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19．1　二次根式及其性质
第1课时　二次根式的概念
1．一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式，“” 称为二次根号．
2．二次根式有意义的条件
因为负数没有平方根，所以使二次根式 有意义的条件是被开方数a≥0．
考点　二次根式有意义的条件的应用
【典例】若＋有意义，则(－n)2的平方根为(D)
A． B． C．± D．±
解析：∵＋有意义，
∴1－2n≥0且2n－1≥0，解得n＝，
∴(－n)2＝，∴(－n)2的平方根为±.
二次根式有意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【变式训练】
　(海南陵水县期末)二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是(D)
知识点1　二次根式的定义
1．(海南澄迈县期中)下列式子一定是二次根式的是(C)
A． B．π C． D．
2．(河北沧州盐山县期末)若是二次根式，则x应满足(A)
A．x≥2 B．x＜2
C．x＞2 D．x≠2
3．若是一个二次根式，求(x－2 024)x的值．
∵是一个二次根式，
∴－(2 023－x)2≥0.
∴(2 023－x)2≤0，∴(2 023－x)2＝0，
∴2 023－x＝0，∴x＝2 023，
∴(x－2 024)x＝(2 023－2 024)2 023＝(－1)2 023＝－1.
知识点2?　二次根式有意义的条件
4．(海南海口二模)使有意义的x的取值范围是(D)
A．x＞2 025 B．x＜－2 025
C．x≤2 025 D．x≥2 025
5．(海南海口琼山区月考)若式子有意义，则实数x的取值范围是x＞1．
知识点3?　二次根式的实际应用
6．(江苏南通如皋市期末)一个正方体纸盒的表面积为12 dm2，则其棱长是dm.
7．(广东中山期中)一个长方形的面积为150 cm2，它的长和宽之比为5∶3，求这个长方形的长和宽．
设这个长方形的长为5x cm、宽为3x cm.
则5x·3x＝150，15x2＝150，x＝±.
∵x＞0，∴x＝，5x＝5，3x＝3，
答：这个长方形的长和宽分别为5 cm，3 cm.
易错易混点　忽视分式有意义的条件
8．代数式在实数范围内有意义，则x的值可能为(D)
A．0 B．－2 C．－1 D．1
9．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为(A)
A．2 B．3 C．4 D．5
10．(海南文昌月考)已知a满足|2 025－a|＋＝a，则a－2 0252＝(D)
A．0 B．1 C．2 025 D．2 026
11．若x＝－＋2，则|x－y|的值是(B)
A．5 B．1 C．－1 D．2
12．(上海闵行区校级月考)已知实数x，y满足y＝，求x＋y的立方根．
∵16－x2≥0，x2－16≥0，∴x2＝16，解得x＝±4.
又∵x＋4≠0，∴x≠－4，∴x＝4，即y＝＝－，
∴x＋y＝×4－＝，
∴x＋y的立方根为＝.
【母题P3练习T2】当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)；(2)；(3).
(1)a≥1；(2)a≤5；(3)a为任意实数．
【变式】当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)；(2)；(3).
(1)x≥0.(2)∵x＋2≥0，∴x≥－2.
(3)∵1－2x≥0，∴x≤.
13．(运算能力)先阅读，后回答问题：x为何值时，有意义？
解：要使该二次根式有意义，需x(x－3)≥0，由乘法法则得或
解得x≥3或x≤0.
∴当x≥3或x≤0时，有意义．
体会解题思想后，请你解答：x为何值时，有意义？
要使该二次根式有意义，需≥0，
由乘法法则，得或
解得x≥1或x＜－2，当x≥1或x＜－2时，有意义．
第2课时　二次根式的性质
1．二次根式(a≥0)的非负性
由于(a≥0)表示非负数a的算术平方根，所以它是非负数，这个性质一般也是非负数的算术平方根的性质．
2．()2＝a(a≥0) 的运用
()2＝a(a≥0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身．特别注意：(－)2＝a(a≥0).利用()2＝a(a≥0)可以计算二次根式平方的值．
3．的化简
＝|a|＝
4．代数式
如5，a，a＋b，－ab，，－x3，，(a≥0)，它们都是用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式．
考点　二次根式性质的应用
【典例】在实数范围内分解因式：
(1)x2－5；(2)2x2－14；(3)x2＋2x＋2.
