资源简介

23．2　一次函数的图象和性质
第1课时　一次函数的图象和性质
1．正比例函数的图象及其图象的性质
一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过 的直线，我们称它为直线y＝kx.当k＞0时，直线y＝kx经过 象限，从左向右 ，即y随着x的增大而 ；当k＜0时，直线y＝kx经过 象限，从左向右 ，即y随着x的增大而 ．
2．一次函数的图象及其画法
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象可以由直线y＝kx平移 个单位长度得到(当b＞0时，向 平移；当b＜0时，向 平移).一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b.
3．一次函数图象的性质
当k＞0时，直线y＝kx＋b从左向右 ；当k＜0时，直线y＝kx＋b从左向右 ．
当k＞0时，y随x的增大而 ；
当k＜0时，y随x的增大而 ．
考点1?　一次函数图象平移规律的应用
【典例1】将直线y＝kx－1向上平移2个单位长度，可得直线的解析式为( )
A．y＝kx－3 B．y＝kx＋1
C．y＝kx＋3 D．y＝kx－1
【变式训练】
1．把函数y＝－2x＋3的图象向下平移4个单位长度后的函数图象的解析式为( )
A．y＝－2x＋7 B．y＝－6x＋3
C．y＝－2x－1 D．y＝－2x－5
考点2?　一次函数图象与系数的关系
【典例2】(海南琼中县期末)已知正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，则一次函数y＝kx－k的图象可能是下图中的( )
一次函数的图象与系数的关系：函数值y随x的增大而增大 k>0；函数值y随x的增大而减小 k<0.
【变式训练】
2．(海南海口期中)若一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx－k图象是( )
考点3?　一次函数图象与几何图形的综合
【典例3】(海南儋州模拟)如图，直线y＝－x＋4交坐标轴于D，E两点，等边三角形OBC的边OB在x轴上，且B为线段OD的中点，若将△OBC沿y轴竖直向上平移，当点C落在直线DE上时，点C平移的距离为( )
A．3－ B．
C．3－ D．
利用一次函数图象上点的坐标特征及等边三角形的性质，找出点C的原坐标及平移后的坐标是解题的关键．
【变式训练】
3．如图，点A，B，C在一次函数y＝－3x＋m的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是 ．
知识点1?　一次函数图象的平移
1．(内蒙古兴安盟期末)对于一次函数y＝－2x＋5，下列结论错误的是( )
A．函数图象与y轴的交点坐标是(0，5)
B．函数图象经过第一、二、四象限
C．将函数图象向下平移6个单位长度得到函数y＝－8x＋5的图象
D．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在该函数的图象上，且x1＞x2，则y1＜y2
2．(山西临汾襄汾县期末)在平面直角坐标系中，将直线y＝2x＋b沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过原点，则b的值为 ．
知识点2?　一次函数的图象和性质
3．(海南定安县期末)关于x的一次函数y＝kx＋2(k≠0)，y的值随x值的增大而减小，则它的图象可能是( )
4．(江西赣州安远县校级月考)已知一次函数y＝－2x＋4，解答下列问题：
(1)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；
(2)观察图象，当0≤y≤4时，写出x的取值范围．
易错易混点　忽视正比例函数是特殊的一次函数
5．(新疆乌鲁木齐新市区校级期末)若一次函数y＝kx＋b的图象不经过第三象限，则下列选项正确的是( )
A．k＜0，b＞0 B．k＜0，b＜0
C．k＜0，b≤0 D．k＜0，b≥0
6．(海南五指山期末)一次函数y＝x＋2的图象不经过的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．(海南乐东县月考)两个y关于x的一次函数y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
8．(四川绵阳北川县期中)点A(1，y1)，B(2，y2)在一次函数y＝2x－1的图象上，则y1，y2的大小关系是( )
A．y1＞y2 B．y1＝y2
C．y1＜y2 D．不能确定
9．已知一次函数y＝－x＋3，当－3≤x≤4时，y的最大值是 ．
10．(广东江门期中)画出函数y＝2x的图象．
(1)列表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … …
(2)描点并连线．
【母题P117例1】分别画出下列正比例函数的图象：
(1)y＝2x，y＝x；(2)y＝－1.5x，y＝－4x.
