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21．3.3　正方形
1．正方形的定义
(1)有一个角是直角的菱形；
(2)有一组邻边相等的矩形．
2．正方形的性质
正方形是轴对称图形，正方形的性质包括两方面：
(1)正方形具备菱形和矩形的所有性质；
(2)自己独有的特殊性质：
①四条边都相等且四个角都是直角．
②正方形的两条对角线相等、互相垂直且互相平分．
3．正方形的判定
正方形没有明确的判定定理，但是判定方法很多，主要根据定义：
(1)一组邻边相等的矩形是正方形．
(2)一个角是直角的菱形是正方形．
(3)只要对角线同时满足三个条件：①相等，②互相垂直，③互相平分，就可以判定为正方形．
考点1?　正方形的性质的应用
【典例1】如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB，ED.
(1)求证：△BEC≌△DEC；
(2)延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，求∠AFE的度数．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA.
在△BEC和△DEC中，∵
∴△BEC≌△DEC(SAS)；
(2)解：∵△BEC≌△DEC，
∴∠DEC＝∠BEC＝∠DEB＝70°，
∴∠AEF＝∠BEC＝70°.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，
∴∠DAC＝∠DAB＝45°，
∴∠AFE＝180°－70°－45°＝65°，
∴∠AFE的度数是65°.
解答正方形与角有关的问题时，注意运用正方形的对角线把正方形的内角分成两个45°角；同时，利用正方形的特性(含45°角)往往也是打开解题思路的“金钥匙”．
【变式训练】
1．(江苏徐州模拟)如图，点E，F在正方形ABCD的边AD上，点G，H分别在边AB，CD上，且AE＝BG，连接HE，FG交于点Q，且HE⊥FG.求证：HE＝FG.
在正方形ABCD中，AD＝AB，∠A＝∠D＝90°，
∴∠HED＋∠EHD＝90°.
∵HE⊥FG，即∠EQF＝90°，∴∠HED＋∠AFG＝90°，
∴∠EHD＝∠AFG.
∵AE＝BG，∴AD－AE＝AB－BG，
即DE＝AG，∴△HDE≌△FAG(AAS)，∴HE＝FG.
考点2?　正方形的判定与特殊四边形的综合运用
【典例2】(海南海口秀英区校级期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C，D分别作BD，AC的平行线，两线相交于点P.
(1)求证：四边形CODP是菱形；
(2)当矩形ABCD的边AD，DC满足什么关系时，菱形CODP是正方形？并证明．
(1)证明：∵DP∥AC，CP∥BD，∴四边形CODP是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，
∴OD＝OC，∴四边形CODP是菱形；
(2)解：当矩形ABCD的边AD＝DC时，菱形CODP是正方形，
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO.
又∵AD＝DC，∴DO⊥AC，∴∠DOC＝90°，∴菱形CODP是正方形．
解题的关键是熟记各种几何图形的性质，并结合已知条件选择合适的判定方法，最终寻找且确定判定正方形所需的条件．
【变式训练】
2．(海南昌江县校级期末)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
(1)∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB；
(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.
∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．
∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝45°，
∴∠MPD＝∠ADB，∴PM＝MD，∴矩形MPND是正方形．
知识点1　正方形的性质
1．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是(C)
A．4 B．2 C．1 D．
2．(海南定安县期末)如图，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB＝AE，则∠EBC的度数是(B)
A.20° B．22.5°
C．30° D．45°
知识点2?　正方形的判定
3．(河北邢台沙河市期末)已知一个四边形的四条边都相等，为使该四边形是正方形，甲、乙二人分别添加了一个条件，下列判断正确的是(C)
甲：四边形的四个角均相等；
乙：四边形的对角线相等．
A．只有甲对 B．只有乙对
C．甲和乙都对 D．甲和乙都不对
4．下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形是正方形的是(B)
5．(海南海口期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：四边形CFDE是正方形．
∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠DEC＝∠DFC＝90°，∴四边形CFDE是矩形．
又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∴四边形CFDE是正方形．
易错易混点　对正方形的判定掌握不熟练
6．八年级的数学学习中，有如下问题：如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP.请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
嘉嘉说：添加AC⊥BD；
淇淇说：添加AC＝BD；
请判断以下结论正确的是(C)
A．嘉嘉说得对
B．淇淇说得对
C．嘉嘉和淇淇合在一起才对
D．无法判断
7．(海南海口期末)如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠OBC＝∠OCB，要使 ABCD为正方形还需增加一个条件．在条件①AB＝BC；②AC⊥BD；③AC＝BD；④∠ABC＝90°中正确的是(A)
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
8．如图，正方形ABCD的边长为2，P为对角线BD上动点，过P作 PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为(A)
A．2 B．4 C． D．1
连接PC，如图所示，
∵四边形ABCD为正方形，且边长为2，
∴BC＝2，∠BCD＝∠ABC＝90°，∠BCD＝45°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴四边形PECF是矩形，∴EF＝PC，
要求EF的最小值，只需求出PC的最小值即可，
∵点P在BD上，根据“垂线段最短”可知：当PC⊥BD时，PC为最短，当PC⊥BD时，由于∠BCD＝45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，即PB＝PC，在Rt△PBC中，PB＝PC，BC＝2，由勾股定理，得PB2＋PC2＝BC2，
∴2PC2＝(2)2，∴PC＝2(舍去负值)，即PC的最小值为2，
∴EF的最小值为2.
9．如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，点G，H在边BD上，且AE＝CF，BG＝DH，关于四边形EGFH，下列说法正确的个数是(C)
①四边形EGFH一定是平行四边形且有无数个；②四边形EGFH可以是矩形且有无数个；③四边形EGFH可以是菱形且有无数个；④四边形EGFH可以是正方形且有无数个.
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝4，则GH的长度为．
连接CH并延长交AD于点P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4.
∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE＝CF＝×4＝2.
∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，
∵H是DF的中点，∴DH＝FH，
在△PDH和△CFH中，∴△PDH≌△CFH(AAS)，
∴PD＝CF＝2，∴AP＝AD－PD＝2，∴PE＝＝2，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴GH＝PE＝×2＝.
【母题P76例5】求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
求证：△AOB，△BOC，△COD，△DOA是全等的等腰直角三角形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°，AO＝BO＝CO＝DO，
∴△AOB，△BOC，△COD，△DOA都是等腰直角三角形，并且△AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA.
【变式】(陕西渭南大荔县二模)如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接ED，DF，以及BE，BF.求证：四边形BEDF为菱形．
如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OD，OA＝OC.
∵AE＝CF，∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∴平行四边形BEDF是菱形．
11．(推理能力)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，AE，BF相交于点P，且AE＝BF.
　
(1)如图1，判断AE和BF的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，FM⊥DN，DN⊥AE，当点F在线段CD上运动时(点F不与点C，D重合)，四边形FMNP能否成为正方形？请说明理由．
(1)AE⊥BF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°.
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF(HL)，
∴∠BAE＝∠CBF.
∵∠BAE＋∠BEA＝90°，
∴∠CBF＋∠BEA＝90°，
∴∠BPE＝90°，即AE⊥BF；
(2)四边形FMNP不能成为正方形，理由如下：
由(1)，知AE⊥BF，∴∠APF＝90°.
∵FM⊥DN，DN⊥AE，∴∠FMN＝∠MNP＝90°，
∴四边形FMNP是矩形．
∵∠BAP＋∠NAD＝∠NAD＋∠ADN＝90°，
∴∠BAP＝∠ADN.
在△BAP和△ADN中，
∴△BAP≌△ADN(AAS)，∴BP＝AN，AP＝DN.
∵AE＝BF，∴AE－AN＝BF－BP，即EN＝PF.
