资源简介

21．3.2　菱形
第1课时　菱形的定义与性质
1．菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形．
2．菱形的性质
菱形的四条边都相等．
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
考点1?　菱形的性质与勾股定理相结合
【典例1】已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长度分别是6和8，则这个菱形的周长是(A)
A．20 B．14 C．28 D．24
解析：由菱形的对角线互相垂直平分可求得菱形的边长，再由菱形的四边相等即可得出周长．
根据题意，设对角线AC，BD相交于点O，
则由菱形对角线的性质，知
AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，
且AO⊥BO，
∴AB＝＝＝5，
∴菱形的周长＝4AB＝20.
本题主要考查菱形对角线的性质和菱形边的性质，这是对菱形性质的综合运用．
【变式训练】
1．如图，四边形ABCD是边长为 cm的菱形，其中对角线BD的长为2 cm，则菱形ABCD的面积为4cm2.
考点2?　坐标与菱形问题
【典例2】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是(4，1)，点D的坐标是(0，1)，点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是(C)
A.8 B．2
C．4 D．12
解析：设点A(a，0).
∵四边形ABCD是菱形，点B的坐标是(4，1)，点D的坐标是(0，1)，
∴OD＝1，AD＝AB，
∴AD2＝AB2，
即(a－4)2＋(0－1)2＝(a－0)2＋(0－1)2，
∴a＝2，
∴点A(2，0)，
∴AO＝2，
∴AD＝＝＝，
∴菱形ABCD的周长＝4×＝4.
因为菱形的周长为菱形边长的4倍，所以解决此类问题的关键是将坐标转化为相应的线段长，结合菱形的性质求出菱形的边长．
【变式训练】
2．(海南一模)如图，在菱形AOBC中，点C的坐标是(4，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是(A)
A．(2，－1) B．(2，1)
C．(4，－1) D．(1，－2)
知识点1?　菱形的定义
1．在四边形ABCD中，AB綉CD，AD＝CD，则四边形ABCD是菱形．
知识点2　菱形的性质
2．(安徽芜湖期末)如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小(菱形的边长不变).当∠BCD＝52°时，则∠BAC的度数为(A)
A．26° B．27° C．28° D．29°
3．如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，当四边形ECDF为菱形时，则a的值为(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是(D)
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝16，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，则OE的长为(A)
A.6 B．5
C.4 D．3
6．(海南东方期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E.
(1)AB＝5；
(2)求菱形ABCD的面积；
(3)求BE的长．
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，
∴AB＝＝＝5.
(2)∵对角线AC＝6，BD＝8，
∴菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝×6×8＝24；
(3)∵AE⊥BC，∴S菱形ABCD＝CB·AE＝24，
∴AE＝，∴BE＝＝＝.
知识点3?　菱形的面积
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F分别是AD，CD边的中点，连接EF，若EF＝3，OB＝4，则菱形ABCD的面积是(A)
A．24 B．20 C．12 D．6
8．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为(C)
A．48 B．24 C．12 D．6
易错易混点　不能正确利用菱形的性质
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.
(1)若∠BAD＝60°，则∠ADC＝60°，△BAD是等边三角形(按边分类)；
(2)如图，点E是BD上一点，则AE与CE有怎样的数量关系？并证明．
(2)AE＝CE，证明如下：
∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴AE＝CE.
10．如图，两个完全相同的菱形如图所示叠放在一起，若重叠部分是正八边形，则∠1的度数为(C)
A.60° B．55°
C．45° D．30°
11．(海南中考)如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是(D)
A．1 B．1－
C．0 D．3－2
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1.连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为(D)
A． B．13 C． D．
如图，取OE中点H，连接GH.
由题意，可得OA＝AC＝×8＝4，OB＝BD＝×12＝6，AC⊥BD，
∴∠BOA＝90°.
∵AE＝2，∴OE＝OA－AE＝4－2＝2，∴OH＝OE＝×2＝1.
∵点G为BE的中点，点H为OE的中点，
∴GH＝OB＝×6＝3，GH∥OB，
∴∠GHE＝∠BOA＝90°.
∵OF＝1，
∴HF＝OH＋OF＝1＋1＝2，
在Rt△GHF中，FG2＝GH2＋HF2＝32＋22＝13，
∴FG＝(负值不符合题意，舍去).
13．(海南海口期末)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点O作OE∥AD，且OE＝AB，连接CE，AE.若AB＝2，∠ABC＝60°，则∠ACE＝90度，AE的长为．
14．如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°，且边EF与直线DC相交于点F.
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求证：AE＝EF.
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝8，AC⊥BD，BD＝2OB.
∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BA＝8，BO＝AB＝4，
∴BD＝8，
∴菱形ABCD的面积＝AC·BD＝×8×8＝32；
(2)连接EC，如图，
∵BD垂直平分AC，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA.
∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，
∴∠EAC＋∠DAC＝∠ECA＋∠DCA，∴∠DCE＝∠DAE.
∵∠AEF＝120°，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD＋∠F＝360°－∠AEF－∠ADC＝180°.
∵∠ECD＋∠ECF＝180°，∴∠F＝∠ECF，∴EF＝EC，∴EF＝AE.
【母题P73例3】如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，AC与BD相交于点O.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位，小路的宽度忽略不计).
∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝×60°＝30°.
在Rt△ABO中，AO＝AB＝×20＝10(m)，
BO＝＝＝10(m)，
∴AC＝2AO＝20(m)，BD＝2BO＝20≈34.64(m)，
S菱形ABCD＝AC·BD＝×20×34.64＝346.4(m2).
答：花坛的两条小路的长分别为20 m，34.64 m；花坛的面积为346.4 m2.
【变式】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝－1，BD＝＋1，请分别求菱形ABCD的面积和周长．
∵AC＝－1，BD＝＋1，
∴面积＝·AC·BD＝×(－1)×(＋1)＝1.
OB⊥OC，OC＝，OB＝，
BC＝＝＝，
∴菱形ABCD的周长为4.
15．(几何直观)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点M，N分别是边BC，CD上的两个动点，∠MAN＝60°，连接MN.
(1)△AMN 是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．
(2)在M，N运动的过程中，四边形CMAN的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由．
(1)△AMN是等边三角形，
证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACD＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN.
在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN(ASA)，∴AM＝AN.
∵∠MAN＝60°，∴△AMN是等边三角形；
(2)四边形CMAN的面积不发生变化．理由如下：
∵△BAM≌△CAN，∴S△BAM＝S△CAN，
∴四边形CMAN的面积＝S△ACD＝×2×＝，
∴四边形CMAN的面积不发生变化．
第2课时　菱形的判定
菱形的判定
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
四条边都相等的四边形是菱形．
考点1?　等腰三角形的性质与菱形判断的综合
【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，点E，F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE，CF.
求证：四边形BFCE是菱形．
证明：∵D是BC边的中点，∴BD＝CD.
∵CE∥BF，∴∠DBF＝∠DCE.
在△BDF和△CDE中，∵
∴△BDF≌△CDE(ASA)，∴CE＝BF，
又∵CE∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形．
∵AB＝AC，D是BC边的中点，∴AD⊥BC.
∴平行四边形BFCE是菱形．
本题利用了等腰三角形的“三线合一”确定了四边形BFCE的对角线互相垂直，所以只要证明四边形BFCE是平行四边形即可，证明四边形BFCE是菱形．
【变式训练】
1．(海南临高县期末)如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC交AC于点O，延长BO至点D，使OD＝BO，连接AD，CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如果AB＝2，∠BAD＝60°，求DE的长．
(1)∵AB＝BC，BO平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AO＝CO.
∵BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；
(2)∵四边形ABCD是菱形，AB＝AD，AD∥BC，∠ABD＝∠DBC＝∠ABC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°.
∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝120°，
∴BD＝AB＝2，∠DBC＝60°.
∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠E＝30°，∴BE＝2BD＝4，
∴由勾股定理，得DE＝＝＝2.
考点2?　菱形的性质与判断的综合运用
【典例2】(海南澄迈县期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，且∠ABO＝∠ACE，连接OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
(1)证明：∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°，
∴∠CAE＋∠ACE＝90°.
∵∠ABO＝∠ACE，∴∠ABO＋∠BAO＝90°，
∴∠AOB＝90°，∴AC⊥DB.
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)∵四边形ABCD是菱形，BD＝4，
AB＝2，∠AOB＝90°，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝2，
∴OA＝＝＝6，
∴AC＝2OA＝12.
∵CE⊥AB，OA＝OC，∴OE＝AC＝6.
在证明一个四边形是菱形时，首先应考虑这个四边形是平行四边形，然后回顾菱形的判定方法，并结合已知条件选择合适的判定方法，最终寻找且确定判定菱形所需的条件．利用菱形的性质求线段、角时，注意菱形与其他几何知识的结合．
【变式训练】
2．(海南保亭县期中)如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG＝30°，AE＝2，求EG的长．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.
又∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD(ASA)，∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠G＝∠CEG＝30°.
∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠EAG＝90°，∴EG＝2AE＝4.
