资源简介

19．3　二次根式的加法与减法
1．二次根式的加减
一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并．
2．二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方等运算．
考点1?　二次根式的混合运算
【典例1】(海南海口美兰区月考)计算：
(1)2×＋；
(2)÷－×＋.
解：(1)原式＝2＋＋
＝2＋2＋1＝2＋3；
(2)原式＝－＋2
＝4－＋2＝4＋.
根据二次根式乘除法法则计算，并化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【变式训练】
1．(海南澄迈县期中)计算：
(1)(＋)(－)；
(2)＋－2×＋2.
(1)原式＝3－2＝1；
(2)原式＝4＋－2＋2＝5.
考点2?　利用二次根式解决图形的面积问题
【典例2】(海南琼中县月考)小明家装修，电视背景墙长BC为 m，宽AB为 m，中间要镶一个长为2 m，宽为 m的大理石图案(图中阴影部分).
(1)长方形ABCD的周长是多少？(结果化为最简二次根式)
(2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布的造价为6元/m2，大理石的造价为200元/m2，则整个电视墙需要花费多少元？(结果化为最简二次根式)
解：(1)长方形ABCD的周长为2(＋)＝2(3＋2)＝(6＋4) m，
答：长方形ABCD的周长是(6＋4) m；
(2)长方形ABCD的面积：×＝3×2＝6(m2)，
大理石的面积：2×＝2(m2)，
壁布的面积：6－2＝4(m2)，
整个电视墙的总费用：6×4＋200×2＝24＋400＝424(元).
答：整个电视墙需要花费424元．
此类问题先确定相关图形的周长、面积，进而借助单价计算需要的花费．利用图形的周长、面积公式列出算式，并依据二次根式的混合运算法则进行计算是解决问题的关键．
【变式训练】
2．(吉林长春月考)某校有一块形状为正方形的绿地，其边长为(＋2)米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为(＋1)米、宽为(－1)米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道．
(1)求通道的总面积；
(2)若要在通道上铺设造价为8元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要花费多少元(参考数据：≈1.41)
(1)由题意，得通道的总面积为(＋2)2－4(＋1)(－1)＝50＋4＋4－4×6＝30＋20(m2).
(2)由(1)，可知通道的总面积为(30＋20)m2.
∴购买地砖需要花费：8×(30＋20)＝240＋160≈240＋160×1.41＝465.6(元).
知识点1?　能合并的二次根式
1．(海南临高县期末)下列各式，化简后能与合并的是(D)
A． B． C． D．
2．(海南琼海期末)若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝2．
知识点2?　二次根式的加减
3．(海南澄迈县期中)若＋＝，则y的值为(C)
A．15 B．8 C．3 D．2
4．若m＋－n＝5，则下列结论正确的是(B)
A．m＝0，n＝1 B．m＝1，n＝1
C．m＝－1，n＝0 D．m＝2，n＝4
5．计算：
(1)(－)－；
(2)4－＋；
(3)－6＋2.
(1)原式＝3－－2＝；
(2)原式＝4×－3＋2＝；
(3)原式＝－3＋4＝4－2.
知识点3?　二次根式的混合运算
6．如图，点A，B，C，D在数轴上，则可以近似表示×－÷2的运算结果的点是(C)
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．计算：×＋＝7．
8．计算下列各小题：
(1)6÷2＋；
(2)(＋1)(3－)－.
(1)原式＝3＋＝4；
(2)原式＝3－5＋3－－2＝－2.
易错易混点　不能正确对二次根式加减的结果进行化简
9.若＋＝，则M＝(C)
A．5 B．10 C．20 D．25
10．(山东烟台牟平区期末)已知最简二次根式与二次根式可以合并，则整数m，n的值分别为(A)
A．m＝1，n＝0 B．m＝－1，n＝0
C．m＝1，n＝2 D．m＝－1，n＝2
11．(海南琼海期末)已知x，y为实数，xy＝3，那么＋的值为(D)
A． B．±
C．2 D．±2
12．(海南万宁月考)老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是(B)
→→)Ｂ→→
A．小明和小丽 B．小丽和小红
C．小红和小亮 D．小丽和小亮
13．计算下列各小题．
(1)2－－2；
(2)(2－)(3＋2)＋÷2.
(1)原式＝6－4－＝；
(2)原式＝6＋4－3－12＋＝－6.
14．嘉琪准备完成题目“计算：－■－(3－4)”时，发现“■”处的数字印刷不清楚．
(1)他把“■”处的数字猜成4，请你计算－4－(3－4)的结果；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到这个题的正确答案是3.”通过计算说明题目中的“■”处的数字是几．
(1)－4－
＝4－4×－3×＋4×＝3＋；
(2)设“■”处的数字为a，则
－a－
＝4－a×－＋4×
＝4－－＋2＝3＋，
∵这个题的正确答案是3.
∴2－＝0，解得a＝8，即“■”处的数字是8.
【母题P15练习T1】计算：
(1)(＋)；(2)(＋)÷；
(3)(＋3)(＋2)；(4)(＋)(－).
