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23．4　实际问题与一次函数
1．选择方案
做一件事情，有时有不同的实施方案．比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的．在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数．
2．利用函数模型解决问题——多个变量的方案选择问题
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型．
考点　一次函数的选择方案问题
【典例】在“美丽广西，清洁乡村”活动中，李家村村主任提出了两种购买垃圾桶的方案．方案1：买分类垃圾桶，需要费用3 000元，以后每月的垃圾处理费用250元；方案2：买不分类垃圾桶，需要费用1 000元，以后每月的垃圾处理费用500元．设方案1的购买费和每月垃圾处理费共y1元，缴费时间为x个月；方案2的购买费和每月垃圾处理费共为y2元，缴费时间为x个月．
(1)直接写出y1，y2与x的函数解析式；
(2)在同一坐标系内，画出函数y1，y2的图象；
(3)在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案省钱？
解：(1)由题意，得y1＝250x＋3 000，y2＝500x＋1 000；
(2)画出y1，y2的图象如图所示；
(3)由图象，可知①当使用时间大于8个月时，直线y1在直线y2的下方，则y1＜y2，即方案1省钱；
②当使用时间小于8个月时，直线y2在直线y1的下方，则y2＜y1，即方案2省钱；
③当使用时间等于8个月时，y1＝y2，即方案1与方案2一样省钱．
(1)在选择最佳方案时，要考虑实际问题中自变量取值范围；
(2)解题的关键是根据题意列出函数解析式，再结合图象求解，注意要把所有的情况都考虑进去，分情况讨论，然后选择一个最佳方案，学习了函数后，我们可以利用函数性质直接求出最佳方案．
【变式训练】
　(海南乐东县期末)随着5G网络的覆盖，某通信公司推出了两种全国流量套餐业务．
套餐一：使用者每月需缴50元月租费，流量按1元/GB收费．
套餐二：当流量不超过50GB时，收取90元套餐费；当流量超过50GB时，超过的部分按0.5元/GB收取．
设某人一个月内使用5G流量x GB.按照套餐一所需的费用为y1，按照套餐二所需的费用为y2.
(1)分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；
(2)若每月使用70 GB的流量，应选择哪种套餐更合适？
(1)由题意，得y1＝50＋x，
当0＜x≤50时，y2＝90，
当x＞50时，y2＝90＋(x－50)×0.5＝0.5x＋65；
(2)当x＝70时，y1＝50＋70＝120(元)，
y2＝0.5×70＋65＝100(元).
∵y1＞y2，∴选择套餐二更合适．
知识点　实际问题与一次函数
1．(河北张家口张北县期末)“这么近，那么美，周末到河北”，河北某文旅公司推出野外宿营活动，有以下两种优惠方案．某团队有x人参加该活动，购票总花费为y元，这两种方案中y关于x的函数图象如图所示，则下列说法正确的是(D)
方案一：以团队为单位办理会员卡(会员卡花费a元)，所有人都按半价优惠；
方案二：所有人都按六折优惠．
A.a＝480
B．原票价为480元/人
C．方案二中y关于x的函数解析式为y＝480x
D．当x＞10时，方案一比方案二优惠
2．(湖南长沙期末)为吸引顾客，某游乐场推出了甲、乙两种消费卡．设当消费的次数为x时，所需的费用为y元，且y与x之间的函数关系如图所示．观察图象可知，当消费的次数x的取值范围满足x>10时，选择乙种消费卡更为划算．
3．(海南儋州月考)随着信息技术的快速发展，“互联网＋”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了两种上网学习的月收费方式：设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为yA，yB.
收费 方式 月使用 费/元 包时上网 时间/h 超时费/ (元/h)
A 12 40 0.5
B m n 0.6
(1)如图是yB与x之间函数关系的图象，请根据图象填空：m＝10，n＝50；
(2)写出yA与x之间的函数关系式；
(3)选择哪种方式上网学习合算，为什么？
(1)由题图象，知m＝10，n＝50；
(2)当0≤x≤40时，yA＝12；
当x＞40时，yA＝0.5(x－40)＋12＝0.5x－8，
∴yA与x之间的函数关系式为yA＝
(3)当x＞50时，yB＝0.6(x－50)＋10＝0.6x－20.
