，b的平方和a2＋b2的值；(3)比较最长边的平方c2与另两边的平方和a2＋b2是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形．
【变式训练】
1．(海南临高县期中)如图，在△ADC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB＝20.求BD的长．
∵在△ADC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，
∴AC2＋DC2＝122＋92＝152＝AD2，
∴△ADC是直角三角形，且∠C＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝16，
∴BD＝BC－DC＝16－9＝7.故BD的长为7.
考点2?　勾股定理的逆定理在网格中的运用
【典例2】如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若小方格的边长为1，则△ABC的形状是(B)
A.锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
解析：先根据勾股定理求出△ABC各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状即可．
由图形，可知AB2＝22＋42＝20，
AC2＝22＋12＝5，
BC2＝42＋32＝25.
∴AB2＋AC2＝20＋5＝25＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
解答这类问题，一般先根据勾股定理计算出相应线段的长，再根据勾股定理的逆定理进行判断．注意实际计算时，如果确定各条边长差距“很大”，可以只计算线段的平方，避免因为走“回头路”而增加计算量.
【变式训练】
2．(北京月考)如图所示的网格是正方形网格，则∠ABC＝45°(点A，B，C是网格线交点).
知识点1?　互逆命题
1．下列命题的逆命题为真命题的是(D)
A．如果a＝b，那么a2＝b2
B．无理数是无限小数
C．对顶角相等
D．两直线平行，同旁内角互补
2．(江苏无锡中考)请写出命题“如果a＞b，那么 b－a＜0”的逆命题：如果b－a＜0，那么a＞b．
3．(山东临沂沂水县期末)写出下列各命题的逆命题，并判断它们的真假．
(1)内错角相等，两直线平行；
(2)如果m2＝n2，那么m＝n；
(3)线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；
(4)如果△ABC是钝角三角形，则△ABC的内角中一定有两个锐角．
(1)逆命题为：两直线平行，内错角相等，此命题是真命题.
(2)逆命题为：如果m＝n，那么m2＝n2，此命题是真命题．
(3)逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线，此命题是真命题；
(4)逆命题为：如果△ABC的内角中有两个锐角，那么△ABC是钝角三角形，此命题是假命题．
知识点2?　勾股定理的逆定理
4．(海南乐东县期末)下列各组线段中，不能构成直角三角形的三边的是(C)
A．3，4，5 B．1，，
C．3，4，7 D．6，8，10
5．如图，在网格图(每个小方格均是边长为1的正方形)中，以AB为一边作直角三角形ABC，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是(D)
A．C1 B．C2 C．C3 D．C4
6．阅读以下解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：因为a2c2－b2c2＝a4－b4，①
所以c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)，②
所以c2＝a2＋b2.③
所以△ABC为直角三角形．④
(1)上述解题过程从哪一步开始出现错误？该步的序号为③；
(2)错误的原因是不能确定a2－b2是不是0；
(3)本题正确的结论是什么？并说明理由．
△ABC是等腰三角形或直角三角形．
理由如下：
∵a2c2－b2c2＝a4－b4，∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)，∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0，∴a＝b或a2＋b2＝c2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
知识点3?　勾股数
7．(海南保亭县期中)下列四组数据中，是勾股数的是(D)
A．1，2，3 B．4，5，6
C．1，2， D．3，4，5
8．(湖北十堰茅箭区校级模拟)观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；….请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：11，60，61.
知识点4?　勾股定理逆定理的应用
9．(云南昆明寻甸县期中)甲、乙、丙三人分别在操场上的点O，A，B处，其两两之间的距离如图所示．若乙在甲的北偏西50°方向，则丙在甲的什么方向？(B)
A．南偏西50° B．南偏西40°
C．西南方向 D．北偏东50°
10．(海南定安县期末)近年来，河南嵩县通过人居环境的不断提质发展，城乡绿化覆盖率达到60%以上，助力城乡人居环境提质“美颜”．如图，现有一块四边形空地ABCD，计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，AB＝13 m，BC＝12 m，CD＝3 m，A，C之间的距离是5 m.
