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20．1　勾股定理及其应用
第1课时　勾股定理
1．勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
2．勾股定理的验证
勾股定理的验证方法很多，多数是运用拼图，结合面积来进行验证．
考点1?　利用勾股定理解决有关线段问题
【典例1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的平分线交BD，BC分别于点O，E，若EC＝，CD＝2，则OB的长为(D)
A．2 B．2 C． D．
解析：连接DE，∵∠C＝90°，EC＝，CD＝2，∴DE＝＝.
∵AB＝AD，AE平分∠BAD，∴AE垂直平分BD，
∴BE＝DE＝，OB＝BD，∴BC＝BE＋CE＝4，
∴BD＝＝2，∴OB＝.
此类问题主要是通过添加辅助线构造含有所需线段的直角三角形，再使用勾股定理建立数量关系进行等量代换求解．
【变式训练】
1．(广东深圳期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2.D为斜边AB上一动点，连接CD，过点D作DE⊥CD交边BC于点E，若△BDE为等腰三角形，则△CDE的周长为(D)
A.＋3 B．6 C．＋2 D．5
考点2?　利用勾股定理求图形面积
【典例2】(海南东方期末)如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S3＋S2－S1＝18，则图中阴影部分的面积为(B)
A．6 B． C．5 D．
解析：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＋AB2＝BC2，即S1＋S2＝S3，
∵S3＋S2－S1＝18，∴S2＝9，由图形可知，阴影部分的面积＝S2，
∴阴影部分的面积＝.
本题考查了勾股定理以及正方形的面积，由勾股定理得出S2＋S1＝S3是解题的关键.
【变式训练】
2．(安徽宿州月考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，则正方形ABDE的面积为(C)
A．81 B．144 C．225 D．169
知识点1?　勾股定理的内容及证明
1．(海南东方月考)勾股定理与黄金分割并称为几何学中的两大瑰宝．勾股定理的发现可以称为是数学史上的里程碑，2 000多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理，利用如图①的直角三角形纸片拼成的②③④⑤四个图形中，可以证明勾股定理的图形有多少个．(C)
　　　　
　　
A．1 B．2 C．3 D．4
2.赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为a和b，若ab＝8，且a2＋b2＝25，则黄实为(D)
A．36 B．25 C．16 D．9
知识点2?　利用勾股定理进行计算
3．(海南乐东县期末)已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB的长为(C)
A． B． C．4 D．
4．(广西玉林兴业县期末)如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC.以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AC于点D，以点A为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点P.若AB＝2，则BP＝3－．
5．(浙江杭州西湖区校级期末)△ABC的三边长分别为5，x－2，x＋1，若该三角形是以x＋1为斜边的直角三角形，求x的值．
∵该三角形是以x＋1为斜边的直角三角形，
∴52＋(x－2)2＝(x＋1)2，∴x＝.
易错易混点　在直角三角形中求边长时忽略分类讨论
6.若直角三角形的两边长分别为12和5，则第三边长为(B)
A．13 B．13或 C．13或15 D．119
7．(海南澄迈县期末)如图，平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(0，6)，(8，0)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交y轴负半轴于点C，则点C的坐标为(D)
A．(－10，0) B．(0，－10) C．(0，－2) D．(0，－4)
8．(陕西西安校级期末)如图，四个全等的直角三角形围成了正方形ABCD和正方形EFGH，连接AC，分别交EF，GH于点P，Q.已知＝，正方形ABCD的面积为30，则图中阴影部分的面积和为(A)
A．6 B．12 C． D．
由题意，∠AEP＝∠CGQ＝∠CFP＝90°，AE＝CG＝BF，BE＝CF，
∴AE∥CF，BE∥DG，EF＝GF，∴∠EAP＝∠GCQ，∴△AEP≌△CGQ(ASA)，
∴EP＝GQ，S△AEP＝S△CGQ.