【变式】已知函数y＝x＋3.
(1)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)结合所画图象，分别求出在函数图象上满足下列条件的点的坐标．
①横坐标是－4；
②和x轴的距离是2个单位长度．
11．(运算能力)(山东烟台蓬莱区期末)综合与实践
同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？
请结合一次函数的学习经验探究函数y＝2|x＋1|－3的图象．
(1)列表：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
y … 3 m －1 －3 －1 n 3 …
表格中m＝ ，n＝ ；
(2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)观察(2)中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论．
结论1： ；
结论2： ．
第2课时　用待定系数法求一次函数的解析式
1．待定系数法
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的 ，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法．
2．用待定系数法确定一次函数的解析式
(1)先设一次函数的解析式为y＝ ；
(2)找出两对x，y的对应值或直线上两点的坐标分别代入y＝ ，得出关于 的二元一次方程组；
(3)解方程组得出 的值，确定一次函数的解析式．
3．一次函数的应用
一次函数的应用就是把实际问题抽象成数学问题，建立 模型，通过解决 问题从而解决实际问题．
考点1?　用待定系数法求函数解析式
【典例1】已知直线y＝kx＋b经过点A(2，4)和点B(0，－2)，那么这条直线的解析式是( )
A．y＝－2x＋3 B．y＝3x－2
C．y＝－3x＋2 D．y＝2x－3
利用待定系数法确定一次函数的解析式，可以简单记为：一设；二代；三解；四定(确定函数解析式).
【变式训练】
1．(海南海口龙华区校级期末)已知一次函数的图象经过点(2，3)，(－2，－5).求一次函数的解析式．
考点2?　与两条直线交点有关的问题
【典例2】如图，已知函数y1＝3x＋b和y2＝ax－3的图象交于点P，且分别交y轴于A，B两点．
(1)根据图象分别求出a，b的值；
(2)求△APB的面积．
解题关键是掌握用待定系数法求函数解析式，同时知道凡是函数图象经过的点都能满足解析式．
【变式训练】
2．(海南中考)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋4经过点B(－6，0)和点C(a，2)，与轴y交于点A，经过点C的另一条直线与y轴的正半轴交于点D(0，1)，与x轴交于点E.
(1)求点C的坐标及直线CD的解析式；
(2)求四边形OBCD的面积．
知识点1?　待定系数法求一次函数的解析式
1．(海南乐东县月考)若一次函数y＝kx＋b的图象与直线y＝－x＋1平行，且过点(8，2)，则此一次函数的解析式为( )
A．y＝－x－2 B．y＝－x－6
C．y＝－x－1 D．y＝－x＋10
2．(海南海口龙华区校级期末)已知直线y＝kx－4(k＜0)与两坐标轴所围成的三角形的面积为4，则直线的解析式为( )
A．y＝－x－4 B．y＝－2x－4
C．y＝－3x＋4 D．y＝－3x－4
3．如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A，B两点．
(1)求出该一次函数的解析式；
(2)当x＝10时，y的值是多少？
(3)当y＝12时，x的值是多少？
知识点2?　一次函数的应用
4．“千里游学，古已有之．”两名老师带领x名学生到某红色旅游景点研学，此次研学每位老师的费用为40元，每位学生的费用为20元．设研学的总费用为y元，则y与x的函数关系为( )
A．y＝20x＋40 B．y＝40x＋80
C．y＝20x＋80 D．y＝40x＋40
5．自来水公司采用分段收费标准收水费，每月收取水费y(元)与用水量x(t)之间的函数关系如图所示，琪琪家5月份用水14 t，应缴水费( )
A．22元 B．33元 C．39元 D．42元
6．(海南海口期末)已知一根弹簧在不挂重物时长6 cm，在一定的弹性限度内，每挂1 kg重物弹簧伸长0.3 cm.则该弹簧总长y(单位：cm)随所挂物体质量x(单位：kg)变化的函数关系式为 ．
7．(海南海口美兰区校级期中)某市规定了每月用水18 m3以内(含18 m3)和用水18 m3以上两种不同的收费标准．该市的用户每月应交水费y(单位：元)与用水量x(单位：m3)之间的函数关系如图所示．
