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23．3　一次函数与方程(组)、不等式
1．一次函数与一元一次方程的关系
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，求自变量x的值．
2．一次函数与一元一次不等式的关系
因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0)的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y＝kx＋b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围．
3．一次函数与二元一次方程(组)
一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解．由以上可知，由含有未知数x和y的二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标．因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解．
【典例】(海南文昌期末)在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x的图象与一次函数y＝k2x＋b的图象如图所示，则关于x的方程k1x＝k2x＋b的解为__x＝1__．
解析：由函数图象，得两直线的交点坐标是(1，2)，所以关于x的方程k1x＋b＝k2x的解为x＝1.
两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解．关于x的一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标；关于x的一元一次不等式kx＋b>0(k<0)的解集是以直线y＝kx＋b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围．
【变式训练】
　(海南定安县期末)如图，已知直线y1＝ax＋b与y2＝mx＋n相交于点A(2，－1)，若y1＞y2，则x的取值范围是(B)
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜－1 D．x＞－1
知识点1?　一次函数与一元一次方程
1．(海南定安县期末)一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝0的解为(C)
A.x＝2 B．y＝2
C．x＝－1 D．y＝－1
2．(河北唐山路南区校级月考)若一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(－1，－4)，B(1，－12)，则下列说法中，正确的是(C)
A．该函数图象不经过第三象限
B．关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2
C．该函数图象与坐标轴围成的三角形面积为8
D．该函数值y随x的增大而增大
3．(福建宁德期末)如图，一次函数y＝ax＋b的图象经过点(2，4)，(4，1)，则方程ax＋b＝4的解是x＝2.
知识点2?　一次函数与一元一次不等式
4．在平面直角坐标平面内，一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，那么下列说法正确的是(C)
A．当x＜0时，－2＜y＜0
B．方程ax＋b＝0的解是x＝－2
C．当y＞－2时，x＞0
D．不等式ax＋b＜0的解集是x＜0
5．(海南临高县期末)如图所示，已知直线y＝nx＋b经过点A(－2，－4)和点B(－4，0)，直线y＝mx经过点A，则关于x的不等式nx＋b≤mx的解集是(C)
A．x≤－2 B．x＞－2
C．x≥－2 D．－2≤x＜0
6．(上海浦东新区校级模拟)如果不等式kx＋b＞0的解集为x＜－1，那么直线y＝kx＋b(k＜0)一定会经过一个定点，这个定点的坐标为(－1，0)．
知识点3?　一次函数与二元一次方程(组)
7．(海南陵水县期中)如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)与y＝x＋2的图象相交于点M(m，4)，则关于x，y的二元一次方程组的解是(B)
A． B．
C． D．
8．(陕西咸阳秦都区期末)已知m，n为常数，且mn≠0，若关于x，y的二元一次方程组的解为则y关于x的一次函数y＝mx＋2，y＝nx－4的交点坐标为(2，1).
易错易混点　不能准确理解一次函数与不等式的关系
9.已知一次函数y＝x＋a和y＝－2x＋b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，若关于x的不等式组的解集为m＜x＜n，则mn的值为(D)
A．非正数 B．非负数
C．正数 D．负数
10．(海南海口月考)如果kb＜0，且不等式kx＋b＞0解集是x＜－，那么函数y＝kx＋b的图象只可能是下列的(A)
11．(山东泰安宁阳县期中)如图，两直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组(D)的解．
A． B．
C． D．
　
12．(广西贺州昭平县期末)如图，直线y1＝mx，y2＝kx＋b交于点P(2，1)，则关于x的不等式kx＋b＞mx≥－1的解集为－2≤x＜2.
13．(海南东方期末)如图，一次函数l1：y＝2x－2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y＝kx＋b的图象与x轴交于点A，且经过点B(3，1)，两函数图象交于点C(m，2).
(1)求一次函数l2：y＝kx＋b的解析式；
(2)根据图象，直接写出1＜kx＋b＜2x－2的解集．
(1)∵点C(m，2)在直线l1：y＝2x－2上，
∴2＝2m－2，解得m＝2.
