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章末过关检测(二)勾股定理
(时间：100分钟　满分：120分)
一、选择题(本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个正确的)
1．下列各组数中，能构成直角三角形的是( )
A．1，2，3 B．5，7，10 C．，， D．5，12，14
2．三角形的三边为a，b，c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是( )
A．a∶b∶c＝8∶16∶17 B．a2－b2＝c2
C．a2＝(b＋c)(b－c) D．a∶b∶c＝13∶5∶12
3．有下列说法：(1)一个直角三角形的两条直角边长分别为1，，则它的斜边长是2；(2)一个直角三角形的两边长分别是3，4，则它的第三条边长是5；(3)“一个三角形的三条边长分别是2，3，4，因为22＋32≠42，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．其中，正确的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
4．如图，点B在正方形ADEC的内部，连接AB，BC，若∠CBA＝90°，AB＝1，BC＝，则正方形ADEC的面积是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
5．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是( )
A．50 B．16 C．25 D．41
6．如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则a＋b的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
　　　　
7．如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰△ABC，若AB＝AC＝18 cm，D是BC的中点，连接AD，∠ABC＝30°，则AD的长为( )
A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm
8．如图，在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1，若点A在数轴上表示的数是－1，以A为圆心，AD长为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是( )
A． B． C．－1 D．1－
9．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD.若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边长作三个正方形，点G落在HI上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为( )
A．3 B．
C．2 D．
11．如图，学校有一块直角三角形菜地，∠ABC＝90°，BC＝12 m．为方便劳作，准备在菜地中间修建一条小路．测量发现，∠ADE＝∠AED，BD＝EF＝1 m，CF＝8 m，则AE的长为( )
　　　　　
A．3 m B．4 m
C．5 m D．6 m
12．如图，南昌的小邦乘坐高铁从南昌到淄博，在距离铁轨200 m的O处，观察他所乘坐的由南昌经过淄博开往青岛的“和谐号”动车．当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于O处的北偏东30°方向，测得OA＝300 m，10秒钟后(该时段动车的平均速度是50 m/s)，动车车头到达C处，测得OC＝400 m．根据所学知识求得此时点C位于点O的( )
A．北偏西45°方向 B．北偏西30°方向
C．南偏东60°方向 D．北偏西60°方向
二、填空题(本大题满分12分，每小题3分)
13．一个三角形的三边长的比为3∶4∶5，且其周长为60 cm，则其面积为 _ ．
14．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了 cm.
15．如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形的斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ．
　 　
16．图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成的，延长DK分别交AB，AC于点M，N，延长EH交BD于点P(如图2).
(1)若Rt△ABF的面积为5，小正方形FGHK的面积为9，则AB＝ ；
(2)如图2，若＝k，则＝ (用含k的代数式表示).
　
三、解答题(本大题满分72分)
17．(满分12分)△ABC的三边长分别为5，x－2，x＋1，若该三角形是以x＋1为斜边的直角三角形，求x的值．
18．(满分10分)如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，且DE⊥BC，若BD＝CD，EA2＋AC2 ＝BD2＋DE2，求证：△ABC是直角三角形．
19．(满分10分)如图，每个小正方形的边长都是1，解答下列问题：
(1)线段AB的长为 ，AC的长为 ；
(2)请连接BC，判断△ABC的形状，并说明理由．
20．(满分10分) 如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉间的距离AB的长为25 m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为12 m，BM的长为15 m．求：
(1)供水点M到喷泉A，B需要铺设管道的总长；
(2)喷泉B到小路AC的最短距离．
21．(满分15分)现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高3 m，云梯最多只能伸长到10 m，救人时云梯伸至最长如图，云梯先在A处完成从9 m高处救人后，然后前进到B处从12 m高处救人．
(1)DM＝ 米，BB′＝ 米；
(2)①求消防车在A处离楼房的距离(AD的长度)；
②求消防车两次救援移动的距离(AB的长度).
(精确到0.1 m，参考数据≈1.73，≈3.16，≈4.36)
22．(满分15分)【问题背景】
著名的赵爽弦图(如图1)，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab＋(a－b)2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2＝c2.
