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章末过关检测(三)四边形
时间：100分钟　满分：120分)
一、选择题(本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个正确的)
1．如图，已知∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝280°，那么∠5的度数为(B)
A．70° B．80° C．90° D．100°
　　　　
2．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，AB＝6，∠ABC＝140°，则下列结论不一定正确的是(D)
A．CD＝6 B．OC＝5
C．∠ADC＝140° D．∠BAC＝20°
3．如图，已知点A的坐标为(－2，2)，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则点C的坐标是(B)
A．(－2，－2) B．(2，－2)
C．(2，－2) D．(－2，－2)
4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE.若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为(B)
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
　　　
5．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明 ABCD是菱形的是(D)
A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD
C．OA2＋OB2＝AD2 D．AD2＋OA2＝OD2
6．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，EF过点O且分别交AD，BC于点E，F，在BD上找点M，N(点N在点M下方)，使以点E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是(A)
　　　　　　
A．甲、乙、丙 B．只有甲、乙
C．只有甲、丙 D．只有乙、丙
7．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥BE，AB＝5，AC＝3，则DE的长为(A)
A．1 B．
C．2 D．
8．如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，O，下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是(D)
A．O为矩形ABCD两条对角线的交点
B．EO＝FO
C．AE＝CF
D．EF⊥BD
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AE是∠BAD的平分线，EF⊥AE，则AF的长为(D)
A．3 B．4
C．2 D．
10．如图所示，平行四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝20厘米，BC边上的高是8厘米．EF是AD和BC的平行线，图中阴影部分的面积是多少平方厘米．(B)
A．75 B．80
C．85 D．90
11．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AD，AB边上的点，AE＝AF，且AE＜ED，过点E作EH⊥BC于点H，过点F作FG⊥CD于点G，EH，FG交于点O，连接OB，OD，BD.设AE＝a，ED＝b，BD＝c，给出下面三个结论：①a＋b>；②2>c；③a＋b>c.上述结论中，所有正确结论的序号是(A)
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，P，Q分别是边AD，BC上的动点，点P从A出发到D停止运动，点Q从C出发到B停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形APCQ是矩形；②存在四边形APCQ是菱形；③存在四边形APQB是矩形；④存在四边形APQB是正方形．所有正确结论的序号是(A)
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
二、填空题(本大题满分12分，每小题3分)
13．若一个多边形的对角线条数为20，则这个多边形的边数为8．
14．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，DE.若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为 4．
15．菱形ABCD的对角线AC＝6，S菱形ABCD＝12，则AB的长为．
16．如图1－1，点P在四边形ABCD的边BC上任意一点，且PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F.
(1)若四边形ABCD为正方形，且正方形的边长为6 cm，如图1－2，则PE＋PF＝3_cm；
(2)若四边形ABCD为矩形，且AB＝6 cm，BC＝8 cm，如图1－3，则PE＋PF＝4.8_cm．
　　　　
(1)如图所示，设AC，BD交于点O，连接PO.
∵四边形ABCD是正方形，正方形的边长为6，∴OB＝OC＝BC＝3，OB⊥OC.又∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴S△OBC＝OB·OC＝OB·PF＋OC·PE，即×3×3＝×3×(PE＋PF)，∴PE＋PF＝3.
(2)如图，设AC，BD交于点O，连接PO.
∵四边形ABCD为矩形，且AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，AO＝OC＝BO＝5.又∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴S△OBC＝S△ABC＝××AB×BC＝OC×PE＋OB×PF，∴×6×8＝×(PE＋PF)×5，∴PE＋PF＝4.8.
三、解答题(本大题满分72分)
17．(满分12分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E，F分别是AC，BC的中点，延长AB至点D，使BD＝AB，连接EF，ED，EB，FD，ED交BC于点O.
(1)证明：BF与ED互相平分；
(2)若AB＝4，CF＝3，求OE的长度．
(1)∵E，F分别是AC，BC的中点，
∴EF∥AB，EF＝AB.
∵点D在AB的延长线上，BD＝AB，
∴EF∥BD，EF＝BD，∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BF与ED互相平分．
(2)∵∠ABC＝90°，EF∥AB，∴∠OFE＝180°－∠ABC＝90°.
∵AB＝4，CF＝3，∴EF＝AB＝2，BF＝CF＝3，
∴OF＝OB＝BF＝，
∴OE＝＝＝，∴OE的长度是.
18．(满分10分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F.
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)连接BE，若∠BAD＝105°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．
(1)∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OCB.
在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△COB(ASA)，∴AD＝CB.
又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形；
(2)设∠ABE＝x，则∠DBF＝2∠ABE＝2x.