∵＝，∴设AE＝x，则AE＝CG＝BF＝x，BE＝CF＝3x，
∴EF＝GF＝CF－CG＝2x，∴S△FGQ＝2S△CGQ＝S△AEP＋S△CGQ，
∴阴影部分的面积之和＝S梯形GQPF＝(GQ＋PF)·GF＝(EP＋PF)·GF＝EF·GF＝×(2x)2＝2x2.
∵正方形ABCD的面积为30，
∴AE2＋BE2＝AB2，即x2＋9x2＝30，解得x2＝3，∴2x2＝6，
∴阴影部分的面积之和为6.
9．(贵州安顺校级期末)如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是(D)
A．14 B．16 C．14 D．14
10．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．
如图，分别延长AD，BC交于点E.
∵∠ADC＝90°，∴∠EDC＝180°－∠ADC＝90°.
∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°.
在Rt△CDE中，∵∠EDC＝90°，CD＝2，∠E＝30°，∴CE＝2CD＝4，
∴DE＝＝＝2，∴S△CDE＝×2×2＝2.
在Rt△ABE中，∵∠B＝90°，AB＝4，∠E＝30°，∴AE＝2AB＝8，
∴BE＝＝＝4，∴S△ABE＝×4×4＝8，
∴四边形ABCD的面积为S△ABE－S△CDE＝8－2＝6.
【母题P26练习T2】如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积．
SE＝SA＋SB＋SC＋SD＝122＋162＋92＋122＝625.
【变式】如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，B，D的面积依次为5，13，30，则正方形C的面积为(A)
A．12 B．18 C．10 D．20
11．(材料分析)【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接AD，△ABC的三边长分别为a，b，c(a＞b)，四边形ACFD的面积可以表示为(a＋b)(a＋b)或2×ab＋c2，从而推导出a2＋b2＝c2.
　
【探究】淇淇将△DEF从图1的位置开始沿BC向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图2所示，AB与DE交于点O，下面是淇淇利用图2证明勾股定理的过程．请将淇淇的探究过程补充完整．
证明：连接AD，AE.
S梯形ACBD＝(AC＋BD)·BC＝a2＋ab，
S四边形CABD＝S△ACE＋S△AED＋S△BED＝AC·CE＋DE·AO＋DE·OB＝AC·CE＋DE·(AO＋BO)＝b(a－b)＋c2．
由S四边形ACBD＝S梯形ACBD，可整理得到a2＋b2＝c2；
【应用】在图2的基础上，若四边形AEBD的面积为200，AC的长为12，求BC的长．
【探究】 连接AD，AE(图略).
S梯形ACBD＝(AC＋BD)·BC＝·a＝a2＋ab，如题图1所示，AB⊥DE，则由平移的性质，可得在题图题2中AB⊥DE，
S四边形CABD＝S△ACE＋S△AED＋S△BED
＝AC·CE＋DE·AO＋DE·OB
＝AC·CE＋DE·(AO＋BO)
＝AC·CE＋DE·AB
＝b(a－b)＋c2＝ab－b2＋c2，
∵S四边形ACBD＝S梯形ACBD，∴ab－b2＋c2＝a2＋ab，∴a2＋b2＝c2，
【应用】 ∵S四边形AEBD＝S△ADE＋S△BDE＝200，∴DE·AO＋DE·OB＝200，
∴DE·AB＝200，∴c2＝200，∴c＝20或c＝－20(舍去)，
∴BC＝＝16.
第2课时　勾股定理的应用
勾股定理的应用
利用勾股定理可以解决实际生活中与直角三角形有关的许多问题．其常见应用如下：
1．在直角三角形中，已知两边，利用勾股定理可求第三边的长，进而解决问题；或是已知该直角三角形的一边，可得到另两边的关系．
2．由勾股定理，可证明与直角三角形的三边的平方有关的一些结论．
3．利用勾股定理，可以作出长度为无理数的线段.