当yA＝yB时，0.6x－20＝0.5x－8，解得x＝120；
∴①当0≤x≤50时，yB＜yA，
当50＜x＜120时，yB＜yA，
∴当0≤x＜120时，yA＞yB，选方式B合算；
②当x＝120时，yA＝yB，选方式A或方式B一样；
③当x＞120时，yB＞yA，选方式A合算．
4．(湖北恩施中考)某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1 300元．且甲型客车每辆可坐15人，乙型客车每辆可坐25人．
(1)租用甲、乙两种客车每辆各多少元？
(2)若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？
(1)设租用甲型客车每辆x元，租用乙型客车每辆y元．
根据题意，得解得
答：租用甲型客车每辆200元，租用乙型客车每辆300元．
(2)设租用甲型客车m辆，则租用乙型客车(8－m)辆，租车总费用为w元．
根据题意，得 w＝200m＋300(8－m)＝－100m＋2 400.
∵15m＋25(8－m)≥180，且m≥0，∴0≤m≤2.
∵－100＜0，∴w随m的增大而减小，
∴当m＝2时，w取最小值为－100×2＋2 400＝2 200(元)，
∴当租用甲型客车2辆，租用乙型客车 6辆时，租车总费用最少为2 200元．
5．甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为x千克，若在甲园采摘需总费用y1元，在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是(D)
A．乙园草莓优惠前的销售价格是30元/千克
B．甲园的门票费用是60元
C．乙园超过5千克后，超过部分的价格按五折优惠
D．顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更多
6．(山东菏泽定陶区期末)甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y(单位：km)随时间x(单位：min)变化的图象(全程)如图所示．①两人到达终点的时间相差5 min；②本次比赛全程12 km；③比赛开始24 min时两人第一次相遇；④比赛开始36 min时两人第二次相遇．以上结论正确的是①②③.
7．(辽宁丹东凤城市二模)某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6 000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示：
商场 优惠条件
甲商场 第一台电脑按原价收费，其余的每台优惠25%
乙商场 每台电脑优惠20%
(1)设学校购买x台电脑，选择甲商场时，所需费用为y1元，选择乙商场时，所需费用为y2元，请分别求出y1，y2与x之间的关系式．
(2)什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？
(3)现在因为急需，计划从甲、乙两商场一共买入10台电脑．已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为w元，从甲商场购买a台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？
(1)y1＝6 000＋(1－25%)×6 000(x－1)＝4 500x＋1 500；y2＝(1－20%)×6 000x＝4 800x；
(2)设学校购买x台电脑，若两家商场收费相同，则4 500x＋1 500＝4 800x，解得x＝5，
即当购买5台电脑时，两家商场的收费相同；
若到甲商场购买更优惠，则4 500x＋1 500<4 800x，解得x＞5，
即当购买电脑台数大于5时，到甲商场购买更优惠；
若到乙商场购买更优惠，则
4 500x＋1 500>4 800x，解得x＜5，
即当购买电脑台数小于5时，到乙商场购买更优惠；
(3)由题意，得w＝50a＋(10－a)60＝600－10a.
∵－10<0，∴w随a的增大而减小，
∴当a取最大时，总运费最少．
∵甲商场库存只有4台，∴a取4，w＝600－10×4＝560，
即从甲商场购买4台电脑，从乙商场购买6台电脑时，总运费最少，最少运费是560元．
8．(海南澄迈县模拟)为了迎接“十一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
　　种类
运动鞋价格　　　 甲 乙
进价(元/双) m m－20
售价(元/双) 160 120
已知：用2 000元购进甲种运动鞋的数量与用1 600元购进乙种运动鞋的数量相同．
(1)求m的值；
(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润＝售价－进价)不少于10 800元，且不超过10 900元，则该专卖店有几种进货方案？
(3)在(2)的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a(10＜a＜35)元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
(1)由题意，得＝，∴m＝100，
检验：m＝100是原分式方程的解，且符合题意，∴m＝100；
(2)由(1)，得甲的进价为100元/双，乙的进价为80元/双，∴甲运动鞋的利润为160－100＝60(元/双)，乙运动鞋的利润为120－80＝40(元/双).
设购进甲种运动鞋x双，则购进乙种运动鞋(200－x)双，
∴
解①，得x≥140，解②，得x≤145，∴140≤x≤145.
∵x是正整数，145－140＋1＝6，∴共有6种进货方案；
(3)设总利润为W元，则W＝(60－a)x＋40(200－x)＝(20－a)x＋8 000.