由(1)，得四边形ABCD为平行四边形，∴OB＝OD.
∵EF⊥BD，∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB.
∵AD∥BC，∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x.
∵∠BAD＋∠ABE＋∠EBD＋∠EDB＝180°，
∴105°＋x＋2x＋2x＝180°，
解得x＝15°，即∠ABE＝15°.
19．(满分10分)如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，求证：四边形DEFG是正方形．
如图，过点E分别作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝∠ECM＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，∴EM＝EN，∠MEN＝90°.
∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEF＝90°，
∴∠DEN＋∠NEF＝∠FEM＋∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠FEM，
在△DEN和△FEM中，
∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形．
20．(满分10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC.
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)若BC＝4，CE＝3，求EF的长．
(1)∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°.
∵CE∥AD，∴∠ECD＝∠ADB＝90°.
∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°，
∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，∴四边形ADCE是矩形；
(2)∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BC＝4，
∴BD＝CD＝BC＝2，
由(1)，可知四边形ADCE是矩形，
∴AE＝CD＝2，∠AEC＝90°.
在Rt△AEC中，∵AE＝2，CE＝3，
∴由勾股定理，得AC＝＝.
∵EF⊥AC，∴由三角形的面积公式，得
S△AEC＝AC·EF＝AE·CE，
∴EF＝＝＝.
21．(满分15分)四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，OA＝OC，AB＝BC.
(1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如图2，AB＝AC，CH⊥AD于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若∠FEC＝75°，在不添加任何辅助线的情况下，写出四条与线段CE相等的线段(线段CE除外).
　　　　
(1)∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO.
在△ADO和△CBO中，
∴△ADO≌△CBO(AAS)，∴OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；
(2)与线段CE相等的线段有AE，DE，AG，CF.理由：
由(1)，知四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OC，AC⊥BD.
∵AB＝AC，∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，
∴△ABC和△ADC为等边三角形．
∵CH⊥AD，∴AH＝DH，即CH为AD的垂直平分线，
∴AE＝DE.
∵OA＝OC，AC⊥BD，∴OD为AC的垂直平分线，
∴CE＝AE，∴AE＝DE＝EC.
∵△ADC为等边三角形，CH⊥AD，∴∠ACH＝∠ACD＝30°，
∵∠FEC＝75°，∴∠EFC＝180°－∠ACH－∠FEC＝75°，
∴∠EFC＝∠FEC，∴CF＝CE.
∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，
∵CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝90°，∠AEC＝180°－∠EAC－∠ECA＝120°，
∴∠AEG＝∠AEC－∠FEC＝45°，
∴△AGE为等腰直角三角形，∴AE＝AG，∴AG＝EC.
综上，与线段CE相等的线段有AE，DE，AG，DF.
22．(满分15分)如图1，在Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
(1)∠EAF＝45°(直接写出结果不写解答过程)；
(2)①求证：四边形ABCD是正方形；
②若BE＝EC＝3，求△AEF的面积；
(3)如图2，在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝7，QH＝3，则HR的长度是 2.8(直接写出结果不写解答过程).
　　　
(1)∵∠C＝90°，∴∠CEF＋∠CFE＝90°，
∴∠BEF＋∠DFE＝180°＋180°－90°＝270°，
∵EA平分∠BEF，FA平分∠DFE，∴∠AEF＝∠BEF，∠AFE＝∠DFE，
∴∠AEF＋∠AFE＝∠BEF＋∠DFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝×270°＝135°，∴∠EAF＝180°－135°＝45°.
(2)如图1，过点A作AG⊥EF于点G.
图1
∵EA平分∠BEF，AB⊥EB，AG⊥EF，∴AB＝AG，
同理，可得AD＝AG，∴AB＝AD.
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∴∠B＝∠D＝90°，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形．
②∵AG⊥EF，∴∠AGE＝∠AGF＝90°，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)，∴BE＝GE＝3，
同理，可得DF＝GF.设DF＝GF＝x，∴EF＝3＋x.
∵BE＝EC＝3，∴BC＝3＋3＝6，∴CD＝AB＝AG＝6，∴CF＝6－x.
在Rt△CEF中，CE2＋CF2＝EF2，∴32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2，
∴EF＝3＋2＝5，∴S△AEF＝EF·AG＝×5×6＝15.