解：(1)x2－5＝(x＋)(x－)；
(2)2x2－14＝2(x2－7)＝2(x＋)(x－)；
(3)x2＋2x＋2＝x2＋2×x＋()2＝(x＋)2.
在实数范围内分解因式时，需要把正数a转化为()2，以便于运用平方差公式或完全平方公式分解因式．
【变式训练】
　(海南模拟)若2，5，n为三角形的三边长，化简＋.
由三角形三边关系，可知3＜n＜7，
∴3－n＜0，8－n＞0，
∴原式＝|3－n|＋|8－n|＝－(3－n)＋(8－n)＝－3＋n＋8－n＝5.
知识点1?　二次根式的非负性
1．已知＋＝0，则2ab＝－20．
2．(河南开封兰考县月考)当x取什么实数时，式子＋2的值最小？求出这个最小值．
∵≥0，∴＋2≥2，
∴当x＝时，式子＋2的值最小，最小值是2.
知识点2?　二次根式的性质()2＝a(a≥0)
3．(山东日照莒县月考)把4写成一个正数的平方的形式是(C)
A．(2)2 B．(2)2或(－2)2
C．()2 D．()2或(－)2
4．已知|m|＝4，()2＝2，且mn＜0，则m－n的值为(D)
A．2 B．6 C．－2 D．－6
5．计算：
(1)()2；(2)(2)2；(3)()2.
(1)()2＝；(2)(2)2＝22×5＝20；
(3)()2＝.
知识点3?　二次根式的性质＝a(a≥0)
6．若＝x－3，则x的取值范围是(B)
A．x＞3 B．x≥3
C．x＜3 D．x≤3
7．(海南三亚期末)下列各式中，正确的是(C)
A．＝－7
B．＝±7
C．－＝－7
D．＝±7
8．(海南海口期末)当x<1时，＝1－x．
易错易混点　对二次根式的性质掌握不熟练
9．对于式子m＋，有下面结论：
甲：当m＝3时，原式＝4；
乙：当m＜2时，原式＝3.
其中说法正确的是(A)
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
10．当x的值为0时，4－的值最大，这个最大值为1．
11．已知a，b，c为三角形的三边，则＋＋＝a＋b＋c．
12．已知实数m，n(n≠0)满足|2m－4|＋＝0，求m－n的值．
由题意，得解得
∴m－n＝2－(－3)＝5.
13．如图，已知数轴上的点A，B，C分别表示实数a，b，c.化简：|a－b|＋＋()2.
由数轴，可得c＜b＜a，∴|a－b|＋＋()2＝a－b＋b－c＋a－c＝2a－2c.
【母题P4练习T2】化简：
(1)；(2)；
(3)－；(4).
(1)0.3　(2)　(3)－π　(4)
【变式】计算：
(1)；(2)；(3).
(1)＝1.5.(2)＝.
(3)＝3-1＝.
14．(推理能力)先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a＋b＝m，ab＝n，即()2＋()2＝m，·＝，那么便有：
＝＝±(a>b).
例如：化简：.
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，∵4＋3＝7，4×3＝12，
即()2＋()2＝7，×＝，
∴＝＝＝2＋.
(1)化简为＋．
(2)根据上述方法化简：.
(1)＋
(2)将化为，
()2＋()2＝19，×＝，
∴＝＝＝－＝2－.19．1　二次根式及其性质
第1课时　二次根式的概念
1．一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式，“” 称为二次根号．
2．二次根式有意义的条件
因为负数没有平方根，所以使二次根式 有意义的条件是被开方数 ．
考点　二次根式有意义的条件的应用
【典例】若＋有意义，则(－n)2的平方根为( )
A． B． C．± D．±
二次根式有意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【变式训练】
　(海南陵水县期末)二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是( )
知识点1　二次根式的定义
1．(海南澄迈县期中)下列式子一定是二次根式的是( )
A． B．π C． D．
2．(河北沧州盐山县期末)若是二次根式，则x应满足( )
A．x≥2 B．x＜2
C．x＞2 D．x≠2
3．若是一个二次根式，求(x－2 024)x的值．
知识点2?　二次根式有意义的条件
4．(海南海口二模)使有意义的x的取值范围是( )
A．x＞2 025 B．x＜－2 025
C．x≤2 025 D．x≥2 025
5．(海南海口琼山区月考)若式子有意义，则实数x的取值范围是 ．
知识点3?　二次根式的实际应用
6．(江苏南通如皋市期末)一个正方体纸盒的表面积为12 dm2，则其棱长是 dm.
