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22．1　函数的概念
1．常量和变量
一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量.
2．函数的定义
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
3．函数值的概念
如果当x＝a时y＝b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值．
考点　求自变量的取值范围
【典例】写出下列函数中自变量x的取值范围：
(1)y＝2x－3；(2)y＝；
(3)y＝；(4)y＝.
解析：(1)因为关系式是整式，所以字母的取值没有限制，为全体实数；(2)因为关系式是分式，所以分母1－x≠0，解得x≠1；(3)因为关系式是二次根式，所以被开方数4－x≥0，解得x≤4；(4)因为关系式是含有二次根式的分式，所以本小题既要考虑二次根式的被开方数为非负数，同时又要考虑分母不为零，所以x－1≥0且x－2≠0，解得x≥1且x≠2.
解：(1)全体实数；(2)x≠1；(3)x≤4；(4)x≥1且x≠2.
解答此类问题时，一般根据“有分母的要满足分母不能为0，有二次根式的要满足被开方数为非负数”列出不等式(组)，通过解不等式(组)求出取值范围.
【变式训练】
　函数y＝的自变量x的取值范围是x≥－1且x≠7.
知识点1?　变量与函数
1．(海南屯昌县期末)在圆的周长C＝2πR中，常量与变量分别是(B)
A．2是常量，C，π，R是变量
B．2π是常量，C，R是变量
C．C，2是常量，R是变量
D．2是常量，C，R是变量
2．在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行s(单位：m)，一般地有经验公式s＝，其中v表示刹车前汽车的速度(单位：km/h).在这个公式中函数是(B)
A．300 B．S C．v D．s与v
知识点2?　函数的意义及函数值
3．下列说法中正确的是(C)
A．变量x，y满足y2＝x，那么y是x的函数
B．函数S＝πr2中，S是π的函数
C．关系式s＝60t中，s是t的函数，t是自变量
D．某人的身高与年龄是函数关系
4．下列四个选项中，y不是x的函数的是(D)
A．y＝2x－7 B．y＝ C．y＝x2 D．y＝±
5．(海南海口期中)按下图所示的程序，当x＝3时，函数值y＝2．
知识点3?　函数的解析式及自变量的取值范围
6．(江苏常州中考)某城市市区人口为x万人，市区绿地面积为50万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x的函数解析式为(C)
A．y＝x＋50 B．y＝50x C．y＝ D．y＝
易错易混点　不能正确辨别常量与变量
7．如图，把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起，木条AC自由转动至AC′位置．在转动过程中，下面的量是常量的为(D)
A．∠BAC的度数 B．BC的长度
C．△ABC的面积 D．AC的长度
8．一根蜡烛原长12厘米，点燃t分钟后，剩余蜡烛的长为n厘米，则在这个变化过程中，下列判断正确的是(C)
A．t是常量 B．12是变量 C．t是变量 D．n是常量
9．(海南海口期中)已知函数y＝＋，则自变量x的取值范围是(B)
A．x＞1 B．x≥1且x≠2 C．x≥1 D．x≠2
10．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5.则输入x的值为3时，输出的y的值为(A)
A．－6 B．6 C．－3 D．3
11．(山东东营月考)观察下列图形及表格：
梯形个数n 1 2 3 4 5 6 …
周长l 5 8 11 14 17 20 …
则周长l与梯形个数n之间的解析式为l＝3n＋2．
12．一辆汽车油箱内有56 L汽油．从某地出发，平均每行驶1 km，耗油0.07 L．设油箱内剩油量为y(L)，行驶路程为x(km)，且y随x的变化而变化．
(1)直接写出y与x的解析式；
(2)这辆汽车行驶350 km时，剩油多少升？
(3)汽车剩油14 L时，行驶了多少千米？
(1)根据题意，得y＝56－0.07x，∴y与x的解析式为y＝56－0.07x；
(2)当x＝350时，y＝56－0.07×350＝31.5，
∴这辆汽车行驶350 km时，剩油31.5 L；
(3)当y＝14时，得56－0.07x＝14，解得x＝600，
∴汽车剩油14 L时，行驶了600 km.
