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22．2　函数的表示
1．函数的图象
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的 、 坐标，那么坐标平面内由这些点组成的 ，就是这个函数的 .
2．函数图象的画法
用描点法画函数图象的一般步骤如下：
第一步， ——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步， ——在直角坐标系中，以自变量的值为 坐标，相应的函数值为 坐标，描出表格中数值对应的各点；
第三步， ——按照横坐标从 到 的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．
3．函数的表示法
写出函数解析式，或者列表格，或者画出函数图象，都可以表示具体的函数．这三种表示函数的方法，分别称为 法、 法和 法．
考点1?　从函数图象中读取信息
【典例1】温度的变化，是人们在生活中经常谈论的话题，请你根据如图回答下面的问题：
(1)上午9时的温度是多少？这一天的最高温度是多少？
(2)这一天的温差是多少？从最低温度到最高温度经过了多长时间？
(3)在什么时间范围内温度在下降？图中的A点表示的是什么？
(4)你能预测次日凌晨1时的温度吗？并说明你的理由．
观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点(与坐标轴的交点、图象上的拐点、线段的端点等)，这些特殊点的意义往往对解答问题有很大的帮助．同时，多思考和联想，结合生活中的实际例子去理解.
【变式训练】
1．5G无人物品派送车已经应用于实际生活中，该车从出发点沿直线路径到达派送点，在派送点停留一段时间后匀速返回出发位置，其行驶路程s与所用时间t的关系如图所示(不完整).下列分析正确的是( )
A．派送车从出发点到派送点往返行驶的路程为3.2 km
B．在5～9 min内，派送车的速度逐渐增大
C．在0～5 min内，派送车的平均速度为0.12 km/min
D．在9～12 min内，派送车匀速行驶
考点2?　用函数图象描述变化过程
【典例2】如图1，E为矩形ABCD中AD边的中点，点P从点A出发，沿A→E→B以2 cm/s的速度运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y(cm)2随时间t(s)变化的函数图象，则a的值为( )
　
A．5 B．4 C．3 D．2
根据图象确定变量之间的关系时，应掌握几个要点：
(1)明确平面直角坐标系的横轴、纵轴分别表示的是什么量，单位是什么；
(2)如果图象自左向右是上升的，那么说明函数值随着自变量的增大而增大；
(3)如果图象自左向右是下降的，那么说明函数值随着自变量的增大而减小；
(4)如果图象自左向右是与横轴平行的或在横轴上，那么说明函数值随着自变量的增大而保持不变．
【变式训练】
2．(海南模拟)如图1，P为菱形ABCD对角线AC上一动点，E为边CD上一定点，连接PB，PE，BE.图2是点P从点A匀速运动到点C时，△PBE的面积y随AP的长度x变化的关系图象(当点P在BE上时，令y＝0)，则菱形ABCD的周长为( )
　　　
A．8 B．8 C．20 D．24
知识点1?　函数的图象及画法
1．下列图象，y不是x的函数的是( )
　　　
2．(海南海口月考)如图，是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系( )
3．请按要求画出函数y＝x2的图象：
(1)列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … …
(2)描点；(3)连线；
(4)请你判断点(4，8)，(－，－)是否在函数图象上．答： ．
知识点2?　从函数图象中读取信息
4．(海南屯昌县月考)如图的曲线反映了某景点某一天游客的人数y(人)与时间t(小时)的变化情况，则这一天人数最多的时刻大约是( )
A．9时 B．12时 C．15时 D．21时
5．(湖南怀化洪江市期末)小亮从家匀速跑步到学校，接着马上原路匀速步行回家，已知小亮步行回家的时间是跑步到学校时间的2倍.如图是小亮离家的路程y(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，则小亮回家的速度是每分钟步行 m.
6．为了响应“绿色出行”的号召，李华选择骑自行车到郊外游玩，她离家的距离s与时间t之间的对应关系如图所示．
请根据图象回答下列问题：
(1)李华到达离家最远的地方是几时？此时离家多远？
(2)李华返回时的速度是多少？
(3)李华全程的平均速度是多少？
知识点3?　函数的表示方法
7．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(单位：cm)与所挂物体质量x(单位：kg)之间有如下关系(其中x≤12)：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是( )
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是函数
B．弹簧不挂重物时的长度为10 cm
C．所挂物体质量x(x≤12)每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5 cm
D．所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度为14.5 cm
8．(贵州铜仁玉屏县三模)星期日早晨，小明从家匀速跑到公园，在公园某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，小明离公园的路程y与时间x的关系的大致图象是( )
易错易混点　不能根据实际问题情境确定函数图象
9．赵悦同学骑自行车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课时间，于是就加快了车速，如图所示的四个图象中(S为距离，t为时间)，符合以上情况的是( )
10．(海南陵水县期末)下面四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序．
a．运动员推出去的铅球(铅球的高度与时间的关系)；
b．一辆汽车在平直的公路上匀速运动(汽车行驶路程与时间的关系)；
c．一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加(弹簧的长度与所挂重物的质量的关系)；
d．小明从A地到B地后，停留一段时间，然后按原来的速度原路返回(小明离A地的距离与时间的关系).
