资源简介

23．1　一次函数的概念
1．一次函数的定义
一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数．
2．正比例函数的定义
形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数．
考点　用一次函数解析式表示问题中变量之间的关系
【典例】某市出租车收费标准如下：3 km以内(含3 km)收费8元；超过3 km的部分每千米收费6元．
(1)写出应收费y(单位：元)与出租车行驶路程x(单位：km)之间的关系式(其中x≥3)；
(2)小亮乘出租车行驶4 km，应付车费多少元？
(3)小波付车费16元，那么出租车行驶了多少千米？
解：(1)当x≥3时，y＝8＋6(x－3)＝6x－10；
(2)当x＝4时，y＝6×4－10＝14，
∴小亮乘出租车行驶4 km，应付车费14元；
(3)令y＝16，则6x－10＝16，解得x＝，
∴小波付车费16元，出租车行驶了千米．
确定函数解析式的步骤：
(1)找： 认真审题，根据题意找出等量关系.
(2)写： 根据等量关系写出含有两个变量的等式．
(3)变： 将等式变形为用含自变量的式子表示函数的形式．
(4)定： 确定自变量的取值范围，既要考虑函数解析式本身有意义，也要符合实际意义.
【变式训练】
　弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长(或压缩)的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数．一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6 cm.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5 kg时，弹簧长度为6.5 cm，那么，当弹簧长度为6.8 cm时，所挂物体的质量为0.8kg.
知识点1?　一次函数的定义
1．(海南保亭县期中)下列函数，是一次函数的是(C)
A．y＝－x2＋5x B．y＝－
C．y＝3x＋5 D．y＝
2．若y＝(m－1)x|m|＋2是y关于x的一次函数，那么m的值是(B)
A．1 B．－1 C．±1 D．0
知识点2?　正比例函数的定义
3．(海南保亭县期末)下列函数关系中，属于正比例函数关系的是(B)
A．面积一定时，长方形的长y与宽x
B．三角形的底边是常数a时，它的面积S与这条边上的高h
C．圆的面积S与它的半径r
D．路程是常数s时，行驶的速度v与时间t
4．(海南儋州期中)下列函数，是正比例函数的是(C)
A．y＝ B．y＝x2 C．y＝2x D．y＝2x－1
知识点3?　一次函数的解析式
5．如果一盒圆珠笔有16支，售价24元，用y(单位：元)表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，那么y与x间的关系式为(D)
A．y＝12x B．y＝18x C．y＝x D．y＝x
6．漳州市出租车价格是这样规定的：不超过2公里，付车费5元，超过的部分按每千米1.6元收费，已知李老师乘出租车行驶了x(x＞2)千米，付车费y元，则所付车费y元与出租车行驶的路程x千米之间的函数解析式为y＝1.6x＋1.8．
7．(河北廊坊广阳区校级月考)下列函数为一次函数的有(A)
①y＝x＋6；②y－x＝－2(x＋1)；③y＝－x2＋4x－1；④y＝4x.
A．①②④ B．①③ C．①② D．②④
8．下列说法中正确的有(D)
①y＝kx是正比例函数；②如果y＝(a＋3)x＋a2－9是正比例函数，那么a＝±3；③如果y与x＋2成正比例，那么y是x的正比例函数；④如果y＝x2，那么y与x2成正比例．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．自行车的链条是由若干节链条连接而成的，将其展直后链条的总长度y(单位：cm)随着链条节数x(单位：节)的变化而变化．如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5 cm，链条交叉重叠部分的圆的直径为0.8 cm.
　　　
(1)y与x之间的关系式是y＝1.7x＋0.8(x为正整数)；
(2)若该品牌一辆自行车上链条展直后的总长度为102.8 cm，则其链条节数是多少？
(1)y＝1.7x＋0.8(x为正整数)；
(2)当y＝102.8时，1.7x＋0.8＝102.8，解得x＝60，∴其链条节数是60节．
10．(应用意识)(河南郑州高新区期末)为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图1，表示一辆购物车的尺寸，如图2，表示3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6 m．购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运，直立电梯一次性最多能转运12辆购物车；如图3，扶手电梯一次性最多转运购物车时，需要在斜坡AC上预留CD＝0.5 m的安全距离．
　
(1)当x辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为y m，则y与x的关系式是y＝0.2x＋1；
(2)若该超市扶手电梯水平距离BC为4 m，高AB为3 m，考虑安全距离，求扶手电梯一次性最多能转运的购物车数量，并比较哪种方式一次性转运的购物车数量多．
(1)y＝0.2x＋1.