(1)当用水18 m3以上时，求y与x之间的函数解析式．
(2)若小敏家某月交水费81元，求这个月用水量为多少立方米．
易错易混点　求一次函数解析式忽略分类讨论的情况
8.已知一次函数y＝ax＋b，当－4≤x≤1时，对应y的取值范围是1≤y≤16，则a＋b的值是( )
A．1 B．16
C．1或16 D．无法确定
9．一次函数y＝kx＋b(k≠0)满足下列两个条件：①y随x的增大而减小；②当x＜2时，y＞0.符合上述两个条件的一次函数解析式可以为( )
A．y＝x＋1 B．y＝－2x＋4
C．y＝－x＋1 D．y＝2x＋4
10．(黑龙江哈尔滨南岗区校级期中)劳动节期间，乐乐老师一家自驾游去了离家260 km的某目的地，下面是她们离家的距离y(单位：km)与汽车行驶时间x(单位：h)之间的函数图象，她们出发2.3 h，离目的地还有( )
A．22 km B．32 km
C．238 km D．228 km
11．(青海西宁中考)在平面直角坐标系xOy中，点A(4，0)，点P在过原点的直线l上，且AP＝OP＝4，则直线l的解析式是 ．
12．(陕西西安校级期末)如图，在平面直角坐标系中， ABCO的顶点O(0，0)，点A在x轴的正半轴上，∠COA的平分线OD交CB于点D(4，6)，则直线OC的解析式为 ．
13．(海南儋州月考)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋b的图象与x轴、y轴分别相交于点A(1，0)，点B.
(1)求一次函数的解析式和点B的坐标；
(2)点C在x轴上，若△ABC是以边AB为腰的等腰三角形，请直接写出点C的横坐标．
14．(海南海口期末)甲、乙两人骑自行车前往A地，他们距A地的路程s(单位：km)与行驶时间t(单位：h)之间的关系如图所示．请根据图象所提供的信息解答下列问题：
(1)甲的速度是 km/h，乙的速度是 km/h；
(2)求出甲或乙距A地的路程s与行驶时间t之间的函数关系式(任求一个)；
(3)直接写出在什么时间段内乙比甲离A地更近？
【母题P122例5】
一位记者乘坐汽车赴360 km外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y(单位：km)与时间x(单位：h)之间的关系如图所示．
(1)求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解析式；
(2)记者出发后多长时间到达采访地？
【变式】甲、乙两组同时加工某产品，两组每天加工产品所消耗的原材料吨数均保持不变，加工一段时间后，乙组执行其他任务，剩下的任务由甲组单独完成，甲、乙两组消耗原材料总量y(单位：吨)与生产时间x(单位：天)之间的函数图象如图所示．
(1)乙组调离时，甲、乙两组共消耗原材料 吨；
(2)乙组调离后，求y与x之间的函数关系式；
(3)当消耗原材料350吨时，求乙组已调离的天数．
15．(运算能力)某校科技小组借助小型飞行器探究气温与海拔高度的关系．一天，甲飞行器所在海拔高度y(单位：m)与上升时间x(单位：min)满足一次函数关系，部分数值如表：
上升时间x(单位：min) … 5 15 …
海拔高度y(单位：m) … 10 20 …
乙飞行器从海拔15 m的高度，以0.5 m/min的速度上升，两个飞行器同时起飞并始终保持上升状态．
(1)分别求出甲、乙两个飞行器所在位置的海拔高度y(单位：m)与上升时间x(单位：min)之间的函数解析式；
(2)①求甲飞行器的初始高度；
②在某时刻甲、乙两个飞行器能否位于同一高度？如果能，求此时两个飞行器的高度；如果不能，请说明理由；
(3)若甲飞行器因为电量不足，上升40 min后，减速为0.3 m/min继续匀速上升，乙飞行器的速度保持不变，设两个飞行器的高度差为h(单位：m).请直接写出：当40≤x≤80，h最多为多少米？23．2　一次函数的图象和性质
第1课时　一次函数的图象和性质
1．正比例函数的图象及其图象的性质
一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx.当k＞0时，直线y＝kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即y随着x的增大而减少．
2．一次函数的图象及其画法
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象可以由直线y＝kx平移|b|个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移).一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b.
