资源简介

19．2　二次根式的乘法与除法
第1课时　二次根式的乘法
1．二次根式的乘法法则
·＝ (a≥0，b≥0).
2．二次根式乘法法则的逆运用
＝· (a≥0，b≥0).
考点　利用二次根式乘法法则的条件求字母的取值范围
【典例】(海南文昌期末)若·＝成立，则( )
A．x≥4 B．x≥－4
C．－4≤x≤4 D．x为任意实数
如果已知算式中含有多个二次根式，那么每一个二次根式的被开方数都是非负数，利用所有限制条件列不等式(组)求解即可得到字母的取值范围．
【变式训练】
　(海南海口期末)若＝·成立，则x的取值范围是 ．
知识点1?　二次根式的乘法法则
1．(海南琼中县月考)×＝( )
A． B． C．2 D．3
2．若与的积是一个有理数，则m的值可以是( )
A．2 B．4 C．9 D．10
3．计算：(1)×；(2)×.
知识点2?积的算数平方根　
4．若＝m，＝n，则下列表示正确的是( )
A．5m B．5n
C．5mn D．5
5．＝ ．
易错易混点　不清楚二次根式乘法运算原理
6.(福建福州福清市期中)计算2×5的结果是30，在计算过程中，不可能用到的运算原理(包括运算律，运算法则、性质)是( )
A．乘法分配律
B．乘法交换律、结合律
C．二次根式乘法法则
D．二次根式性质＝a(a≥0)
7．(重庆期中)下列算式中，计算正确的是( )
A．3×4＝12
B．＝×＝(－3)×(－5)＝15
C．－3＝＝6
D．＝＝5
8．直角三角形的两条直角边长分别为 cm， cm，则这个直角三角形的面积为 cm2.
9．计算×的结果为 ，这个数落在了数轴上的 段．
10．化简：(1)；
(2)－；(3)－.
【母题P7练习T1】计算：
(1)×；(2)×；
(3)2×；(4)×.
【变式】计算：
(1)2×(－3)；
(2)×2× .
11．(湖南长沙期中)先来看一个有趣的现象：＝＝＝2，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：＝3，＝4等等．
(1)①请你写一个有“穿墙”现象的数；
②按此规律，若＝a(a，b为正整数)，则a＋b的值为 ．
(2)你能只用一个正整数n(n≥2)来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律．
第2课时　二次根式的除法
1．二次根式的除法法则
＝(a≥0，b＞0).
2．二次根式除法法则的逆运用
＝(a≥0，b＞0).
3．最简二次根式
(1)被开方数不含 ；
(2)被开方数中不含 的因数或因式．
考点1?　与二次根式乘除有关的化简求值
【典例1】已知|12a－b＋9|＋＝0，先化简再求a(÷)的值．
与二次根式乘除有关的化简求值的方法：(1)利用二次根式乘除的法则将所求算式进行化简；(2)确定字母的取值，并将其代入化简后的结果；(3)按照运算顺序和法则进行计算求值．
【变式训练】
1．(海南东方月考)在学完“二次根式的乘除”后，数学老师给同学们留下这样一道思考题：已知x＋y＝－6，xy＝4，求＋的值．
小刚是这样解的：＋＝＋＝＋＝.
把x＋y＝－6，xy＝4代入，
得＝＝－3.
显然，这个解法是错误的，请你写出正确的解题过程．
考点2?　根据最简二次根式的定义求字母的值
【典例2】(海南海口月考)若和都是最简二次根式，则mn＝__ __．
解：由和都是最简二次根式，得
解得mn＝12＝1.
此类问题先根据最简二次根式中被开方数不含分母，被开方数不含能开方的因数或因式，可得方程组，再解方程组求解即可.
【变式训练】
2．最简二次根式与可以合并，则a＋b的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
知识点1?　二次根式的除法法则
1．计算÷□＝2，则□中的数为( )
A． B． C．3 D．6
2．计算：÷的结果是 ．
3．计算：(1)÷；(2) .
知识点2?　商的算数平方根
4．(天津南开区期末)下列各式计算正确的是( )
A．＝
B．＝2
C．＝2
D．÷＝＝
5．(山东威海期末)能使等式＝成立的x的取值范围是( )
A．x≠2 B．x≥0
C．x＞2 D．x≥2
6．化简：(1)；(2)；(3).
知识点3?　最简二次根式
7．(海南月考)下列各式是最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
8．把下列二次根式化成最简二次根式：
(1)；(2)；(3)；(4).