(1)求AD的长度．
(2)若种植草皮需要100元/m2，则给这块四边形空地种植草皮需要多少元？
(1)连接AC.
∵∠ADC＝90°，CD＝3 m，A，C之间的距离是5 m，
∴AD＝＝＝4(m)，
即AD的长度为4 m；
(2)∵AB＝13 m，BC＝12 m，AC＝5 m，
∴AC2＋BC2＝52＋122＝169＝132＝AB2，∴∠ACB＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝×3×4＋×5×12＝6＋30＝36(m2)，
∴四边形空地种植草皮需要36×100＝3 600(元).
易错易混点　不能利用勾股定理的逆定理辨别航行方向
11.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40 m/min，甲客轮用15 min到达点A，乙客轮用20 min到达点B，若A，B两点的直线距离为1 000 m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是(C)
A．北偏西30° B．南偏西30°
C．南偏东60° D．南偏西60°
12．已知a，b，c是△ABC的三边，下列条件中，能够判断△ABC为直角三角形的是(D)
A．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
B．∠A＝∠B＝2∠C
C．a∶b∶c＝2∶2∶3
D．a＝1，b＝2，c＝
13．如图，点D，E分别为△ABC边BC，AC上的点，连接AD，DE，过点E作EF∥BC，连接CF，若∠ADB＝∠CAD＋30°，AE＝5，DE＝12，AD＝13，则∠DEF的度数为120°.
14．若8，15，x是一组勾股数，则x的值为17．
【母题P36例2】如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile，它们离开港口1.5 h后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
根据题意，PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30.
因为242＋182＝302，即PQ2＋PR2，所以∠QPR＝90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°.因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．
【变式】一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100 km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125 km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60 km.
(1)若轮船速度为25 km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
(2)C岛在A港的什么方向？
(1)由题意，得AD＝60 km.
在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，即602＋BD2＝1002，解得BD＝80 km，∴CD＝BC－BD＝125－80＝45(km).
在Rt△ADC中，AC＝＝＝75(km)，
75÷25＝3(h).
答：轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3小时．
(2)∵AB2＋AC2＝1002＋752＝15 625，BC2＝1252＝15 625，
∴AB2＋AC2＝BC2，∴△BAC为直角三角形，即∠BAC＝90°，∴∠NAC＝180°－90°－48°＝42°，
∴C岛在A港的北偏西42°方向．
15．(运算能力)能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，勾股数组公式为a＝(m2－n2)，b＝mn，c＝(m2＋n2)，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
当n＝1时，a＝(m2－1)①，b＝m②，c＝(m2＋1)③.
∵直角三角形有一边长为5，∴分三种情况：
①当a＝5时，(m2－1)＝5，∴m2＝11，此时b不是正整数，舍去；
②当b＝5时，即m＝5，把m＝5代入①③，得a＝12，c＝13；
③当c＝5时，(m2＋1)＝5，∴m2＝9，解得m＝±3.
∵m＞0，∴m＝3.将m＝3代入①②，得a＝4，b＝3，
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4.20．2　勾股定理的逆定理及其应用
1．互逆命题
一个命题的 和 与另一个命题的 和 正好 ，我们把这样的两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的 ．
2．互逆定理
一般地，一个定理的逆命题经过证明是 ，那么这个逆命题也是一个定理，称这两个定理互为 .
3．勾股定理的逆定理
如果直角三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是直角三角形．
4．勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
考点1?　勾股定理的逆定理
【典例1】如图，AC＝5，AB＝3，边BC上的中线AD＝2，求△ABC的面积．
勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要依据，同时它还可以用来判断两条相交线是否相互垂直．运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：(1)先确定三角形的最长边c，算出最长边的平方c2的值；(2)计算三角形另外两条边a，b的平方和a2＋b2的值；(3)比较最长边的平方c2与另两边的平方和a2＋b2是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形．
【变式训练】
1．(海南临高县期中)如图，在△ADC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB＝20.求BD的长．
考点2?　勾股定理的逆定理在网格中的运用
【典例2】如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若小方格的边长为1，则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
解答这类问题，一般先根据勾股定理计算出相应线段的长，再根据勾股定理的逆定理进行判断．注意实际计算时，如果确定各条边长差距“很大”，可以只计算线段的平方，避免因为走“回头路”而增加计算量.