7．(广东中山期中)一个长方形的面积为150 cm2，它的长和宽之比为5∶3，求这个长方形的长和宽．
易错易混点　忽视分式有意义的条件
8．代数式在实数范围内有意义，则x的值可能为( )
A．0 B．－2 C．－1 D．1
9．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
10．(海南文昌月考)已知a满足|2 025－a|＋＝a，则a－2 0252＝( )
A．0 B．1 C．2 025 D．2 026
11．若x＝－＋2，则|x－y|的值是( )
A．5 B．1 C．－1 D．2
12．(上海闵行区校级月考)已知实数x，y满足y＝，求x＋y的立方根．
【母题P3练习T2】当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)；(2)；(3).
【变式】当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)；(2)；(3).
13．(运算能力)先阅读，后回答问题：x为何值时，有意义？
解：要使该二次根式有意义，需x(x－3)≥0，由乘法法则得或
解得x≥3或x≤0.
∴当x≥3或x≤0时，有意义．
体会解题思想后，请你解答：x为何值时，有意义？
第2课时　二次根式的性质
1．二次根式(a≥0)的非负性
由于(a≥0)表示非负数a的 平方根，所以它是 ，这个性质一般也是非负数的 平方根的性质．
2．()2＝a(a≥0) 的运用
()2＝a(a≥0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它 ．特别注意：(－)2＝a(a≥0).利用()2＝a(a≥0)可以计算二次根式平方的值．
3．的化简
＝|a|＝
4．代数式
如5，a，a＋b，－ab，，－x3，，(a≥0)，它们都是用 符号( 包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式．
考点　二次根式性质的应用
【典例】在实数范围内分解因式：
(1)x2－5；(2)2x2－14；(3)x2＋2x＋2.
在实数范围内分解因式时，需要把正数a转化为()2，以便于运用平方差公式或完全平方公式分解因式．
【变式训练】
　(海南模拟)若2，5，n为三角形的三边长，化简＋.
知识点1?　二次根式的非负性
1．已知＋＝0，则2ab＝ ．
2．(河南开封兰考县月考)当x取什么实数时，式子＋2的值最小？求出这个最小值．
知识点2?　二次根式的性质()2＝a(a≥0)
3．(山东日照莒县月考)把4写成一个正数的平方的形式是( )
A．(2)2 B．(2)2或(－2)2
C．()2 D．()2或(－)2
4．已知|m|＝4，()2＝2，且mn＜0，则m－n的值为( )
A．2 B．6 C．－2 D．－6
5．计算：
(1)()2；(2)(2)2；(3)()2.
知识点3?　二次根式的性质＝a(a≥0)
6．若＝x－3，则x的取值范围是( )
A．x＞3 B．x≥3
C．x＜3 D．x≤3
7．(海南三亚期末)下列各式中，正确的是( )
A．＝－7
B．＝±7
C．－＝－7
D．＝±7
8．(海南海口期末)当x<1时，＝ ．
易错易混点　对二次根式的性质掌握不熟练
9．对于式子m＋，有下面结论：
甲：当m＝3时，原式＝4；
乙：当m＜2时，原式＝3.
其中说法正确的是( )
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
10．当x的值为 时，4－的值最大，这个最大值为 ．
11．已知a，b，c为三角形的三边，则＋＋＝ ．
12．已知实数m，n(n≠0)满足|2m－4|＋＝0，求m－n的值．
13．如图，已知数轴上的点A，B，C分别表示实数a，b，c.化简：|a－b|＋＋()2.
【母题P4练习T2】化简：
(1)；(2)；
(3)－；(4).
【变式】计算：
(1)；(2)；(3).
14．(推理能力)先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a＋b＝m，ab＝n，即()2＋()2＝m，·＝，那么便有：
＝＝±(a>b).
例如：化简：.
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，∵4＋3＝7，4×3＝12，
即()2＋()2＝7，×＝，
∴＝＝＝2＋.
(1)化简为 ．
(2)根据上述方法化简：.

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