13.(广东佛山禅城区期末)实验人员为了解某型号汽车耗油量，在公路上做了试验，并将试验数据记录下来，制成表：
汽车行驶时间t/h 0 1 2 3 4 …
油箱剩余油量Q/L 50 44 38 32 26 …
(1)根据上表数据，汽车出发时油箱共有油50L，当汽车行驶5 h，油箱的剩余油量是20L；
(2)油箱剩余油量Q与汽车行驶时间t之间的解析式是Q＝50－6t；
(3)当剩余油量为2 L时，汽车将自动提示加油，请问行驶几小时汽车将会自动提示加油？
(1)∵当t＝0时，Q＝50，∴汽车出发时油箱共有油50 L.
∵表格中数据显示，汽车行驶时间每增加1 h，油箱剩余油量就会减少6 L，∴当t＝5时，Q＝26－6＝20.
(2)根据表格中数据，汽车行驶时间每增加1 h，油箱剩余油量就会减少6 L，∴油箱剩余油量Q与汽车行驶时间t之间的解析式是Q＝50－6t.
(3)当Q＝2 L时，有2＝50－6t，解得t＝8，
∴行驶8小时汽车将会自动提示加油．
【母题P95练习T2】梯形的上底长为2 cm，高为3 cm，下底长x(单位：cm)大于上底长但不超过5 cm，写出梯形面积S(单位：cm2)关于x的函数解析式，并指出自变量的取值范围．
由梯形的面积公式，可得S＝(x＋2)×3÷2，
即S＝x＋3，由下底大于上底但不超过5 cm，得2【变式】已知一个圆柱的底面半径是3 cm，当圆柱的高h(单位：cm)变化时，圆柱的体积V(单位：cm3)也随之变化．
(1)在这个变化过程中，写出圆柱的体积V与高h的关系式(结果保留π)；
(2)当圆柱的高由3 cm变化到6 cm时，圆柱的体积V增大多少(结果保留π)
(1)V＝π·32·h＝9πh；
(2)当h＝3 cm时，V＝27π cm3；当h＝6 cm时，V＝54π cm3；
54π－27π＝27π(cm3)，
所以圆柱的体积V增大27π cm3．
14．(创新意识)(海南定安县期末)如图，已知线段AB的长为4 cm，C是线段AB上一动点(点C不与A，B两点重合)，分别以AC，BC为边，在AB同侧作正方形．设线段AC的长为变量x(单位：cm)，两正方形的面积和为变量S(单位：cm2)，其中0＜x＜4.
(1)两正方形的面积和S与线段AC的长x之间的关系式为S＝2x2－8x＋16；
(2)根据(1)中的关系式完成下表，并分析S随x变化的规律(写出一个结论即可).变化规律为：当2＜x＜4时，S随x的增大而增大．(答案不唯一)．
AC的长 x/cm … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …
两正方形 的面积和 S/cm2 … 12.5 10 ___ 8 8.5 ___ 12.5 …
(1)∵设线段AC的长为变量x cm，
线段AB的长为4 cm，∴BC＝(4－x)cm，
∴两正方形的面积和S与线段AC的长x之间的关系式为S＝x2＋(4－x)2＝x2＋x2－8x＋16＝2x2－8x＋16，
故答案为S＝2x2－8x＋16；
(2)当x＝1.5时，S＝2×1.52－8×1.5＋16＝8.5，
当x＝3时，S＝2×32－8×3＋16＝10，
完成表格如下，
AC的长 x/cm … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …
两正方形 的面积和 S/cm2 … 12.5 10 8.5 8 8.5 10 12.5 …
∴S随x变化的变化规律为：当2＜x＜4时，S随x的增大而增大．(答案不唯一)22．1　函数的概念
1．常量和变量
一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终 的量为 ，数值 的量为 .
2．函数的定义
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 的值与其对应，那么我们就说x是 ，y是x的 ．
3．函数值的概念
如果当x＝a时y＝b，那么b叫作当自变量的值为a时的 ．
考点　求自变量的取值范围
【典例】写出下列函数中自变量x的取值范围：
(1)y＝2x－3；(2)y＝；
(3)y＝；(4)y＝.
解答此类问题时，一般根据“有分母的要满足分母不能为0，有二次根式的要满足被开方数为非负数”列出不等式(组)，通过解不等式(组)求出取值范围.
【变式训练】
　函数y＝的自变量x的取值范围是 .