3．一次函数图象的性质
当k＞0时，直线y＝kx＋b从左向右上升；当k＜0时，直线y＝kx＋b从左向右下降．
当k＞0时，y随x的增大而增大；
当k＜0时，y随x的增大而减小．
考点1?　一次函数图象平移规律的应用
【典例1】将直线y＝kx－1向上平移2个单位长度，可得直线的解析式为(B)
A．y＝kx－3 B．y＝kx＋1
C．y＝kx＋3 D．y＝kx－1
解析：∵直线上下平移时k的值不变，只有b发生变化，∴新直线的k值不变，b＝－1＋2＝1，∴新直线的解析式为y＝kx＋1.
解答直线在坐标系中的上下平移问题，要注意平移后k值不变，改变的是b的值，上下平移时，遵循“上加下减”的原则．
【变式训练】
1．把函数y＝－2x＋3的图象向下平移4个单位长度后的函数图象的解析式为(C)
A．y＝－2x＋7 B．y＝－6x＋3
C．y＝－2x－1 D．y＝－2x－5
考点2?　一次函数图象与系数的关系
【典例2】(海南琼中县期末)已知正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，则一次函数y＝kx－k的图象可能是下图中的(D)
解析：∵正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，∴k＞0，∴一次函数y＝kx－k的图象经过第一、三、四象限．
一次函数的图象与系数的关系：函数值y随x的增大而增大 k>0；函数值y随x的增大而减小 k<0.
【变式训练】
2．(海南海口期中)若一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx－k图象是(B)
考点3?　一次函数图象与几何图形的综合
【典例3】(海南儋州模拟)如图，直线y＝－x＋4交坐标轴于D，E两点，等边三角形OBC的边OB在x轴上，且B为线段OD的中点，若将△OBC沿y轴竖直向上平移，当点C落在直线DE上时，点C平移的距离为(C)
A．3－ B．
C．3－ D．
解析：∵当y＝0时，－x＋4＝0，解得x＝4，
∴点D的坐标为(4，0).
∵B为线段OD的中点，
∴点B的坐标为(2，0)，∴OB＝2.
∵△OBC是等边三角形，OB在x轴上，
∴点C的坐标为(1，).
∵△OBC沿y轴竖直向上平移，点C落在直线DE上，∴此时x＝1，
∴y＝－1＋4＝3，
∴当点C落在直线DE上时，点C的坐标为(1，3)，
∴点C平移的距离为3－.
利用一次函数图象上点的坐标特征及等边三角形的性质，找出点C的原坐标及平移后的坐标是解题的关键．
【变式训练】
3．如图，点A，B，C在一次函数y＝－3x＋m的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是．
知识点1?　一次函数图象的平移
1．(内蒙古兴安盟期末)对于一次函数y＝－2x＋5，下列结论错误的是(C)
A．函数图象与y轴的交点坐标是(0，5)
B．函数图象经过第一、二、四象限
C．将函数图象向下平移6个单位长度得到函数y＝－8x＋5的图象
D．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在该函数的图象上，且x1＞x2，则y1＜y2
2．(山西临汾襄汾县期末)在平面直角坐标系中，将直线y＝2x＋b沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过原点，则b的值为－3．
知识点2?　一次函数的图象和性质
3．(海南定安县期末)关于x的一次函数y＝kx＋2(k≠0)，y的值随x值的增大而减小，则它的图象可能是(C)
4．(江西赣州安远县校级月考)已知一次函数y＝－2x＋4，解答下列问题：
(1)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；
(2)观察图象，当0≤y≤4时，写出x的取值范围．
(1)在y＝－2x＋4中，当x＝0时，y＝4，
当y＝0时，－2x＋4＝0，解得x＝2，
∴函数图象经过(0，4)和(2，0)两点，如图：
(2)观察图象，当0≤y≤4时，x的取值范围为0≤x≤2.