　　
【探索求证】
古今中外，勾股定理有很多证明方法，如图2，将Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示的位置放置，连接CD，其中∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，请你利用图2推导勾股定理．
【问题解决】
如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(点A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，且CH⊥AB.测得CH＝2.4 km，HB＝1.8 km，求新路CH比原路CA少多少km
【延伸扩展】
在【问题解决】中，若AB≠AC，CH⊥AB，AC＝5 km，BC＝6 km，AB＝7 km，设AH＝x，求x的值．章末过关检测(二)勾股定理
(时间：100分钟　满分：120分)
一、选择题(本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个正确的)
1．下列各组数中，能构成直角三角形的是(C)
A．1，2，3 B．5，7，10 C．，， D．5，12，14
2．三角形的三边为a，b，c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是(A)
A．a∶b∶c＝8∶16∶17 B．a2－b2＝c2
C．a2＝(b＋c)(b－c) D．a∶b∶c＝13∶5∶12
3．有下列说法：(1)一个直角三角形的两条直角边长分别为1，，则它的斜边长是2；(2)一个直角三角形的两边长分别是3，4，则它的第三条边长是5；(3)“一个三角形的三条边长分别是2，3，4，因为22＋32≠42，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．其中，正确的个数是(B)
A．3 B．2 C．1 D．0
4．如图，点B在正方形ADEC的内部，连接AB，BC，若∠CBA＝90°，AB＝1，BC＝，则正方形ADEC的面积是(B)
A．3 B．4
C．5 D．6
5．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是(A)
A．50 B．16 C．25 D．41
6．如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则a＋b的值是(C)
A．5 B．6 C．7 D．8
　　　　
7．如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰△ABC，若AB＝AC＝18 cm，D是BC的中点，连接AD，∠ABC＝30°，则AD的长为(B)
A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm
8．如图，在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1，若点A在数轴上表示的数是－1，以A为圆心，AD长为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是(C)
A． B． C．－1 D．1－
9．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD.若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为(D)
A．9 B．8 C．7 D．6
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边长作三个正方形，点G落在HI上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为(B)
A．3 B．
C．2 D．
11．如图，学校有一块直角三角形菜地，∠ABC＝90°，BC＝12 m．为方便劳作，准备在菜地中间修建一条小路．测量发现，∠ADE＝∠AED，BD＝EF＝1 m，CF＝8 m，则AE的长为(B)
　　　　　
A．3 m B．4 m
C．5 m D．6 m
12．如图，南昌的小邦乘坐高铁从南昌到淄博，在距离铁轨200 m的O处，观察他所乘坐的由南昌经过淄博开往青岛的“和谐号”动车．当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于O处的北偏东30°方向，测得OA＝300 m，10秒钟后(该时段动车的平均速度是50 m/s)，动车车头到达C处，测得OC＝400 m．根据所学知识求得此时点C位于点O的(D)
A．北偏西45°方向 B．北偏西30°方向
C．南偏东60°方向 D．北偏西60°方向
二、填空题(本大题满分12分，每小题3分)
13．一个三角形的三边长的比为3∶4∶5，且其周长为60 cm，则其面积为150_cm2．
14．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了2 cm.
15．如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形的斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为48．
　 　
16．图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成的，延长DK分别交AB，AC于点M，N，延长EH交BD于点P(如图2).
(1)若Rt△ABF的面积为5，小正方形FGHK的面积为9，则AB＝；
(2)如图2，若＝k，则＝(用含k的代数式表示).
　
(1)设AF＝EG＝DH＝BK＝BC＝a，FK＝GF＝HG＝HK＝b，∵Rt△ABF的面积为5，小正方形FGHK的面积为9，∴a(a＋b)＝5，b2＝9，∴a2＋ab＝10.∵AB2＝a2＋(a＋b)2，∴AB＝＝.
(2)∵S四边形AEHN＝S△AEG＋S四边形AGHN＝a(a＋b)＋b(a＋b)＝a2＋ab＋b2，S四边形BMHP＝S△BDK＝a(a＋b)＝a2＋ab，∴a2＋ab＋b2＝k，∴(b＋a)＝0，∴b＝a，∴＝＝.
三、解答题(本大题满分72分)
17．(满分12分)△ABC的三边长分别为5，x－2，x＋1，若该三角形是以x＋1为斜边的直角三角形，求x的值．
∵该三角形是以x＋1为斜边的直角三角形，
∴52＋(x－2)2＝(x＋1)2，∴x＝.
18．(满分10分)如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，且DE⊥BC，若BD＝CD，EA2＋AC2 ＝BD2＋DE2，求证：△ABC是直角三角形．
如图，连接CE.