正确的顺序是( )
A．abcd B．abdc C．acbd D．acdb
11．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2 400 m先到终点的人原地休息．已知甲先出发4 min，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(单位：m)与甲出发的时间t(单位：min)之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60 m/min；②乙走完全程用了36 min；③乙用16 min追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有360米．其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x.
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是 (填序号).
13．某地海拔高度h(单位：km)与此高度处气温t(单位：℃)之间有下面的关系．
海拔高度h/km 0 1 2 3
气温t/℃ 20 14 8 2
(1)随着海拔高度的升高，气温 (填“升高”或“下降”)，因此自变量是 ；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并画出这些点所在的直线；
(3)求气温t关于海拔高度h的函数解析式；
(4)若该地某处的气温为－4，求该处的海拔高度．
14．(应用意识)“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的书店，买到书后继续去学校．下图是他本次所用的时间t与离家距离y之间的对应关系，根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小明家到学校的路程是多少米？
(2)小明在书店停留了多少时间？
(3)本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少时间？
(4)我们认为骑单车的速度超过 300 m/min 就超越了安全限度．问：在整个上学的途中，哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？22．2　函数的表示
1．函数的图象
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
2．函数图象的画法
用描点法画函数图象的一般步骤如下：
第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线——按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．
3．函数的表示法
写出函数解析式，或者列表格，或者画出函数图象，都可以表示具体的函数．这三种表示函数的方法，分别称为解析法、列表法和图象法．
考点1?　从函数图象中读取信息
【典例1】温度的变化，是人们在生活中经常谈论的话题，请你根据如图回答下面的问题：
(1)上午9时的温度是多少？这一天的最高温度是多少？
(2)这一天的温差是多少？从最低温度到最高温度经过了多长时间？
(3)在什么时间范围内温度在下降？图中的A点表示的是什么？
(4)你能预测次日凌晨1时的温度吗？并说明你的理由．
解：(1)利用题图得出上午9时的温度是27 ℃，这一天的最高温度是37 ℃；
(2)这一天的温差是37－23＝14(℃)，从最低温度到最高温度经过了15－3＝12(时)；
(3)温度下降的时间范围为0时至3时及15时至24时，图中的A点表示的是21时的气温；
(4)预测次日凌晨1时的温度在24 ℃左右，
∵从0时到3时温度从26 ℃降到23 ℃，
∴预测次日凌晨1时的温度在24 ℃左右．
观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点(与坐标轴的交点、图象上的拐点、线段的端点等)，这些特殊点的意义往往对解答问题有很大的帮助．同时，多思考和联想，结合生活中的实际例子去理解.
【变式训练】
1．5G无人物品派送车已经应用于实际生活中，该车从出发点沿直线路径到达派送点，在派送点停留一段时间后匀速返回出发位置，其行驶路程s与所用时间t的关系如图所示(不完整).下列分析正确的是(C)
A．派送车从出发点到派送点往返行驶的路程为3.2 km
B．在5～9 min内，派送车的速度逐渐增大
C．在0～5 min内，派送车的平均速度为0.12 km/min
D．在9～12 min内，派送车匀速行驶
考点2?　用函数图象描述变化过程
【典例2】如图1，E为矩形ABCD中AD边的中点，点P从点A出发，沿A→E→B以2 cm/s的速度运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y(cm)2随时间t(s)变化的函数图象，则a的值为(B)
　
A．5 B．4 C．3 D．2
解析：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴当点P在边AE上运动时，y的值不变，
∴AE＝2a.∵E为矩形ABCD中AD边的中点，∴BC＝AD＝2AE＝4a，
∴×4a·AB＝12a，∴AB＝6.
∵当点P在EB上运动时，y逐渐减小，运动到B时y＝0，∴EB＝5×2＝10.
在Rt△ABE中，∵AE2＋AB2＝BE2，∴(2a)2＋62＝102，解得a＝4.
根据图象确定变量之间的关系时，应掌握几个要点：
(1)明确平面直角坐标系的横轴、纵轴分别表示的是什么量，单位是什么；
(2)如果图象自左向右是上升的，那么说明函数值随着自变量的增大而增大；
(3)如果图象自左向右是下降的，那么说明函数值随着自变量的增大而减小；
(4)如果图象自左向右是与横轴平行的或在横轴上，那么说明函数值随着自变量的增大而保持不变．
【变式训练】
2．(海南模拟)如图1，P为菱形ABCD对角线AC上一动点，E为边CD上一定点，连接PB，PE，BE.图2是点P从点A匀速运动到点C时，△PBE的面积y随AP的长度x变化的关系图象(当点P在BE上时，令y＝0)，则菱形ABCD的周长为(C)
　　　
A．8 B．8 C．20 D．24
知识点1?　函数的图象及画法
1．下列图象，y不是x的函数的是(C)
　　　
2．(海南海口月考)如图，是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系(C)
3．请按要求画出函数y＝x2的图象：
(1)列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … …
(2)描点；(3)连线；
(4)请你判断点(4，8)，(－，－)是否在函数图象上．答：不在．
(1)　2　　0　　2　
(2)(3)如图所示．
(4)当x＝4时，y＝×42＝8；当x＝－时，y＝×(－)2＝≠－.