易错易混点　忽视正比例函数是特殊的一次函数
5．(新疆乌鲁木齐新市区校级期末)若一次函数y＝kx＋b的图象不经过第三象限，则下列选项正确的是(D)
A．k＜0，b＞0 B．k＜0，b＜0
C．k＜0，b≤0 D．k＜0，b≥0
6．(海南五指山期末)一次函数y＝x＋2的图象不经过的象限是(D)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．(海南乐东县月考)两个y关于x的一次函数y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是(B)
8．(四川绵阳北川县期中)点A(1，y1)，B(2，y2)在一次函数y＝2x－1的图象上，则y1，y2的大小关系是(C)
A．y1＞y2 B．y1＝y2
C．y1＜y2 D．不能确定
9．已知一次函数y＝－x＋3，当－3≤x≤4时，y的最大值是．
10．(广东江门期中)画出函数y＝2x的图象．
(1)列表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … …
(2)描点并连线．
(1)列表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … －4 －2 0 2 4 …
(2)描点并连线画出函数图象如图所示．
【母题P117例1】分别画出下列正比例函数的图象：
(1)y＝2x，y＝x；(2)y＝－1.5x，y＝－4x.
(1)函数y＝2x中的自变量x可为任意实数，表是y与x的几组对应值．
x … －2 －1 0 1 2 …
y … －4 －2 0 2 4 …
如图，在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点．将这些点连接起来，得到一条经过原点和第三、第一象限的直线，它就是函数y＝2x的图象．
用同样的方法，可以得到函数y＝x的图象，它也是一条经过原点和第三、第一象限的直线．
(2)函数y＝－1.5x中的自变量x可为任意实数，表是y与x的几组对应值．
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 3 1.5 0 －1.5 －3 …
如图，在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点．将这些点连接起来，得到一条经过原点和第二、第四象限的直线．它就是函数y＝－1.5x的图象．
用同样的方法，可以得到函数y＝－4x的图象．它也是一条经过原点和第二、第四象限的直线．
【变式】已知函数y＝x＋3.
(1)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)结合所画图象，分别求出在函数图象上满足下列条件的点的坐标．
①横坐标是－4；
②和x轴的距离是2个单位长度．
(1)当x＝0时，y＝3；
当x＝2时，y＝2；
函数图象如图所示；
(2)①由函数图象，可知
当x＝－4时，y＝5；
故函数图象上横坐标是－4的点坐标为(－4，5)；
②和x轴的距离是2个单位长度的点的纵坐标为2或－2，
当y＝2时，x＝2；
当y＝－2时，x＝10；
所以函数图象上和x轴的距离是2个单位长度的点的坐标为(2，2)或(10，－2).
11．(运算能力)(山东烟台蓬莱区期末)综合与实践
同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？
请结合一次函数的学习经验探究函数y＝2|x＋1|－3的图象．
(1)列表：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
y … 3 m －1 －3 －1 n 3 …
表格中m＝1，n＝1；
(2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)观察(2)中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论．
结论1：函数y＝2|x＋1|－3有最小值，最小值为y＝－3；
结论2：函数y＝2|x＋1|－3的图象关于直线x＝－1对称．
(2)画出函数图象如图，
(3)根据题意，得(答案不唯一)
结论1：函数y＝2|x＋1|－3有最小值，最小值为y＝－3；
结论2：函数y＝2|x＋1|－3的图象关于直线x＝－1对称．
第2课时　用待定系数法求一次函数的解析式
1．待定系数法
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法．
2．用待定系数法确定一次函数的解析式
(1)先设一次函数的解析式为y＝kx＋b；
(2)找出两对x，y的对应值或直线上两点的坐标分别代入y＝kx＋b，得出关于k，b的二元一次方程组；
(3)解方程组得出k，b的值，确定一次函数的解析式．
3．一次函数的应用
一次函数的应用就是把实际问题抽象成数学问题，建立一次函数模型，通过解决一次函数问题从而解决实际问题．
考点1?　用待定系数法求函数解析式
【典例1】已知直线y＝kx＋b经过点A(2，4)和点B(0，－2)，那么这条直线的解析式是(B)
A．y＝－2x＋3 B．y＝3x－2
C．y＝－3x＋2 D．y＝2x－3
解析：利用待定系数法求函数解析式．
∵直线y＝kx＋b经过点A(2，4)和点B(0，－2)，
∴解得
∴直线解析式为y＝3x－2.
利用待定系数法确定一次函数的解析式，可以简单记为：一设；二代；三解；四定(确定函数解析式).