【变式训练】
2．(北京月考)如图所示的网格是正方形网格，则∠ABC＝ (点A，B，C是网格线交点).
知识点1?　互逆命题
1．下列命题的逆命题为真命题的是( )
A．如果a＝b，那么a2＝b2
B．无理数是无限小数
C．对顶角相等
D．两直线平行，同旁内角互补
2．(江苏无锡中考)请写出命题“如果a＞b，那么 b－a＜0”的逆命题： ．
3．(山东临沂沂水县期末)写出下列各命题的逆命题，并判断它们的真假．
(1)内错角相等，两直线平行；
(2)如果m2＝n2，那么m＝n；
(3)线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；
(4)如果△ABC是钝角三角形，则△ABC的内角中一定有两个锐角．
知识点2?　勾股定理的逆定理
4．(海南乐东县期末)下列各组线段中，不能构成直角三角形的三边的是( )
A．3，4，5 B．1，，
C．3，4，7 D．6，8，10
5．如图，在网格图(每个小方格均是边长为1的正方形)中，以AB为一边作直角三角形ABC，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是( )
A．C1 B．C2 C．C3 D．C4
6．阅读以下解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：因为a2c2－b2c2＝a4－b4，①
所以c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)，②
所以c2＝a2＋b2.③
所以△ABC为直角三角形．④
(1)上述解题过程从哪一步开始出现错误？该步的序号为 ；
(2)错误的原因是 ；
(3)本题正确的结论是什么？并说明理由．
知识点3?　勾股数
7．(海南保亭县期中)下列四组数据中，是勾股数的是( )
A．1，2，3 B．4，5，6
C．1，2， D．3，4，5
8．(湖北十堰茅箭区校级模拟)观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；….请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： .
知识点4?　勾股定理逆定理的应用
9．(云南昆明寻甸县期中)甲、乙、丙三人分别在操场上的点O，A，B处，其两两之间的距离如图所示．若乙在甲的北偏西50°方向，则丙在甲的什么方向？( )
A．南偏西50° B．南偏西40°
C．西南方向 D．北偏东50°
10．(海南定安县期末)近年来，河南嵩县通过人居环境的不断提质发展，城乡绿化覆盖率达到60%以上，助力城乡人居环境提质“美颜”．如图，现有一块四边形空地ABCD，计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，AB＝13 m，BC＝12 m，CD＝3 m，A，C之间的距离是5 m.
(1)求AD的长度．
(2)若种植草皮需要100元/m2，则给这块四边形空地种植草皮需要多少元？
易错易混点　不能利用勾股定理的逆定理辨别航行方向
11.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40 m/min，甲客轮用15 min到达点A，乙客轮用20 min到达点B，若A，B两点的直线距离为1 000 m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( )
A．北偏西30° B．南偏西30°
C．南偏东60° D．南偏西60°
12．已知a，b，c是△ABC的三边，下列条件中，能够判断△ABC为直角三角形的是( )
A．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
B．∠A＝∠B＝2∠C
C．a∶b∶c＝2∶2∶3
D．a＝1，b＝2，c＝
13．如图，点D，E分别为△ABC边BC，AC上的点，连接AD，DE，过点E作EF∥BC，连接CF，若∠ADB＝∠CAD＋30°，AE＝5，DE＝12，AD＝13，则∠DEF的度数为 .
14．若8，15，x是一组勾股数，则x的值为 ．
【母题P36例2】如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile，它们离开港口1.5 h后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
【变式】一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100 km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125 km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60 km.
(1)若轮船速度为25 km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
(2)C岛在A港的什么方向？
15．(运算能力)能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，勾股数组公式为a＝(m2－n2)，b＝mn，c＝(m2＋n2)，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．

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