所以点(4，8)在函数图象上，点(－，－)不在函数图象上．
知识点2?　从函数图象中读取信息
4．(海南屯昌县月考)如图的曲线反映了某景点某一天游客的人数y(人)与时间t(小时)的变化情况，则这一天人数最多的时刻大约是(D)
A．9时 B．12时 C．15时 D．21时
5．(湖南怀化洪江市期末)小亮从家匀速跑步到学校，接着马上原路匀速步行回家，已知小亮步行回家的时间是跑步到学校时间的2倍.如图是小亮离家的路程y(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，则小亮回家的速度是每分钟步行90m.
6．为了响应“绿色出行”的号召，李华选择骑自行车到郊外游玩，她离家的距离s与时间t之间的对应关系如图所示．
请根据图象回答下列问题：
(1)李华到达离家最远的地方是几时？此时离家多远？
(2)李华返回时的速度是多少？
(3)李华全程的平均速度是多少？
(1)由图象，可得李华到达离家最远的地方是12时，此时离家30 km.
(2)李华返回时的速度：30÷(15－13)＝15(km/h).
(3)李华全程的平均速度：(30×2)÷(15－9)＝10(km/h).
知识点3?　函数的表示方法
7．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(单位：cm)与所挂物体质量x(单位：kg)之间有如下关系(其中x≤12)：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是(D)
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是函数
B．弹簧不挂重物时的长度为10 cm
C．所挂物体质量x(x≤12)每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5 cm
D．所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度为14.5 cm
8．(贵州铜仁玉屏县三模)星期日早晨，小明从家匀速跑到公园，在公园某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，小明离公园的路程y与时间x的关系的大致图象是(B)
易错易混点　不能根据实际问题情境确定函数图象
9．赵悦同学骑自行车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课时间，于是就加快了车速，如图所示的四个图象中(S为距离，t为时间)，符合以上情况的是(B)
10．(海南陵水县期末)下面四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序．
a．运动员推出去的铅球(铅球的高度与时间的关系)；
b．一辆汽车在平直的公路上匀速运动(汽车行驶路程与时间的关系)；
c．一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加(弹簧的长度与所挂重物的质量的关系)；
d．小明从A地到B地后，停留一段时间，然后按原来的速度原路返回(小明离A地的距离与时间的关系).
正确的顺序是(D)
A．abcd B．abdc C．acbd D．acdb
11．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2 400 m先到终点的人原地休息．已知甲先出发4 min，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(单位：m)与甲出发的时间t(单位：min)之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60 m/min；②乙走完全程用了36 min；③乙用16 min追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有360米．其中正确的结论有(B)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x.
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②(填序号).
13．某地海拔高度h(单位：km)与此高度处气温t(单位：℃)之间有下面的关系．
海拔高度h/km 0 1 2 3
气温t/℃ 20 14 8 2
(1)随着海拔高度的升高，气温下降(填“升高”或“下降”)，因此自变量是海拔高度；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并画出这些点所在的直线；
(3)求气温t关于海拔高度h的函数解析式；
(4)若该地某处的气温为－4，求该处的海拔高度．
(1)下降　海拔高度
(2)描点，连线，画图如下：
(3)由表格，可知海拔每上升1 km，气温下降6 ℃，∴y＝20－6h；
(4)令y＝20－6h＝－4，解得h＝4，∴该处的海拔高度是4千米．
14．(应用意识)“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的书店，买到书后继续去学校．下图是他本次所用的时间t与离家距离y之间的对应关系，根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小明家到学校的路程是多少米？
(2)小明在书店停留了多少时间？
(3)本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少时间？
(4)我们认为骑单车的速度超过 300 m/min 就超越了安全限度．问：在整个上学的途中，哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？
(1)由纵坐标看出，小明家到学校的路程是1 500 m.
(2)由横坐标，看出12－8＝4，小明在书店停留了 4 min.
(3)一共行驶的总路程＝1 200＋(1 200－600)＋(1 500－600)＝1 200＋600＋900＝2 700(m)，一共用了14 min.
(4)由图象，可知0～6分时，平均速度＝＝200(m/min)；
6～8分时，平均速度＝＝300(m/min)；
12～14分时，平均速度＝＝450(m/min).
所以12～14分时速度最快，不在安全限度内．

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