考点1?　利用勾股定理画一线段等于已知长度为无理数的线段
【典例1】在数轴上作出对应的点．
解析：如图，过数轴上表示2的点C作数轴的垂线，然后以点C为圆心，1个单位长度为半径画弧，交垂线于点A，连接OA，在Rt△OAC中，由OC＝2，AC＝1，利用勾股定理得到OA＝，故以O为圆心，OA长为半径画弧，与数轴交于点B，得到点B即为所求作的点．
解：数轴上点B表示对应的点(如图所示)：
本题考查了勾股定理以及尺规作图，解题的关键是构造直角三角形，使其两直角边长分别为1，2，则根据勾股定理得出斜边长为，利用了转化的思想，技巧性较强，学生要掌握其作图的方法．
【变式训练】
1．如图，把长方形ABCD放在数轴上，BC＝4，CD＝1，以点B为圆心，BD长为半径画弧交数轴于点E，则点E表示的数为－3.
考点2?　勾股定理的实际应用
【典例2】(海南澄迈县期末)八年级二班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，
他们进行了如下操作：
(1)测得BD的长度为15米．(注：BD⊥CE)
(2)根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米．
(3)牵线放风筝的小明身高1.6米．
求风筝的高度CE.
解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD2＝BC2－BD2＝252－152＝400，
∴CD＝±20(负值舍去)，
∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6，
答：风筝的高度CE为21.6米．
在应用勾股定理解决实际问题时，首先要从情境中抽象出直角三角形，并将已知和待求的线段置于直角三角形中，若没有直角三角形，则考虑添加辅助线来构造直角三角形．
【变式训练】
2．(海南儋州期末)为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：∠BAD＝90°，AD＝3 m，AB＝4 m，BC＝13 m，CD＝12 m．根据你所学过的知识，解决下列问题：
(1)四边形ABCD的面积；
(2)点D到BC的距离．
(1)如图1，连接BD，
图1
∵∠BAD＝90°，AD＝3 m，AB＝4 m，
∴BD＝＝＝5(m)，
∵52＋122＝132，∴BD2＋CD2＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴S四边形ABCD＝SRt△ABD＋SRt△BDC＝AB·AD＋BD·CD＝×(4×3＋5×12)＝36(m2)，
答：四边形ABCD的面积为36 m2；
图2
(2)如图2，过点D作DE⊥BC于点E，
由(1)可知，△BDC是直角三角形，∠BDC＝90°，∴S△BDC＝BC·DE＝BD·CD，∴DE＝＝＝(m)，答：点D到BC的距离为 m．
知识点1?　在数轴上表示无理数
1．如图，在边长为1的正方形网格中，线段AB的长度在数轴上的(C)
　
A．①段 B．②段 C．③段 D．④段
2．(辽宁大连期末)如图，数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，BA⊥OA，垂足为点A，且BA＝1，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为(A)
A．－ B．
C．2＋ D．2－
知识点2?　勾股定理的实际应用
3．(海南儋州期末)如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1 m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5 m，由此可计算出学校旗杆的高度是(C)
A．8 m B．10 m C．12 m D．15 m
4．(海南澄迈县期末)如图1是办公桌摆件，在图2中，四边形ABCD是矩形，若对角线AC⊥EO，垂足是E，AB＝15 cm，BC＝8 cm，AE＝25 cm，则CE的长为(C)
　
A．6 cm B．7 cm
C．8 cm D．9 cm
5．(海南校级月考)如图，一木杆在离地面3 m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4 m处，则木杆折断之前的高度为(C)
A．5 m B．7 m C．8 m D．9 m
知识点3?　利用勾股定理解决与网格有关的问题
6．如图，在4×3的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长都是1，则线段AC与线段BC的大小关系为(A)
A．AC＜BC B．AC＞BC
C．AC＝BC D．无法确定
7．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为(D)
A． B．0.8
C．－2 D．3－
易错易混点　不能恰当利用勾股定理解决实际问题
8．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16的直吸管露在罐外部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是(B)
A．4≤a≤5 B．3≤a≤4
C．2≤a≤3 D．1≤a≤2
9．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7 cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24 cm，小组成员调整张角的大小继续探究，当张角∠DAF＝120°时(D是B的对应点).则线段CE的长为(A)
　　
A．11.5 cm B．12 cm
C．12.5 cm D．13 cm
10．(海南儋州期末)如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1 m，将它往前推4 m至C处时(即水平距离CD＝4 m)，踏板离地的垂直高度CF＝3 m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是(B)
A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m
(海南万宁期末)如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为(C)
A． B．3
C． D．4
12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的顶点均在格点上，则四边形ABCD的边长为整数的边是(B)
A．AB和AD B．AD和CD
C．AD和BC D．BC和CD
13．如图，王师傅在铁片△ABC中剪切下△ABD，且∠ADB＝90°，AD＝6 cm，BD＝8 cm.