知识点1?　变量与函数
1．(海南屯昌县期末)在圆的周长C＝2πR中，常量与变量分别是( )
A．2是常量，C，π，R是变量
B．2π是常量，C，R是变量
C．C，2是常量，R是变量
D．2是常量，C，R是变量
2．在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行s(单位：m)，一般地有经验公式s＝，其中v表示刹车前汽车的速度(单位：km/h).在这个公式中函数是( )
A．300 B．S C．v D．s与v
知识点2?　函数的意义及函数值
3．下列说法中正确的是( )
A．变量x，y满足y2＝x，那么y是x的函数
B．函数S＝πr2中，S是π的函数
C．关系式s＝60t中，s是t的函数，t是自变量
D．某人的身高与年龄是函数关系
4．下列四个选项中，y不是x的函数的是( )
A．y＝2x－7 B．y＝ C．y＝x2 D．y＝±
5．(海南海口期中)按下图所示的程序，当x＝3时，函数值y＝ ．
知识点3?　函数的解析式及自变量的取值范围
6．(江苏常州中考)某城市市区人口为x万人，市区绿地面积为50万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x的函数解析式为( )
A．y＝x＋50 B．y＝50x C．y＝ D．y＝
易错易混点　不能正确辨别常量与变量
7．如图，把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起，木条AC自由转动至AC′位置．在转动过程中，下面的量是常量的为( )
A．∠BAC的度数 B．BC的长度
C．△ABC的面积 D．AC的长度
8．一根蜡烛原长12厘米，点燃t分钟后，剩余蜡烛的长为n厘米，则在这个变化过程中，下列判断正确的是( )
A．t是常量 B．12是变量 C．t是变量 D．n是常量
9．(海南海口期中)已知函数y＝＋，则自变量x的取值范围是( )
A．x＞1 B．x≥1且x≠2 C．x≥1 D．x≠2
10．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5.则输入x的值为3时，输出的y的值为( )
A．－6 B．6 C．－3 D．3
11．(山东东营月考)观察下列图形及表格：
梯形个数n 1 2 3 4 5 6 …
周长l 5 8 11 14 17 20 …
则周长l与梯形个数n之间的解析式为 ．
12．一辆汽车油箱内有56 L汽油．从某地出发，平均每行驶1 km，耗油0.07 L．设油箱内剩油量为y(L)，行驶路程为x(km)，且y随x的变化而变化．
(1)直接写出y与x的解析式；
(2)这辆汽车行驶350 km时，剩油多少升？
(3)汽车剩油14 L时，行驶了多少千米？
13.(广东佛山禅城区期末)实验人员为了解某型号汽车耗油量，在公路上做了试验，并将试验数据记录下来，制成表：
汽车行驶时间t/h 0 1 2 3 4 …
油箱剩余油量Q/L 50 44 38 32 26 …
(1)根据上表数据，汽车出发时油箱共有油 L，当汽车行驶5 h，油箱的剩余油量是 L；
(2)油箱剩余油量Q与汽车行驶时间t之间的解析式是 ；
(3)当剩余油量为2 L时，汽车将自动提示加油，请问行驶几小时汽车将会自动提示加油？
【母题P95练习T2】梯形的上底长为2 cm，高为3 cm，下底长x(单位：cm)大于上底长但不超过5 cm，写出梯形面积S(单位：cm2)关于x的函数解析式，并指出自变量的取值范围．
【变式】已知一个圆柱的底面半径是3 cm，当圆柱的高h(单位：cm)变化时，圆柱的体积V(单位：cm3)也随之变化．
(1)在这个变化过程中，写出圆柱的体积V与高h的关系式(结果保留π)；
(2)当圆柱的高由3 cm变化到6 cm时，圆柱的体积V增大多少(结果保留π)
14．(创新意识)(海南定安县期末)如图，已知线段AB的长为4 cm，C是线段AB上一动点(点C不与A，B两点重合)，分别以AC，BC为边，在AB同侧作正方形．设线段AC的长为变量x(单位：cm)，两正方形的面积和为变量S(单位：cm2)，其中0＜x＜4.
(1)两正方形的面积和S与线段AC的长x之间的关系式为 ；
(2)根据(1)中的关系式完成下表，并分析S随x变化的规律(写出一个结论即可).变化规律为： ．
AC的长 x/cm … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …
两正方形 的面积和 S/cm2 … 12.5 10 ___ 8 8.5 ___ 12.5 …

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