易错易混点　不能正确进行二次根式乘除运算
9．计算：＝ ．
10．下列各式从左到右的变形正确的有( )
①＝·；②＝；③·＝；④＝.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．(海南东方月考)计算：3÷×的值为( )
A．1 B．3 C． D．9
12．计算：＝ ．
13．(福建泉州安溪县校级月考)有一个体积为120 cm3的长方体，它的高为2 cm，长为3 cm，则这个长方体的宽为 cm.
14．(河北唐山期末)下面是小明和大刚分别计算：×，的做法．
小明的做法：
解：×＝＝＝6，＝＝＝3.
大刚的做法：
解： ×＝×3＝6，＝＝3.
两人的做法是否都正确？并选一个你认为合适的方法，计算下面的题目：
(1)3×；(2).
15．(安徽阜阳太和县期末)对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“ ”如下：a b＝，如3 2＝＝.
(1)填空：5 4＝ ．
(2)若12 4＝(x－1)，求x的值．
【母题P9练习T1】计算：
(1)÷；(2)；(3)；(4)÷.
【变式】计算：
(1)×÷；
(2)÷×.
16．(推理能力)观察下列各式及其验证过程：
2＝，
验证：2＝＝＝＝；
3＝，
验证：3＝＝＝＝.
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果，并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式，并给出证明．19．2　二次根式的乘法与除法
第1课时　二次根式的乘法
1．二次根式的乘法法则
·＝(a≥0，b≥0).
2．二次根式乘法法则的逆运用
＝· (a≥0，b≥0).
考点　利用二次根式乘法法则的条件求字母的取值范围
【典例】(海南文昌期末)若·＝成立，则(A)
A．x≥4 B．x≥－4
C．－4≤x≤4 D．x为任意实数
解析：由二次根式的乘法法则，可得x＋4≥0，且x－4≥0，则有x≥－4且x≥4，取公共部分，可得x≥4.
如果已知算式中含有多个二次根式，那么每一个二次根式的被开方数都是非负数，利用所有限制条件列不等式(组)求解即可得到字母的取值范围．
【变式训练】
　(海南海口期末)若＝·成立，则x的取值范围是2≤x≤3．
知识点1?　二次根式的乘法法则
1．(海南琼中县月考)×＝(B)
A． B． C．2 D．3
2．若与的积是一个有理数，则m的值可以是(D)
A．2 B．4 C．9 D．10
3．计算：(1)×；(2)×.
(1)×＝3.
(2)×＝＝＝6.
知识点2?积的算数平方根　
4．若＝m，＝n，则下列表示正确的是(B)
A．5m B．5n
C．5mn D．5
5．＝．
易错易混点　不清楚二次根式乘法运算原理
6.(福建福州福清市期中)计算2×5的结果是30，在计算过程中，不可能用到的运算原理(包括运算律，运算法则、性质)是(A)
A．乘法分配律
B．乘法交换律、结合律
C．二次根式乘法法则
D．二次根式性质＝a(a≥0)
7．(重庆期中)下列算式中，计算正确的是(D)
A．3×4＝12
B．＝×＝(－3)×(－5)＝15
C．－3＝＝6
D．＝＝5
8．直角三角形的两条直角边长分别为 cm， cm，则这个直角三角形的面积为cm2.
9．计算×的结果为2，这个数落在了数轴上的④段．
10．化简：(1)；
(2)－；(3)－.
(1)原式＝＝12×13＝156；
(2)原式＝－×15＝－5；
(3)原式＝－＝－×32＝－16.
【母题P7练习T1】计算：
(1)×；(2)×；
(3)2×；(4)×.
① ×＝ ；
② ×＝×2＝2×3＝6；
③2×＝2×××＝＝2；
④×＝12×＝＝2.
【变式】计算：
(1)2×(－3)；
(2)×2× .
(1)2×(－3)＝2×(－3)×＝－6＝－4；
(2)×2× ＝2××＝.
11．(湖南长沙期中)先来看一个有趣的现象：＝＝＝2，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：＝3，＝4等等．
(1)①请你写一个有“穿墙”现象的数；
②按此规律，若＝a(a，b为正整数)，则a＋b的值为71．
(2)你能只用一个正整数n(n≥2)来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律．
(1)①＝5；
②由题意，得a＝8，b＝63，∴a＋b＝8＋63＝71.
(2)结论：＝n·(n≥2).
理由：＝＝n(n≥2).
第2课时　二次根式的除法
1．二次根式的除法法则
＝(a≥0，b＞0).