(1)求AB的长；
(2)若BC＝24 cm，AC＝26 cm，求图中阴影部分的面积．
(1)在Rt△ABD中，根据勾股定理，可得AB＝＝10 cm，即AB的长为10 cm；
(2)在△ABC中，AB2＝100 cm2，BC2＝576 cm2，AC2＝676 cm2，∴AB2＋BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴S阴影部分＝×AB×BC－×AD×BD＝96 (cm)2，
即图中阴影部分的面积为96 cm2.
14．如图，风筝在点C处，在A，B两处各用一根引线固定着这个风筝，其中引线BC与水平地面垂直，引线AC的长度为10米，A，B两处的水平距离为8米(风筝本身的长宽忽略不计).
(1)求此时风筝离地面的高度BC；
(2)现要使风筝沿竖直方向上升9米至点M处，若A，B位置不变，引线AC的长度应加长多少米？
(1)如图所示，
在Rt△ABC中，AB＝8米，AC＝10米，则BC＝＝＝6米；
(2)如图所示，
在Rt△ABM中，AB＝8米，BM＝BC＋CM＝6＋9＝15(米)，则AM＝＝＝17(米)；
由(1)知，原线长为10米，则引线AC的长度应加长17－10＝7(米).
【母题P26例3】如图，一架长为2.5 m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7 m．如果将梯子底端沿OB向外移动0.8 m，那么梯子顶端也沿墙AO下滑0.8 m吗？
可以看出，AC＝OA－OC，
在Rt△AOB中，根据勾股定理，OA2＝AB2－OB2＝2.52－0.72＝5.76.
OA＝2.4.
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OC2＝CD2－OD2＝2.52－(0.7＋0.8)2＝4，OC＝2.
所以，AC＝OA－OC＝2.4－2＝0.4.
因此，当梯子底端向外移动0.8 m时，梯子顶端并不是下滑0.8 m，而是下滑0.4 m．
【变式】某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌(AB)，放置在教室的黑板上面(如图所示).在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子(AE＝5米)靠在宣传牌(AB)A处，底端落在地板E处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌(AB)的B处，而底端E向外移到了1米到C处(CE＝1米).测量得BM＝4米．求宣传牌(AB)的高度(结果用根号表示).
由题意，可得AE＝BC＝5 m，BM＝4 m，EC＝1 m，
在Rt△MBC中，MC＝＝3(m)，则EM＝3－1＝2(m)，
在Rt△AEM中，AM＝＝(m)，故AB＝AM－BM＝(－4)m，
答：宣传牌(AB)的高度为(－4)m.
15．(运算能力)如图，解放广场的草坪上有AO，OC，CD，DA，AC五条小路，且∠AOC＝∠ADC＝90°，AD＝7 m，DC＝24 m，CO＝15 m.