(1)(＋)＝×＋×＝＋；
(2)(＋)÷＝(4＋2)×＝4＋2；
(3)(＋3)(＋2)＝5＋2＋3＋6＝11＋5；
(4)(＋)(－)＝()2－()2＝6－2＝4.
【变式】计算：
(1)－＋；
(2)(2－1)2＋(＋2)(－2).
(1)－＋＝3－4＋＝0；
(2)(2－1)2＋(＋2)(－2)＝12－4＋1＋3－4＝12－4.
15．(辨析说理)小静同学准备完成试卷上的题目计算：(*－)－(－4)时，发现“*”处的数字印刷不清楚，她翻看了答案，发现最终结果是－，她把“*”处的数字猜测成3，并进行计算，请你判断她的猜想正确吗？若正确，请写出她的求解过程；若不正确，请说明理由．
小静的猜想正确．理由如下：
∵＋()＝－＋－2＝－＋，－＋＋＝－＋＋＝，3＝，
∴小静的猜想正确．19．3　二次根式的加法与减法
1．二次根式的加减
一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成 二次根式，再将被开方数 的二次根式合并．
2．二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、 、除、乘方、 等运算．
考点1?　二次根式的混合运算
【典例1】(海南海口美兰区月考)计算：
(1)2×＋；
(2)÷－×＋.
根据二次根式乘除法法则计算，并化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【变式训练】
1．(海南澄迈县期中)计算：
(1)(＋)(－)；
(2)＋－2×＋2.
考点2?　利用二次根式解决图形的面积问题
【典例2】(海南琼中县月考)小明家装修，电视背景墙长BC为 m，宽AB为 m，中间要镶一个长为2 m，宽为 m的大理石图案(图中阴影部分).
(1)长方形ABCD的周长是多少？(结果化为最简二次根式)
(2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布的造价为6元/m2，大理石的造价为200元/m2，则整个电视墙需要花费多少元？(结果化为最简二次根式)
此类问题先确定相关图形的周长、面积，进而借助单价计算需要的花费．利用图形的周长、面积公式列出算式，并依据二次根式的混合运算法则进行计算是解决问题的关键．
【变式训练】
2．(吉林长春月考)某校有一块形状为正方形的绿地，其边长为(＋2)米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为(＋1)米、宽为(－1)米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道．
(1)求通道的总面积；
(2)若要在通道上铺设造价为8元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要花费多少元(参考数据：≈1.41)
知识点1?　能合并的二次根式
1．(海南临高县期末)下列各式，化简后能与合并的是( )
A． B． C． D．
2．(海南琼海期末)若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝ ．
知识点2?　二次根式的加减
3．(海南澄迈县期中)若＋＝，则y的值为( )
A．15 B．8 C．3 D．2
4．若m＋－n＝5，则下列结论正确的是( )
A．m＝0，n＝1 B．m＝1，n＝1
C．m＝－1，n＝0 D．m＝2，n＝4
5．计算：
(1)(－)－；
(2)4－＋；
(3)－6＋2.
知识点3?　二次根式的混合运算
6．如图，点A，B，C，D在数轴上，则可以近似表示×－÷2的运算结果的点是( )
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．计算：×＋＝ ．
8．计算下列各小题：
(1)6÷2＋；
(2)(＋1)(3－)－.
易错易混点　不能正确对二次根式加减的结果进行化简
9.若＋＝，则M＝( )
A．5 B．10 C．20 D．25
10．(山东烟台牟平区期末)已知最简二次根式与二次根式可以合并，则整数m，n的值分别为( )
A．m＝1，n＝0 B．m＝－1，n＝0
C．m＝1，n＝2 D．m＝－1，n＝2
11．(海南琼海期末)已知x，y为实数，xy＝3，那么＋的值为( )
A． B．±
C．2 D．±2
12．(海南万宁月考)老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是( )
→→)Ｂ→→
A．小明和小丽 B．小丽和小红
C．小红和小亮 D．小丽和小亮
13．计算下列各小题．
(1)2－－2；
(2)(2－)(3＋2)＋÷2.
14．嘉琪准备完成题目“计算：－■－(3－4)”时，发现“■”处的数字印刷不清楚．
(1)他把“■”处的数字猜成4，请你计算－4－(3－4)的结果；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到这个题的正确答案是3.”通过计算说明题目中的“■”处的数字是几．
【母题P15练习T1】计算：
(1)(＋)；(2)(＋)÷；
(3)(＋3)(＋2)；(4)(＋)(－).
【变式】计算：
(1)－＋；
(2)(2－1)2＋(＋2)(－2).
15．(辨析说理)小静同学准备完成试卷上的题目计算：(*－)－(－4)时，发现“*”处的数字印刷不清楚，她翻看了答案，发现最终结果是－，她把“*”处的数字猜测成3，并进行计算，请你判断她的猜想正确吗？若正确，请写出她的求解过程；若不正确，请说明理由．

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