∵BD＝CD，DE⊥BC，∴CE＝BE.
∵DE⊥BC，∴BD2＋DE2＝BE2＝CE2.
∵EA2＋AC2＝BD2＋DE2，
∴EA2＋AC2＝CE2，
∴△ACE是直角三角形，∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
19．(满分10分)如图，每个小正方形的边长都是1，解答下列问题：
(1)线段AB的长为，AC的长为；
(2)请连接BC，判断△ABC的形状，并说明理由．
(2)△ABC是直角三角形，理由如下：
如图，连接BC.
∵BC＝＝＝2，AB＝，AC＝，∴AC2＋BC2＝2＋8＝10＝AB2，∴△ABC是直角三角形．
20．(满分10分) 如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉间的距离AB的长为25 m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为12 m，BM的长为15 m．求：
(1)供水点M到喷泉A，B需要铺设管道的总长；
(2)喷泉B到小路AC的最短距离．
(1)由题意，可得MN⊥AB，AB＝25 m，MN＝12 m，BM＝15 m.
在Rt△BMN中，∠BNM＝90°，
∴BN＝＝＝9(m)，
∴AN＝AB－BN＝25－9＝16(m).
在Rt△AMN中，∠ANM＝90°，
∴AM＝＝＝20(m)，
∴AM＋BM＝20＋15＝35(m).
答：供水点M到喷泉A，B需要铺设管道的总长为35 m；
(2)在△ABM中，∵BM2＋AM2＝152＋202＝625＝252＝AB2，∴△ABM是直角三角形，∠AMB＝90°，即BM⊥AC，
∴喷泉B到小路AC的最短距离为BM的长，即为15 m．
21．(满分15分)现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高3 m，云梯最多只能伸长到10 m，救人时云梯伸至最长如图，云梯先在A处完成从9 m高处救人后，然后前进到B处从12 m高处救人．
(1)DM＝3米，BB′＝10米；
(2)①求消防车在A处离楼房的距离(AD的长度)；
②求消防车两次救援移动的距离(AB的长度).
(精确到0.1 m，参考数据≈1.73，≈3.16，≈4.36)
(1)由题意，知DM＝3 m，BB′＝10 m.
(2)①由题意，得AA′＝10 m，A′M＝9 m，∠ADA′＝90°，
∴A′D＝A′M－DM＝9－3＝6(m)，
在Rt△AA′D中，由勾股定理，得AD＝＝＝8(m).
②由题意，得B′M＝12 m，∴B′D＝12－3＝9(m).
在Rt△BB′D中，由勾股定理，得BD＝＝＝≈4.36(m)，
∴AB＝AD－BD＝8－4.36≈3.6(m)，∴消防车两次救援移动的距离为3.6 m．
22．(满分15分)【问题背景】
著名的赵爽弦图(如图1)，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab＋(a－b)2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2＝c2.
　　
【探索求证】
古今中外，勾股定理有很多证明方法，如图2，将Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示的位置放置，连接CD，其中∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，请你利用图2推导勾股定理．
【问题解决】
如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(点A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，且CH⊥AB.测得CH＝2.4 km，HB＝1.8 km，求新路CH比原路CA少多少km
【延伸扩展】
在【问题解决】中，若AB≠AC，CH⊥AB，AC＝5 km，BC＝6 km，AB＝7 km，设AH＝x，求x的值．
【探索求证】S梯形ABCD＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋b2，S梯形ABCD＝S△ADE＋S△CBE＋S△CDE＝ab＋ab＋c2，
∴a2＋ab＋b2＝ab＋ab＋c2，
即a2＋b2＝c2；
【问题解决】设AC＝AB＝x km，则AH＝(x－1.8)km.
在Rt△ACH中，由勾股定理，得x2＝2.42＋(x－1.8)2，解得x＝2.5，即CA＝2.5 km，∴CA－CH＝2.5－2.4＝0.1(km)，
答：新路CH比原路CA少0.1 km；
【延伸扩展】设AH＝x，则BH＝7－x.
在Rt△ACH中，由勾股定理，得CH2＝AC2－AH2，
即CH2＝52－x2；
在Rt△BCH中，由勾股定理，得CH2＝BC2－BH2，即CH2＝62－(7－x)2；
整理，得52－x2＝62－(7－x)2，解得x＝.

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