2．二次根式除法法则的逆运用
＝(a≥0，b＞0).
3．最简二次根式
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式．
考点1?　与二次根式乘除有关的化简求值
【典例1】已知|12a－b＋9|＋＝0，先化简再求a(÷)的值．
解：由题意，得
解得
原式＝a(×)
＝a×＝a；
当a＝－1，b＝－3时，
原式＝×(－1)＝－3.
与二次根式乘除有关的化简求值的方法：(1)利用二次根式乘除的法则将所求算式进行化简；(2)确定字母的取值，并将其代入化简后的结果；(3)按照运算顺序和法则进行计算求值．
【变式训练】
1．(海南东方月考)在学完“二次根式的乘除”后，数学老师给同学们留下这样一道思考题：已知x＋y＝－6，xy＝4，求＋的值．
小刚是这样解的：＋＝＋＝＋＝.
把x＋y＝－6，xy＝4代入，
得＝＝－3.
显然，这个解法是错误的，请你写出正确的解题过程．
∵x＋y＝－6，xy＝4，∴x<0，y<0，
∴＋＝－－＝－.
把x＋y＝－6，xy＝4代入，
得原式＝－＝－＝3.
考点2?　根据最简二次根式的定义求字母的值
【典例2】(海南海口月考)若和都是最简二次根式，则mn＝__1__．
解：由和都是最简二次根式，得
解得mn＝12＝1.
此类问题先根据最简二次根式中被开方数不含分母，被开方数不含能开方的因数或因式，可得方程组，再解方程组求解即可.
【变式训练】
2．最简二次根式与可以合并，则a＋b的值为(C)
A．2 B．3 C．4 D．5
知识点1?　二次根式的除法法则
1．计算÷□＝2，则□中的数为(A)
A． B． C．3 D．6
2．计算：÷的结果是．
3．计算：(1)÷；(2) .
(1)原式＝＝＝3；
(2)原式＝＝.
知识点2?　商的算数平方根
4．(天津南开区期末)下列各式计算正确的是(D)
A．＝
B．＝2
C．＝2
D．÷＝＝
5．(山东威海期末)能使等式＝成立的x的取值范围是(C)
A．x≠2 B．x≥0
C．x＞2 D．x≥2
6．化简：(1)；(2)；(3).
(1)原式＝；(2)原式＝＝；
(3)原式＝＝＝.
知识点3?　最简二次根式
7．(海南月考)下列各式是最简二次根式的是(A)
A． B． C． D．
8．把下列二次根式化成最简二次根式：
(1)；(2)；(3)；(4).
(1)＝＝2；(2)＝＝3；
(3)＝＝；(4)＝＝.
易错易混点　不能正确进行二次根式乘除运算
9．计算：＝6．
10．下列各式从左到右的变形正确的有(B)
①＝·；②＝；③·＝；④＝.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．(海南东方月考)计算：3÷×的值为(A)
A．1 B．3 C． D．9
12．计算：＝2．
13．(福建泉州安溪县校级月考)有一个体积为120 cm3的长方体，它的高为2 cm，长为3 cm，则这个长方体的宽为2cm.
14．(河北唐山期末)下面是小明和大刚分别计算：×，的做法．
小明的做法：
解：×＝＝＝6，＝＝＝3.
大刚的做法：
解： ×＝×3＝6，＝＝3.
两人的做法是否都正确？并选一个你认为合适的方法，计算下面的题目：
(1)3×；(2).
两人的做法都正确，
(1)3×＝3××＝9；
(2)＝＝＝.
15．(安徽阜阳太和县期末)对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“ ”如下：a b＝，如3 2＝＝.
(1)填空：5 4＝3．
(2)若12 4＝(x－1)，求x的值．
(1)5 4＝＝3；
(2)∵12 4＝＝＝，∴＝(x－1)，
解得x＝.
【母题P9练习T1】计算：
(1)÷；(2)；(3)；(4)÷.
(1)原式＝＝＝3；
(2)原式＝＝＝2；
(3)原式＝＝＝＝2；
(4)原式＝＝＝2a.
【变式】计算：
(1)×÷；
(2)÷×.
(1)原式＝＝8；
(2)原式＝÷×3＝××3＝9.
16．(推理能力)观察下列各式及其验证过程：
2＝，
验证：2＝＝＝＝；
3＝，
验证：3＝＝＝＝.
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果，并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式，并给出证明．
(1)4＝.
验证：4＝＝＝＝.
(2)n＝.
证明如下：
n＝＝＝＝.

展开更多......

收起↑