①当a＝20时，20－a＝0，W＝8 000；所有方案获利相同；
②当10＜a＜20时，20－a＞0，W随x的增大而增大，
∴当x＝145时，W有最大值，W最大值＝10 900－145a，200－145＝55，此时购进甲种运动鞋145双，乙种运动鞋55双；
③当20＜a＜35时，20－a＜0，W随x的增大而减小，
∴当x＝140时，W有最大值，W最大值＝10 800－140a，200－140＝60，此时购进甲种运动鞋140双，乙种运动鞋60双．
【母题P133探究2】某学校计划在总费用不超过2 300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
(1)共需租多少辆客车？
(2)给出最节省费用的租车方案．
(1)∵(234＋6)÷45＝5(辆)……15(人)，
∴保证240名师生都有车坐，客车总数不能小于6.
∵只有6名教师，
∴要使每辆客车上至少要有1名教师，客车总数不能大于6，
综上可知共需租6辆客车．
(2)设租乙种客车x辆，则甲种客车(6－x)辆，根据题意，得
解得≤x≤2，
设租车的总费用为w元．根据题意，得
w＝280x＋400(6－x)，即w＝－120x＋2 400.
∵－120<0，∴w随x的增大而减小．
∵≤x≤2，且x为非负整数，∴当x＝2时，y取最小值．
y最小值＝－120×2＋2 400＝2 160，此时6－x＝6－2＝4，
∴最节省费用的租车方案是租甲种客车4辆，乙种客车2辆，费用为2 160元．
【变式】某蔬菜商需要租赁货车运输蔬菜，经了解，当地运输公司有甲、乙两种型号货车，其租金和运力如表：
租金(元/辆) 最大运力(箱/辆)
甲货车 1 000 80
乙货车 600 40
　(1)若该商人计划租用甲、乙货车共10辆，其中甲货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；
(2)在(1)的条件下，若这批蔬菜共520箱，所租用的10辆货车可一次将蔬菜全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
(1)由题意，得租用乙货车(10－x)辆，则y＝1 000x＋600(10－x)＝400x＋6 000，
∴y与x的函数关系式为y＝400x＋6 000(0≤x≤10).
(2)根据题意，得80x＋40(10－x)≥520且0≤x≤10，解得3≤x≤10.
∵400＞0，∴y随x的增大而增大．
∵3≤x≤10且x为整数，
∴当x＝3时，y值最小，y最小＝400×3＋6 000＝7 200，此时10－3＝7(辆)，
∴最节省费用的租车方案是租用甲货车3辆、乙货车7辆，最低费用是7 200元．
9．(运算能力)(河南濮阳模拟)小明到打印店复印资料，已知打印店有如下两种收费方案：
方案一：直接按照复印的张数计费；
方案二：购买会员卡后，每张实行打折优惠．
设小明需复印x张，按照方案一、方案二所需费用分别为y1元，y2元，y1，y2关于x的函数图象如图所示．
根据提供的信息解答下列问题：
(1)分别求出y1，y2关于x的函数解析式；
(2)小明复印多少张时，选择方案二较为划算？
(1)设y1＝k1x，
由题意，可得10＝50k1，解得k1＝0.2，∴y1＝0.2x；
设y2＝k2x＋b，
由题意，可得解得
∴y2＝0.08x＋18；
(2)当y2＜y1，即0.08x＋18＜0.2x时，选择方案二较为划算，
解得x＞150，∴复印大于150张时，选择方案二较为划算．23．4　实际问题与一次函数
1．选择方案
做一件事情，有时有不同的实施方案．比较这些方案，从中选择 方案作为行动计划，是非常必要的．在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数．
2．利用函数模型解决问题——多个变量的方案选择问题
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取 个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型．
考点　一次函数的选择方案问题
【典例】在“美丽广西，清洁乡村”活动中，李家村村主任提出了两种购买垃圾桶的方案．方案1：买分类垃圾桶，需要费用3 000元，以后每月的垃圾处理费用250元；方案2：买不分类垃圾桶，需要费用1 000元，以后每月的垃圾处理费用500元．设方案1的购买费和每月垃圾处理费共y1元，缴费时间为x个月；方案2的购买费和每月垃圾处理费共为y2元，缴费时间为x个月．
(1)直接写出y1，y2与x的函数解析式；
(2)在同一坐标系内，画出函数y1，y2的图象；
(3)在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案省钱？
(1)在选择最佳方案时，要考虑实际问题中自变量取值范围；
(2)解题的关键是根据题意列出函数解析式，再结合图象求解，注意要把所有的情况都考虑进去，分情况讨论，然后选择一个最佳方案，学习了函数后，我们可以利用函数性质直接求出最佳方案．
【变式训练】
　(海南乐东县期末)随着5G网络的覆盖，某通信公司推出了两种全国流量套餐业务．
套餐一：使用者每月需缴50元月租费，流量按1元/GB收费．
套餐二：当流量不超过50GB时，收取90元套餐费；当流量超过50GB时，超过的部分按0.5元/GB收取．
设某人一个月内使用5G流量x GB.按照套餐一所需的费用为y1，按照套餐二所需的费用为y2.