∵点C(2，2)，B(3，1)在直线y＝kx＋b上，
∴解得
∴一次函数l2的解析式为y＝－x＋4；
(2)由题图象，可得不等式组1＜kx＋b＜2x－2的解集为2＜x＜3.
14．(河北秦皇岛海港区期末)如图，已知一次函数y＝－2x＋4的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线l的解析式为y＝mx－3m＋3.
(1)求点A和点B的坐标；
(2)当直线l经过原点时，求直线l与直线AB的交点坐标，并直接写出方程mx－3m＋3＝－2x＋4的解；
(3)若直线l与线段AB有交点时，直接写出m的取值范围．
(1)y＝－2x＋4，
当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝2，
∴A(2，0)，B(0，4)；
(2)当直线l经过原点时，
将点(0，0)代入，得0＝0－3m＋3，解得m＝1，
直线l的解析式为y＝x，
联立两个一次函数解得
∴交点坐标为，
∴方程mx－3m＋3＝－2x＋4的解为x＝；
(3)如图，A(2，0)，B(0，4)，
当直线l经过A(2，0)时，0＝2m－3m＋3，解得m＝3；
当直线l经过B(0，4)时，4＝－3m＋3，解得m＝－；
∴－≤m≤3且m≠0.
【母题P130练习T2】一次函数y＝2x－3与y＝ax＋2的图象的交点坐标为(2，1)，请确定方程组的解和a的值．
由题意，知方程组的解为
把代入y＝ax＋2，得2a＋2＝1，解得a＝－.
【变式】如图，直线y1＝kx＋b经过点A(－6，0)，B(－1，5).
(1)求直线AB的解析式；
(2)若直线 y2＝－2x－3与直线AB相交于点M，则点M的坐标为(－3，3)；
(3)根据图象，直接写出关于x的不等式kx＋b＜－2x－3的解集．
(1)把点A(－6，0)，B(－1，5)代入y1＝kx＋b，得解得∴直线AB的解析式为y1＝x＋6；
(2)∵直线 y2＝－2x－3与直线AB相交于点M，
∴解得
∴点M的坐标为(－3，3)；
(3)根据题图，可得关于x的不等式kx＋b＜－2x－3的解集为x＜－3.
15．(运算能力)如图，已知直线l1：y＝3x＋1与y轴交于点A，且和直线l2：y＝mx＋n交于点P(－2，a).根据以上信息解答下列问题：
(1)求a的值，判断直线l3：y＝－nx－2m是否也经过点P，并请说明理由；
(2)不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解；
(3)若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l2的函数解析式．
(1)把点P(－2，a)代入y＝3x＋1，
得a＝3×(－2)＋1＝－5，∴点P的坐标为(－2，－5).
直线l3：y＝－nx－2m也经过点P.
理由如下：
∵点P(－2，－5)在直线y＝mx＋n上，∴－2m＋n＝－5.
把x＝－2代入y＝－nx－2m，得y＝－n×(－2)－2m＝－2m＋n＝－5，∴直线l3也经过点P；
(2)
(3)∵直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，所以直线l2过点(3，0).
又∵直线l2过点P(－2，－5)，
∴ 解得
∴直线l2的函数解析式为y＝x－3.23．3　一次函数与方程(组)、不等式
1．一次函数与一元一次方程的关系
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y＝kx＋b的函数值为 时，求 的值．
2．一次函数与一元一次不等式的关系
因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax＋b＞0或 (a≠0)的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y＝kx＋b的值大于 或小于 时，求自变量x的取值范围．
3．一次函数与二元一次方程(组)
一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的 ．由以上可知，由含有未知数x和y的二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值 ，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的 ．因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解．
【典例】(海南文昌期末)在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x的图象与一次函数y＝k2x＋b的图象如图所示，则关于x的方程k1x＝k2x＋b的解为__ __．
两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解．关于x的一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标；关于x的一元一次不等式kx＋b>0(k<0)的解集是以直线y＝kx＋b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围．
【变式训练】
　(海南定安县期末)如图，已知直线y1＝ax＋b与y2＝mx＋n相交于点A(2，－1)，若y1＞y2，则x的取值范围是( )
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜－1 D．x＞－1
知识点1?　一次函数与一元一次方程
1．(海南定安县期末)一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝0的解为( )
A.x＝2 B．y＝2
C．x＝－1 D．y＝－1
2．(河北唐山路南区校级月考)若一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(－1，－4)，B(1，－12)，则下列说法中，正确的是( )
A．该函数图象不经过第三象限
B．关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2
C．该函数图象与坐标轴围成的三角形面积为8
D．该函数值y随x的增大而增大
3．(福建宁德期末)如图，一次函数y＝ax＋b的图象经过点(2，4)，(4，1)，则方程ax＋b＝4的解是 .