(2)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝＝5(m)，根据题意，得5－(0.2x＋1)≥0.5，解得x≤17.5，∴扶手电梯一次性最多能转运17辆购物车．
∵17＞12，∴扶手电梯一次性转运的购物车数量多．23．1　一次函数的概念
1．一次函数的定义
一般地，形如y＝ (k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数．
2．正比例函数的定义
形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫作正比例函数，其中k叫作 ．
考点　用一次函数解析式表示问题中变量之间的关系
【典例】某市出租车收费标准如下：3 km以内(含3 km)收费8元；超过3 km的部分每千米收费6元．
(1)写出应收费y(单位：元)与出租车行驶路程x(单位：km)之间的关系式(其中x≥3)；
(2)小亮乘出租车行驶4 km，应付车费多少元？
(3)小波付车费16元，那么出租车行驶了多少千米？
确定函数解析式的步骤：
(1)找： 认真审题，根据题意找出等量关系.
(2)写： 根据等量关系写出含有两个变量的等式．
(3)变： 将等式变形为用含自变量的式子表示函数的形式．
(4)定： 确定自变量的取值范围，既要考虑函数解析式本身有意义，也要符合实际意义.
【变式训练】
　弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长(或压缩)的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数．一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6 cm.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5 kg时，弹簧长度为6.5 cm，那么，当弹簧长度为6.8 cm时，所挂物体的质量为 kg.
知识点1?　一次函数的定义
1．(海南保亭县期中)下列函数，是一次函数的是( )
A．y＝－x2＋5x B．y＝－
C．y＝3x＋5 D．y＝
2．若y＝(m－1)x|m|＋2是y关于x的一次函数，那么m的值是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．0
知识点2?　正比例函数的定义
3．(海南保亭县期末)下列函数关系中，属于正比例函数关系的是( )
A．面积一定时，长方形的长y与宽x
B．三角形的底边是常数a时，它的面积S与这条边上的高h
C．圆的面积S与它的半径r
D．路程是常数s时，行驶的速度v与时间t
4．(海南儋州期中)下列函数，是正比例函数的是( )
A．y＝ B．y＝x2 C．y＝2x D．y＝2x－1
知识点3?　一次函数的解析式
5．如果一盒圆珠笔有16支，售价24元，用y(单位：元)表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，那么y与x间的关系式为( )
A．y＝12x B．y＝18x C．y＝x D．y＝x
6．漳州市出租车价格是这样规定的：不超过2公里，付车费5元，超过的部分按每千米1.6元收费，已知李老师乘出租车行驶了x(x＞2)千米，付车费y元，则所付车费y元与出租车行驶的路程x千米之间的函数解析式为 ．
7．(河北廊坊广阳区校级月考)下列函数为一次函数的有( )
①y＝x＋6；②y－x＝－2(x＋1)；③y＝－x2＋4x－1；④y＝4x.
A．①②④ B．①③ C．①② D．②④
8．下列说法中正确的有( )
①y＝kx是正比例函数；②如果y＝(a＋3)x＋a2－9是正比例函数，那么a＝±3；③如果y与x＋2成正比例，那么y是x的正比例函数；④如果y＝x2，那么y与x2成正比例．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．自行车的链条是由若干节链条连接而成的，将其展直后链条的总长度y(单位：cm)随着链条节数x(单位：节)的变化而变化．如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5 cm，链条交叉重叠部分的圆的直径为0.8 cm.
　　　
(1)y与x之间的关系式是 ；
(2)若该品牌一辆自行车上链条展直后的总长度为102.8 cm，则其链条节数是多少？
10．(应用意识)(河南郑州高新区期末)为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图1，表示一辆购物车的尺寸，如图2，表示3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6 m．购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运，直立电梯一次性最多能转运12辆购物车；如图3，扶手电梯一次性最多转运购物车时，需要在斜坡AC上预留CD＝0.5 m的安全距离．
　
(1)当x辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为y m，则y与x的关系式是 ；
(2)若该超市扶手电梯水平距离BC为4 m，高AB为3 m，考虑安全距离，求扶手电梯一次性最多能转运的购物车数量，并比较哪种方式一次性转运的购物车数量多．

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