当点F在线段CD上运动时，点F不与点C，D重合，
∴点P，E不重合，∴PN≠PF，
∴四边形FMNP不能成为正方形．21．3.3　正方形
1．正方形的定义
(1)有一个角是直角的 ；
(2)有一组邻边相等的 ．
2．正方形的性质
正方形是轴对称图形，正方形的性质包括两方面：
(1)正方形具备菱形和矩形的所有性质；
(2)自己独有的特殊性质：
①四条边都相等且四个角都是直角．
②正方形的两条对角线相等、互相垂直且互相平分．
3．正方形的判定
正方形没有明确的判定定理，但是判定方法很多，主要根据定义：
(1)一组邻边相等的矩形是正方形．
(2)一个角是直角的菱形是正方形．
(3)只要对角线同时满足三个条件：①相等，②互相垂直，③互相平分，就可以判定为正方形．
考点1?　正方形的性质的应用
【典例1】如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB，ED.
(1)求证：△BEC≌△DEC；
(2)延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，求∠AFE的度数．
解答正方形与角有关的问题时，注意运用正方形的对角线把正方形的内角分成两个45°角；同时，利用正方形的特性(含45°角)往往也是打开解题思路的“金钥匙”．
【变式训练】
1．(江苏徐州模拟)如图，点E，F在正方形ABCD的边AD上，点G，H分别在边AB，CD上，且AE＝BG，连接HE，FG交于点Q，且HE⊥FG.求证：HE＝FG.
考点2?　正方形的判定与特殊四边形的综合运用
【典例2】(海南海口秀英区校级期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C，D分别作BD，AC的平行线，两线相交于点P.
(1)求证：四边形CODP是菱形；
(2)当矩形ABCD的边AD，DC满足什么关系时，菱形CODP是正方形？并证明．
解题的关键是熟记各种几何图形的性质，并结合已知条件选择合适的判定方法，最终寻找且确定判定正方形所需的条件．
【变式训练】
2．(海南昌江县校级期末)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
知识点1　正方形的性质
1．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是( )
A．4 B．2 C．1 D．
2．(海南定安县期末)如图，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB＝AE，则∠EBC的度数是( )
A.20° B．22.5°
C．30° D．45°
知识点2?　正方形的判定
3．(河北邢台沙河市期末)已知一个四边形的四条边都相等，为使该四边形是正方形，甲、乙二人分别添加了一个条件，下列判断正确的是( )
甲：四边形的四个角均相等；
乙：四边形的对角线相等．
A．只有甲对 B．只有乙对
C．甲和乙都对 D．甲和乙都不对
4．下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形是正方形的是( )
5．(海南海口期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：四边形CFDE是正方形．
易错易混点　对正方形的判定掌握不熟练
6．八年级的数学学习中，有如下问题：如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP.请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
嘉嘉说：添加AC⊥BD；
淇淇说：添加AC＝BD；
请判断以下结论正确的是( )
A．嘉嘉说得对
B．淇淇说得对
C．嘉嘉和淇淇合在一起才对
D．无法判断
7．(海南海口期末)如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠OBC＝∠OCB，要使 ABCD为正方形还需增加一个条件．在条件①AB＝BC；②AC⊥BD；③AC＝BD；④∠ABC＝90°中正确的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
8．如图，正方形ABCD的边长为2，P为对角线BD上动点，过P作 PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为( )
A．2 B．4 C． D．1
9．如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，点G，H在边BD上，且AE＝CF，BG＝DH，关于四边形EGFH，下列说法正确的个数是( )
①四边形EGFH一定是平行四边形且有无数个；②四边形EGFH可以是矩形且有无数个；③四边形EGFH可以是菱形且有无数个；④四边形EGFH可以是正方形且有无数个.
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝4，则GH的长度为 ．
【母题P76例5】求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
【变式】(陕西渭南大荔县二模)如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接ED，DF，以及BE，BF.求证：四边形BEDF为菱形．
11．(推理能力)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，AE，BF相交于点P，且AE＝BF.
　
(1)如图1，判断AE和BF的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，FM⊥DN，DN⊥AE，当点F在线段CD上运动时(点F不与点C，D重合)，四边形FMNP能否成为正方形？请说明理由．

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