知识点2?　一次函数与一元一次不等式
4．在平面直角坐标平面内，一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，那么下列说法正确的是( )
A．当x＜0时，－2＜y＜0
B．方程ax＋b＝0的解是x＝－2
C．当y＞－2时，x＞0
D．不等式ax＋b＜0的解集是x＜0
5．(海南临高县期末)如图所示，已知直线y＝nx＋b经过点A(－2，－4)和点B(－4，0)，直线y＝mx经过点A，则关于x的不等式nx＋b≤mx的解集是( )
A．x≤－2 B．x＞－2
C．x≥－2 D．－2≤x＜0
6．(上海浦东新区校级模拟)如果不等式kx＋b＞0的解集为x＜－1，那么直线y＝kx＋b(k＜0)一定会经过一个定点，这个定点的坐标为 ．
知识点3?　一次函数与二元一次方程(组)
7．(海南陵水县期中)如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)与y＝x＋2的图象相交于点M(m，4)，则关于x，y的二元一次方程组的解是( )
A． B．
C． D．
8．(陕西咸阳秦都区期末)已知m，n为常数，且mn≠0，若关于x，y的二元一次方程组的解为则y关于x的一次函数y＝mx＋2，y＝nx－4的交点坐标为 .
易错易混点　不能准确理解一次函数与不等式的关系
9.已知一次函数y＝x＋a和y＝－2x＋b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，若关于x的不等式组的解集为m＜x＜n，则mn的值为( )
A．非正数 B．非负数
C．正数 D．负数
10．(海南海口月考)如果kb＜0，且不等式kx＋b＞0解集是x＜－，那么函数y＝kx＋b的图象只可能是下列的( )
11．(山东泰安宁阳县期中)如图，两直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组( )的解．
A． B．
C． D．
　
12．(广西贺州昭平县期末)如图，直线y1＝mx，y2＝kx＋b交于点P(2，1)，则关于x的不等式kx＋b＞mx≥－1的解集为 .
13．(海南东方期末)如图，一次函数l1：y＝2x－2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y＝kx＋b的图象与x轴交于点A，且经过点B(3，1)，两函数图象交于点C(m，2).
(1)求一次函数l2：y＝kx＋b的解析式；
(2)根据图象，直接写出1＜kx＋b＜2x－2的解集．
14．(河北秦皇岛海港区期末)如图，已知一次函数y＝－2x＋4的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线l的解析式为y＝mx－3m＋3.
(1)求点A和点B的坐标；
(2)当直线l经过原点时，求直线l与直线AB的交点坐标，并直接写出方程mx－3m＋3＝－2x＋4的解；
(3)若直线l与线段AB有交点时，直接写出m的取值范围．
【母题P130练习T2】一次函数y＝2x－3与y＝ax＋2的图象的交点坐标为(2，1)，请确定方程组的解和a的值．
【变式】如图，直线y1＝kx＋b经过点A(－6，0)，B(－1，5).
(1)求直线AB的解析式；
(2)若直线 y2＝－2x－3与直线AB相交于点M，则点M的坐标为( ， )；
(3)根据图象，直接写出关于x的不等式kx＋b＜－2x－3的解集．
15．(运算能力)如图，已知直线l1：y＝3x＋1与y轴交于点A，且和直线l2：y＝mx＋n交于点P(－2，a).根据以上信息解答下列问题：
(1)求a的值，判断直线l3：y＝－nx－2m是否也经过点P，并请说明理由；
(2)不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解；
(3)若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l2的函数解析式．

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