【变式训练】
1．(海南海口龙华区校级期末)已知一次函数的图象经过点(2，3)，(－2，－5).求一次函数的解析式．
设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0).
∵一次函数的图象经过点(2，3)，(－2，－5)，
整理，得解得
∴一次函数的解析式为y＝2x－1.
考点2?　与两条直线交点有关的问题
【典例2】如图，已知函数y1＝3x＋b和y2＝ax－3的图象交于点P，且分别交y轴于A，B两点．
(1)根据图象分别求出a，b的值；
(2)求△APB的面积．
解：(1)∵函数y1＝3x＋b和y2＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，∴3×(－2)＋b＝－5，－2a－3＝－5，解得b＝1，a＝1；
(2)∵b＝1，a＝1，
∴两函数的解析式是y1＝3x＋1和y2＝x－3.令x＝0，得y1＝1，y2＝3，
∴A(0，1)，B(0，－3)，∴AB＝4，
∴△APB的面积为·AB·2＝×4×2＝4.
解题关键是掌握用待定系数法求函数解析式，同时知道凡是函数图象经过的点都能满足解析式．
【变式训练】
2．(海南中考)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋4经过点B(－6，0)和点C(a，2)，与轴y交于点A，经过点C的另一条直线与y轴的正半轴交于点D(0，1)，与x轴交于点E.
(1)求点C的坐标及直线CD的解析式；
(2)求四边形OBCD的面积．
(1)∵直线y＝kx＋4经过点B(－6，0)，C(a，2)，∴将点B(－6，0)代入一次函数y＝kx＋4中，得－6k＋4＝0，
∴k＝，∴y＝x＋4，
∴将点C(a，2)代入函数y＝x＋4中，得2＝a＋4，
∴a＝－3，∴点C的坐标为(－3，2).设直线CD的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，
将点C(－3，2)和D(0，1)代入y＝mx＋n(m≠0)，得
解得
∴直线CD的解析式为y＝－x＋1；
(2)∵当x＝0时，y＝x＋4＝×0＋4＝4，
∴A(0，4).
∵D(0，1)，∴AD＝4－1＝3，
∴S四边形OBCD＝S△ABO－S△ACD＝×6×4－×3×3＝.
知识点1?　待定系数法求一次函数的解析式
1．(海南乐东县月考)若一次函数y＝kx＋b的图象与直线y＝－x＋1平行，且过点(8，2)，则此一次函数的解析式为(D)
A．y＝－x－2 B．y＝－x－6
C．y＝－x－1 D．y＝－x＋10
2．(海南海口龙华区校级期末)已知直线y＝kx－4(k＜0)与两坐标轴所围成的三角形的面积为4，则直线的解析式为(B)
A．y＝－x－4 B．y＝－2x－4
C．y＝－3x＋4 D．y＝－3x－4
3．如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A，B两点．
(1)求出该一次函数的解析式；
(2)当x＝10时，y的值是多少？
(3)当y＝12时，x的值是多少？
(1)观察图象可得一次函数的图象经过A(1，2)，B(－2，5)，
∴∴∴一次函数的解析式是y＝－x＋3；
(2)令x＝10，y＝－10＋3＝－7；
(3)令y＝12，12＝－x＋3，x＝－9.
知识点2?　一次函数的应用
4．“千里游学，古已有之．”两名老师带领x名学生到某红色旅游景点研学，此次研学每位老师的费用为40元，每位学生的费用为20元．设研学的总费用为y元，则y与x的函数关系为(C)
A．y＝20x＋40 B．y＝40x＋80
C．y＝20x＋80 D．y＝40x＋40
5．自来水公司采用分段收费标准收水费，每月收取水费y(元)与用水量x(t)之间的函数关系如图所示，琪琪家5月份用水14 t，应缴水费(C)
A．22元 B．33元 C．39元 D．42元
6．(海南海口期末)已知一根弹簧在不挂重物时长6 cm，在一定的弹性限度内，每挂1 kg重物弹簧伸长0.3 cm.则该弹簧总长y(单位：cm)随所挂物体质量x(单位：kg)变化的函数关系式为y＝0.3x＋6．
7．(海南海口美兰区校级期中)某市规定了每月用水18 m3以内(含18 m3)和用水18 m3以上两种不同的收费标准．该市的用户每月应交水费y(单位：元)与用水量x(单位：m3)之间的函数关系如图所示．
(1)当用水18 m3以上时，求y与x之间的函数解析式．
(2)若小敏家某月交水费81元，求这个月用水量为多少立方米．
(1)设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b.