(1)分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；
(2)若每月使用70 GB的流量，应选择哪种套餐更合适？
知识点　实际问题与一次函数
1．(河北张家口张北县期末)“这么近，那么美，周末到河北”，河北某文旅公司推出野外宿营活动，有以下两种优惠方案．某团队有x人参加该活动，购票总花费为y元，这两种方案中y关于x的函数图象如图所示，则下列说法正确的是( )
方案一：以团队为单位办理会员卡(会员卡花费a元)，所有人都按半价优惠；
方案二：所有人都按六折优惠．
A.a＝480
B．原票价为480元/人
C．方案二中y关于x的函数解析式为y＝480x
D．当x＞10时，方案一比方案二优惠
2．(湖南长沙期末)为吸引顾客，某游乐场推出了甲、乙两种消费卡．设当消费的次数为x时，所需的费用为y元，且y与x之间的函数关系如图所示．观察图象可知，当消费的次数x的取值范围满足 时，选择乙种消费卡更为划算．
3．(海南儋州月考)随着信息技术的快速发展，“互联网＋”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了两种上网学习的月收费方式：设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为yA，yB.
收费 方式 月使用 费/元 包时上网 时间/h 超时费/ (元/h)
A 12 40 0.5
B m n 0.6
(1)如图是yB与x之间函数关系的图象，请根据图象填空：m＝ ，n＝ ；
(2)写出yA与x之间的函数关系式；
(3)选择哪种方式上网学习合算，为什么？
4．(湖北恩施中考)某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1 300元．且甲型客车每辆可坐15人，乙型客车每辆可坐25人．
(1)租用甲、乙两种客车每辆各多少元？
(2)若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？
5．甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为x千克，若在甲园采摘需总费用y1元，在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是( )
A．乙园草莓优惠前的销售价格是30元/千克
B．甲园的门票费用是60元
C．乙园超过5千克后，超过部分的价格按五折优惠
D．顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更多
6．(山东菏泽定陶区期末)甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y(单位：km)随时间x(单位：min)变化的图象(全程)如图所示．①两人到达终点的时间相差5 min；②本次比赛全程12 km；③比赛开始24 min时两人第一次相遇；④比赛开始36 min时两人第二次相遇．以上结论正确的是 .
7．(辽宁丹东凤城市二模)某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6 000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示：
商场 优惠条件
甲商场 第一台电脑按原价收费，其余的每台优惠25%
乙商场 每台电脑优惠20%
(1)设学校购买x台电脑，选择甲商场时，所需费用为y1元，选择乙商场时，所需费用为y2元，请分别求出y1，y2与x之间的关系式．
(2)什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？
(3)现在因为急需，计划从甲、乙两商场一共买入10台电脑．已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为w元，从甲商场购买a台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？
8．(海南澄迈县模拟)为了迎接“十一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
　　种类
运动鞋价格　　　 甲 乙
进价(元/双) m m－20
售价(元/双) 160 120
已知：用2 000元购进甲种运动鞋的数量与用1 600元购进乙种运动鞋的数量相同．
(1)求m的值；
(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润＝售价－进价)不少于10 800元，且不超过10 900元，则该专卖店有几种进货方案？
(3)在(2)的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a(10＜a＜35)元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【母题P133探究2】某学校计划在总费用不超过2 300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
(1)共需租多少辆客车？
(2)给出最节省费用的租车方案．
【变式】某蔬菜商需要租赁货车运输蔬菜，经了解，当地运输公司有甲、乙两种型号货车，其租金和运力如表：
租金(元/辆) 最大运力(箱/辆)
甲货车 1 000 80
乙货车 600 40
　(1)若该商人计划租用甲、乙货车共10辆，其中甲货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；
(2)在(1)的条件下，若这批蔬菜共520箱，所租用的10辆货车可一次将蔬菜全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
9．(运算能力)(河南濮阳模拟)小明到打印店复印资料，已知打印店有如下两种收费方案：
方案一：直接按照复印的张数计费；
方案二：购买会员卡后，每张实行打折优惠．
设小明需复印x张，按照方案一、方案二所需费用分别为y1元，y2元，y1，y2关于x的函数图象如图所示．
根据提供的信息解答下列问题：
(1)分别求出y1，y2关于x的函数解析式；
(2)小明复印多少张时，选择方案二较为划算？

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