(1)求小路AO的长度；
(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点O处，小狗从点O开始以2 m/s的速度在小路上沿O→C→A的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，设奔跑中小狗的位置为点Q，小狗奔跑的时间为t s；
①当小狗在小路CA上奔跑时，求出淇淇与小狗的最近距离，并求此时t的值；
②当△OCQ为等腰三角形时，求t的值．
(1)在Rt△ACD中，∠D＝90°，AD＝7 m，DC＝24 m，则由勾股定理，可得AC＝＝＝25(cm)，
在Rt△ACO中，∠O＝90°，AC＝24 m，CO＝15 m，则由勾股定理，可得AO＝＝＝20(cm)，
∴小路AO的长度20 m；
①由点到直线距离垂线段最短，过点O作OB⊥AC于点B，如图所示，
∴在Rt△ACO中，S△AOC＝AO·OC＝AC·OB，则20×15＝25OB，解得OB＝12 m，
在Rt△BOC中，∠OBC＝90°，OC＝15 m，OB＝12 m，则由勾股定理可得BC＝＝9(cm)，
∴小狗跑的路程为OC＋CB＝15＋9＝24( m)，
∵小狗以2 m/s的速度奔跑，∴小狗奔跑的时间为t＝24÷2＝12 s；
②由①知，当OB⊥AC时，BC＝9 m，OB＝12 m，
∵CO＝15 m，∴△OCQ为等腰三角形分为三种情况：OC＝OQ；QO＝QC；CO＝CQ；
当OC＝OQ＝15 m时，如图所示，
由等腰三角形性质可知CQ＝2BC＝18 m，
∴小狗跑的路程为OC＋CQ＝15＋18＝33(m)，
∵小狗以2 m/s的速度奔跑，
∴小狗奔跑的时间为t＝33÷2＝16.5 (s)；
当QO＝QC时，过点Q作QE⊥OC于点E，如图所示，
由等腰三角形性质可知∠OQE＝∠CQE，
∵∠AOC＝90°，∴QE∥OA，
∴∠OAC＝∠EQC，∠AOQ＝∠OQE，
∴∠OAQ＝∠AOQ，则AQ＝OQ＝QC＝AC＝ m，
∴小狗跑的路程为OC＋CQ＝15＋＝ m，
∵小狗以2 m/s的速度奔跑，
∴小狗奔跑的时间为t＝÷2＝13.75 (s)；
当QC＝OC＝15 m时，小狗跑的路程为OC＋CQ＝15＋15＝30(m)，
∵小狗以2 m/s的速度奔跑，
∴小狗奔跑的时间为t＝30÷2＝15 s；
∴当△OCQ为等腰三角形时，t的值为13.75 s或15 s或16.5 s．20．1　勾股定理及其应用
第1课时　勾股定理
1．勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝ ．
2．勾股定理的验证
勾股定理的验证方法很多，多数是运用 ，结合 来进行验证．
考点1?　利用勾股定理解决有关线段问题
【典例1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的平分线交BD，BC分别于点O，E，若EC＝，CD＝2，则OB的长为( )
A．2 B．2 C． D．
此类问题主要是通过添加辅助线构造含有所需线段的直角三角形，再使用勾股定理建立数量关系进行等量代换求解．
【变式训练】
1．(广东深圳期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2.D为斜边AB上一动点，连接CD，过点D作DE⊥CD交边BC于点E，若△BDE为等腰三角形，则△CDE的周长为( )
A.＋3 B．6 C．＋2 D．5
考点2?　利用勾股定理求图形面积
【典例2】(海南东方期末)如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S3＋S2－S1＝18，则图中阴影部分的面积为( )
A．6 B． C．5 D．
本题考查了勾股定理以及正方形的面积，由勾股定理得出S2＋S1＝S3是解题的关键.