∵直线y＝kx＋b过点(18，45)，(28，75)，
整理，得解得∴y＝3x－9(x＞18)；
(2)∵81＞45，∴当y＝81时，3x－9＝81，解得x＝30.
答：这个月用水量为30立方米．
易错易混点　求一次函数解析式忽略分类讨论的情况
8.已知一次函数y＝ax＋b，当－4≤x≤1时，对应y的取值范围是1≤y≤16，则a＋b的值是(C)
A．1 B．16
C．1或16 D．无法确定
9．一次函数y＝kx＋b(k≠0)满足下列两个条件：①y随x的增大而减小；②当x＜2时，y＞0.符合上述两个条件的一次函数解析式可以为(B)
A．y＝x＋1 B．y＝－2x＋4
C．y＝－x＋1 D．y＝2x＋4
10．(黑龙江哈尔滨南岗区校级期中)劳动节期间，乐乐老师一家自驾游去了离家260 km的某目的地，下面是她们离家的距离y(单位：km)与汽车行驶时间x(单位：h)之间的函数图象，她们出发2.3 h，离目的地还有(A)
A．22 km B．32 km
C．238 km D．228 km
11．(青海西宁中考)在平面直角坐标系xOy中，点A(4，0)，点P在过原点的直线l上，且AP＝OP＝4，则直线l的解析式是y＝x或y＝－x．
12．(陕西西安校级期末)如图，在平面直角坐标系中， ABCO的顶点O(0，0)，点A在x轴的正半轴上，∠COA的平分线OD交CB于点D(4，6)，则直线OC的解析式为y＝－x．
13．(海南儋州月考)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋b的图象与x轴、y轴分别相交于点A(1，0)，点B.
(1)求一次函数的解析式和点B的坐标；
(2)点C在x轴上，若△ABC是以边AB为腰的等腰三角形，请直接写出点C的横坐标．
(1)∵一次函数y＝－2x＋b的图象与x轴交于点A(1，0)，
∴0＝－2×1＋b，解得b＝2，∴一次函数的解析式为y＝－2x＋2.
在y＝－2x＋2中，令x＝0，得y＝2，∴点B的坐标为(0，2)；
(2)由点A，B的坐标，得OA＝1，OB＝2.
∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝.
∵△ABC是以边AB为腰的等腰三角形，
∴①当AB＝AC＝时，此时点C的横坐标为1＋或1－；
②当AB＝BC＝时，此时点A，C关于y轴对称，∴点C的横坐标为－1.
综上所述，点C的横坐标为1＋或1－或－1.
14．(海南海口期末)甲、乙两人骑自行车前往A地，他们距A地的路程s(单位：km)与行驶时间t(单位：h)之间的关系如图所示．请根据图象所提供的信息解答下列问题：
(1)甲的速度是20km/h，乙的速度是30km/h；
(2)求出甲或乙距A地的路程s与行驶时间t之间的函数关系式(任求一个)；
(3)直接写出在什么时间段内乙比甲离A地更近？
(1)从题图象，可知甲用2.5小时骑行了50 km；乙用2小时骑行了60 km，
所以甲的速度是50÷2.5＝20(km/h)；乙的速度是60÷2＝30(km/h)；
(2)设甲距A地的路程s与行驶时间t之间的函数关系式为s＝at＋b(a≠0)，
由题图象，知甲的函数图象经过(0，50)，(2.5，0)两点，
则有解得
所以甲距A地的路程s与行驶时间t之间的函数关系式为s＝－20t＋50；
同理即可得出乙距A地的路程s与行驶时间t之间的函数关系式为s＝60－30t；
(3)从题图象，可知在1～2.5小时这段时间内，乙比甲离A地更近．
【母题P122例5】
一位记者乘坐汽车赴360 km外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y(单位：km)与时间x(单位：h)之间的关系如图所示．
(1)求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解析式；
(2)记者出发后多长时间到达采访地？
(1)当0≤x≤2时，函数图象是经过原点和点A的直线的一部分，设函数的解析式为y＝k1x.因为它的图象过点A(2，180)，所以180＝2k1，解得k1＝90.