(3)如图2所示，把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ，MR交于点G，
图2
由折叠，可得PD＝PH＝PM＝7，QD＝QH＝3，MR＝HR，∠DPQ＝∠HPQ，∠MPR＝∠HPR，∠D＝∠PHQ＝90°，∠M＝∠PHR＝90°，
∴∠DPM＝2∠HPQ＋2∠HPR＝2(∠HPQ＋∠HPR)＝2∠QPR＝90°，
∴∠D＝∠DPM＝∠M＝90°，∴四边形PMGD是矩形．
∵PD＝PM，∴四边形PMGD是正方形，∴DG＝MG＝PD＝7，∴GQ＝DG－QD＝7－3＝4.
设MR＝HR＝a，则QR＝3＋a，GR＝7－a，
在Rt△GQR中，GQ2＋GR2＝QR2，
∴42＋(7－a)2＝(3＋a)2，解得a＝2.8，∴HR＝2.8.章末过关检测(三)四边形
时间：100分钟　满分：120分)
一、选择题(本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个正确的)
1．如图，已知∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝280°，那么∠5的度数为( )
A．70° B．80° C．90° D．100°
　　　　
2．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，AB＝6，∠ABC＝140°，则下列结论不一定正确的是( )
A．CD＝6 B．OC＝5
C．∠ADC＝140° D．∠BAC＝20°
3．如图，已知点A的坐标为(－2，2)，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则点C的坐标是( )
A．(－2，－2) B．(2，－2)
C．(2，－2) D．(－2，－2)
4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE.若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为( )
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
　　　
5．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明 ABCD是菱形的是( )
A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD
C．OA2＋OB2＝AD2 D．AD2＋OA2＝OD2
6．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，EF过点O且分别交AD，BC于点E，F，在BD上找点M，N(点N在点M下方)，使以点E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是( )
　　　　　　
A．甲、乙、丙 B．只有甲、乙
C．只有甲、丙 D．只有乙、丙
7．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥BE，AB＝5，AC＝3，则DE的长为( )
A．1 B．
C．2 D．
8．如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，O，下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是( )
A．O为矩形ABCD两条对角线的交点
B．EO＝FO
C．AE＝CF
D．EF⊥BD
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AE是∠BAD的平分线，EF⊥AE，则AF的长为( )
A．3 B．4
C．2 D．
10．如图所示，平行四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝20厘米，BC边上的高是8厘米．EF是AD和BC的平行线，图中阴影部分的面积是多少平方厘米．( )
A．75 B．80
C．85 D．90
11．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AD，AB边上的点，AE＝AF，且AE＜ED，过点E作EH⊥BC于点H，过点F作FG⊥CD于点G，EH，FG交于点O，连接OB，OD，BD.设AE＝a，ED＝b，BD＝c，给出下面三个结论：①a＋b>；②2>c；③a＋b>c.上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，P，Q分别是边AD，BC上的动点，点P从A出发到D停止运动，点Q从C出发到B停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形APCQ是矩形；②存在四边形APCQ是菱形；③存在四边形APQB是矩形；④存在四边形APQB是正方形．所有正确结论的序号是( )
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
二、填空题(本大题满分12分，每小题3分)
13．若一个多边形的对角线条数为20，则这个多边形的边数为 ．
14．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，DE.若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为 ．
15．菱形ABCD的对角线AC＝6，S菱形ABCD＝12，则AB的长为 ．
16．如图1－1，点P在四边形ABCD的边BC上任意一点，且PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F.
(1)若四边形ABCD为正方形，且正方形的边长为6 cm，如图1－2，则PE＋PF＝ _ ；
(2)若四边形ABCD为矩形，且AB＝6 cm，BC＝8 cm，如图1－3，则PE＋PF＝ _ ．
　　　　
三、解答题(本大题满分72分)
17．(满分12分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E，F分别是AC，BC的中点，延长AB至点D，使BD＝AB，连接EF，ED，EB，FD，ED交BC于点O.
(1)证明：BF与ED互相平分；
(2)若AB＝4，CF＝3，求OE的长度．
18．(满分10分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F.
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)连接BE，若∠BAD＝105°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．
19．(满分10分)如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，求证：四边形DEFG是正方形．
20．(满分10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC.
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)若BC＝4，CE＝3，求EF的长．
21．(满分15分)四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，OA＝OC，AB＝BC.
(1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如图2，AB＝AC，CH⊥AD于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若∠FEC＝75°，在不添加任何辅助线的情况下，写出四条与线段CE相等的线段(线段CE除外).
　　　　
22．(满分15分)如图1，在Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
(1)∠EAF＝ °(直接写出结果不写解答过程)；
(2)①求证：四边形ABCD是正方形；
②若BE＝EC＝3，求△AEF的面积；
(3)如图2，在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝7，QH＝3，则HR的长度是 (直接写出结果不写解答过程).
　　　

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