【变式训练】
2．(安徽宿州月考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，则正方形ABDE的面积为( )
A．81 B．144 C．225 D．169
知识点1?　勾股定理的内容及证明
1．(海南东方月考)勾股定理与黄金分割并称为几何学中的两大瑰宝．勾股定理的发现可以称为是数学史上的里程碑，2 000多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理，利用如图①的直角三角形纸片拼成的②③④⑤四个图形中，可以证明勾股定理的图形有多少个．( )
　　　　
　　
A．1 B．2 C．3 D．4
2.赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为a和b，若ab＝8，且a2＋b2＝25，则黄实为( )
A．36 B．25 C．16 D．9
知识点2?　利用勾股定理进行计算
3．(海南乐东县期末)已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB的长为( )
A． B． C．4 D．
4．(广西玉林兴业县期末)如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC.以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AC于点D，以点A为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点P.若AB＝2，则BP＝ ．
5．(浙江杭州西湖区校级期末)△ABC的三边长分别为5，x－2，x＋1，若该三角形是以x＋1为斜边的直角三角形，求x的值．
易错易混点　在直角三角形中求边长时忽略分类讨论
6.若直角三角形的两边长分别为12和5，则第三边长为( )
A．13 B．13或 C．13或15 D．119
7．(海南澄迈县期末)如图，平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(0，6)，(8，0)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交y轴负半轴于点C，则点C的坐标为( )
A．(－10，0) B．(0，－10) C．(0，－2) D．(0，－4)
8．(陕西西安校级期末)如图，四个全等的直角三角形围成了正方形ABCD和正方形EFGH，连接AC，分别交EF，GH于点P，Q.已知＝，正方形ABCD的面积为30，则图中阴影部分的面积和为( )
A．6 B．12 C． D．
9．(贵州安顺校级期末)如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是( )
A．14 B．16 C．14 D．14
10．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．
【母题P26练习T2】如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积．
【变式】如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，B，D的面积依次为5，13，30，则正方形C的面积为( )
A．12 B．18 C．10 D．20
11．(材料分析)【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接AD，△ABC的三边长分别为a，b，c(a＞b)，四边形ACFD的面积可以表示为(a＋b)(a＋b)或2×ab＋c2，从而推导出a2＋b2＝c2.
　
【探究】淇淇将△DEF从图1的位置开始沿BC向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图2所示，AB与DE交于点O，下面是淇淇利用图2证明勾股定理的过程．请将淇淇的探究过程补充完整．
证明：连接AD，AE.
S梯形ACBD＝(AC＋BD)·BC＝ ，
S四边形CABD＝S△ACE＋S△AED＋S△BED＝AC·CE＋DE·AO＋DE·OB＝AC·CE＋DE·(AO＋BO)＝ ＋ ．
由S四边形ACBD＝S梯形ACBD，可整理得到 ；
【应用】在图2的基础上，若四边形AEBD的面积为200，AC的长为12，求BC的长．
第2课时　勾股定理的应用
勾股定理的应用
利用勾股定理可以解决实际生活中与直角三角形有关的许多问题．其常见应用如下：
1．在直角三角形中，已知两边，利用勾股定理可求 的长，进而解决问题；或是已知该直角三角形的一边，可得到另两边的 ．
2．由勾股定理，可证明与直角三角形的三边的平方有关的一些结论．
3．利用勾股定理，可以作出长度为无理数的 .
考点1?　利用勾股定理画一线段等于已知长度为无理数的线段
【典例1】在数轴上作出对应的点．
【变式训练】
1．如图，把长方形ABCD放在数轴上，BC＝4，CD＝1，以点B为圆心，BD长为半径画弧交数轴于点E，则点E表示的数为 .
考点2?　勾股定理的实际应用
【典例2】(海南澄迈县期末)八年级二班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，
他们进行了如下操作：
(1)测得BD的长度为15米．(注：BD⊥CE)
(2)根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米．
(3)牵线放风筝的小明身高1.6米．
求风筝的高度CE.