因此，当0≤x≤2时，函数的解析式为y＝90x；
当x>2时，函数图象是经过A，B两点的直线的一部分．我们求出直线AB所对应的一次函数的解析式．设这个一次函数的解析式为y＝k2x＋b2，把点A，B的坐标分别代入y＝k2x＋b2，得解这个方程组，得
因此，当x>2时，函数的解析式为y＝60x＋60.
综上，当0≤x≤2 时，y＝90x；当x>2时，y＝60x＋60.
(2)由图象可知，当y＝360时，x>2.
由360＝60x＋60，解得x＝5.
因此，记者在出发5 h后到达采访地．
【变式】甲、乙两组同时加工某产品，两组每天加工产品所消耗的原材料吨数均保持不变，加工一段时间后，乙组执行其他任务，剩下的任务由甲组单独完成，甲、乙两组消耗原材料总量y(单位：吨)与生产时间x(单位：天)之间的函数图象如图所示．
(1)乙组调离时，甲、乙两组共消耗原材料270吨；
(2)乙组调离后，求y与x之间的函数关系式；
(3)当消耗原材料350吨时，求乙组已调离的天数．
(2)甲组每天消耗的原材料为(390－270)÷(6－3)＝40(吨)，则y＝270＋40(x－3)＝40x＋150，
∴乙组调离后，y与x之间的函数关系式为y＝40x＋150(3≤x≤6).
(3)当y＝350时，得40x＋150＝350，
解得x＝5，5－3＝2(天).
答：当消耗原材料350吨时，乙组已调离2天．
15．(运算能力)某校科技小组借助小型飞行器探究气温与海拔高度的关系．一天，甲飞行器所在海拔高度y(单位：m)与上升时间x(单位：min)满足一次函数关系，部分数值如表：
上升时间x(单位：min) … 5 15 …
海拔高度y(单位：m) … 10 20 …
乙飞行器从海拔15 m的高度，以0.5 m/min的速度上升，两个飞行器同时起飞并始终保持上升状态．
(1)分别求出甲、乙两个飞行器所在位置的海拔高度y(单位：m)与上升时间x(单位：min)之间的函数解析式；
(2)①求甲飞行器的初始高度；
②在某时刻甲、乙两个飞行器能否位于同一高度？如果能，求此时两个飞行器的高度；如果不能，请说明理由；
(3)若甲飞行器因为电量不足，上升40 min后，减速为0.3 m/min继续匀速上升，乙飞行器的速度保持不变，设两个飞行器的高度差为h(单位：m).请直接写出：当40≤x≤80，h最多为多少米？
(1)设甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数解析式为y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0).
将x＝5，y＝10和x＝15，y＝20分别代入y＝kx＋b，
得解得∴y＝x＋5；
根据题意，得乙飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数解析式为y＝0.5x＋15；
∴甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数解析式为y＝x＋5，乙飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数解析式为y＝0.5x＋15；
(2)①当x＝0时，y＝5，∴甲飞行器的初始高度是5 m；
②在某时刻甲、乙两个飞行器能位于同一高度．
当甲、乙两个飞行器位于同一高度时，得x＋5＝0.5x＋15，解得x＝20，20＋5＝25(m)，∴此时两个飞行器的高度为25 m；
(3)当x＝40时，甲飞行器所在位置的海拔高度y＝40＋5＝45，y＝0.3(x－40)＋45＝0.3x＋33，
∴当40≤x≤80时，甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数解析式为y＝0.3x＋33.
h＝|0.3x＋33－(0.5x＋15)|＝|0.2x－18|，
∵当40≤x≤80时，0.2x－18＜0，∴h＝18－0.2x.
∵－0.2＜0，∴h随x的减小而增大．
∵40≤x≤80，∴当x＝40时，h最大，h最大＝18－0.2×40＝10，∴h最多为10 m．

展开更多......

收起↑