在应用勾股定理解决实际问题时，首先要从情境中抽象出直角三角形，并将已知和待求的线段置于直角三角形中，若没有直角三角形，则考虑添加辅助线来构造直角三角形．
【变式训练】
2．(海南儋州期末)为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：∠BAD＝90°，AD＝3 m，AB＝4 m，BC＝13 m，CD＝12 m．根据你所学过的知识，解决下列问题：
(1)四边形ABCD的面积；
(2)点D到BC的距离．
知识点1?　在数轴上表示无理数
1．如图，在边长为1的正方形网格中，线段AB的长度在数轴上的( )
　
A．①段 B．②段 C．③段 D．④段
2．(辽宁大连期末)如图，数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，BA⊥OA，垂足为点A，且BA＝1，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为( )
A．－ B．
C．2＋ D．2－
知识点2?　勾股定理的实际应用
3．(海南儋州期末)如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1 m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5 m，由此可计算出学校旗杆的高度是( )
A．8 m B．10 m C．12 m D．15 m
4．(海南澄迈县期末)如图1是办公桌摆件，在图2中，四边形ABCD是矩形，若对角线AC⊥EO，垂足是E，AB＝15 cm，BC＝8 cm，AE＝25 cm，则CE的长为( )
　
A．6 cm B．7 cm
C．8 cm D．9 cm
5．(海南校级月考)如图，一木杆在离地面3 m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4 m处，则木杆折断之前的高度为( )
A．5 m B．7 m C．8 m D．9 m
知识点3?　利用勾股定理解决与网格有关的问题
6．如图，在4×3的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长都是1，则线段AC与线段BC的大小关系为( )
A．AC＜BC B．AC＞BC
C．AC＝BC D．无法确定
7．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为( )
A． B．0.8
C．－2 D．3－
易错易混点　不能恰当利用勾股定理解决实际问题
8．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16的直吸管露在罐外部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是( )
A．4≤a≤5 B．3≤a≤4
C．2≤a≤3 D．1≤a≤2
9．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7 cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24 cm，小组成员调整张角的大小继续探究，当张角∠DAF＝120°时(D是B的对应点).则线段CE的长为( )
　　
A．11.5 cm B．12 cm
C．12.5 cm D．13 cm
10．(海南儋州期末)如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1 m，将它往前推4 m至C处时(即水平距离CD＝4 m)，踏板离地的垂直高度CF＝3 m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是( )
A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m
(海南万宁期末)如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为( )
A． B．3
C． D．4
12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的顶点均在格点上，则四边形ABCD的边长为整数的边是( )
A．AB和AD B．AD和CD
C．AD和BC D．BC和CD
13．如图，王师傅在铁片△ABC中剪切下△ABD，且∠ADB＝90°，AD＝6 cm，BD＝8 cm.
(1)求AB的长；
(2)若BC＝24 cm，AC＝26 cm，求图中阴影部分的面积．
14．如图，风筝在点C处，在A，B两处各用一根引线固定着这个风筝，其中引线BC与水平地面垂直，引线AC的长度为10米，A，B两处的水平距离为8米(风筝本身的长宽忽略不计).
(1)求此时风筝离地面的高度BC；
(2)现要使风筝沿竖直方向上升9米至点M处，若A，B位置不变，引线AC的长度应加长多少米？
【母题P26例3】如图，一架长为2.5 m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7 m．如果将梯子底端沿OB向外移动0.8 m，那么梯子顶端也沿墙AO下滑0.8 m吗？
【变式】某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌(AB)，放置在教室的黑板上面(如图所示).在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子(AE＝5米)靠在宣传牌(AB)A处，底端落在地板E处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌(AB)的B处，而底端E向外移到了1米到C处(CE＝1米).测量得BM＝4米．求宣传牌(AB)的高度(结果用根号表示).
15．(运算能力)如图，解放广场的草坪上有AO，OC，CD，DA，AC五条小路，且∠AOC＝∠ADC＝90°，AD＝7 m，DC＝24 m，CO＝15 m.
(1)求小路AO的长度；
(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点O处，小狗从点O开始以2 m/s的速度在小路上沿O→C→A的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，设奔跑中小狗的位置为点Q，小狗奔跑的时间为t s；
①当小狗在小路CA上奔跑时，求出淇淇与小狗的最近距离，并求此时t的值；
②当△OCQ为等腰三角形时，求t的值．

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