知识点1?　有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1．在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对边分别相等，然后乙测量出______，
最后得到结论：地板瓷砖是菱形．则横线处应填(B)
A．两组对边分别平行 B．一组邻边相等
C．两条对角线相等 D．一组邻角相等
2．(海南文昌期中)如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，CD＝CB.
(1)求证：△DAC≌△BAC；
(2)若AB∥CD，求证：四边形ABCD是菱形．
(1)在△ADC与△ABC中，
∴△ADC≌△ABC(SSS)；
(2)∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠ACD.
由(1)知△ADC≌△ABC，∴∠CAB＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.
∵AD＝AB，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
知识点2?　对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3．如图，在 ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出 ABCD是菱形，那么这个条件可以是(C)
A．AB＝CD B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AB⊥BC
4．(海南乐东县期末)下列说法中，正确的是(A)
A．四条边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线相等的平行四边形是菱形
5．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，OA＝4，OB＝3.求证： ABCD是菱形．
∵AB＝5，OA＝4，OB＝3，∴AB2＝25＝16＋9＝OA2＋OB2，∴△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，∴ ABCD是菱形．
易错易混点　不能正确运用菱形的判定方法
6．在小正方形组成的网格图中，四边形ABCD的顶点都在格点上，如图所示．则下列结论错误的是(C)
A．AD∥BC
B．DC∥AB
C．四边形ABCD是菱形
D．将边AD向右平移3格，再向上平移7格就与边BC重合
7．(河北邯郸模拟)如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3.
(1)以点A为圆心，任意长为半径作弧，与∠A的两边分别交于点B，D； (2)分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C； (3)分别连接DC，BC.
则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是(D)
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
8．(海南东方模拟)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且DE＝CD，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG.则下列结论：①OG＝AB；②∠FOG＝30°；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A，B，D，E构成的四边形是菱形．其中正确的个数是(A)
A．4 B．3 C．2 D．1
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OB＝OD，∠BAC＝∠CAD＝∠BAD＝30°，∴∠BAG＝∠EDG.∵CD＝DE，∴AB＝DE.在△ABG和△DEG中，∴△ABG≌△DEG(AAS)，∴AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG＝AB，OG∥AB，∴∠FOG＝∠BAC＝30°，∴①和②正确；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形．∵∠BAD＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∴四边形ABDE是菱形，∴④正确；∵四边形ABDE是菱形，∴S△ABD＝S△BDE＝S菱形ABDE.∵OB＝OD，∴S△BOG＝S△ODG，∴S四边形ODEG＝S四边形ABOG，∴③正确．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD，CB为边作 CDEB，当AD＝时， CDEB为菱形.
10．将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图叠放．
(1)判断四边形AGCH的形状，并说明理由；
(2)求四边形AGCH的面积．
(1)四边形AGCH是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AFCE是矩形，
∴∠B＝∠F＝90°，AD∥BC，AF∥CE，
∴四边形AGCH是平行四边形．
∵S平行四边形AGCH＝GC·AB＝AG·CF，AB＝CF，
∴GC＝AG，∴平行四边形AGCH是菱形；
(2)由①可知，GC＝AG，设GC＝AG＝x，则BG＝8－x，
在Rt△ABG中，AB＝4，由勾股定理，得42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5，∴GC＝5，∴S菱形AGCH＝GC·AB＝5×4＝20.
【母题P75练习T2】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？
由题意，可知两张等宽的纸条是长方形纸条，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
过点A作AN⊥DC交于点M，作AN⊥BC交于点N.
∵两纸条等宽．∴AM＝AN.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABN＝∠ADM.
∵AM⊥DC，AN⊥BC，
∴∠ANB＝∠AMD＝90°.
在△ABN和△ADM中，
∴△ABN≌△ADM(AAS)，
∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．
【变式】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)连接AF，CE.当BD与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？请说明理由．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.
∵∠ADB＋∠ADE＝180°，∠CBD＋∠CBF＝180°，
∴∠ADE＝∠CBF.
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)；
(2)当AC⊥BD时，四边形AFCE是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∴AC⊥BD.
∵△ADE≌△CBF，
∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形．
∵AC⊥BD.∴ AFCE是菱形．
11．(推理能力)(海南儋州期末)△ABC是等边三角形，D是射线BC上的一个动点(点D不与点B，C重合)，△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB，AC于点F，G，连接BE.
　
(1)如图(a)所示，当点D在线段BC上时．四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；
(2)如图(b)所示，当点D在BC的延长线上运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．
(1)四边形BCGE是平行四边形．理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠EAD＝∠BAC＝∠C＝60°.
又∵∠EAB＝∠EAD－∠BAD，∠DAC＝∠BAC－∠BAD，∴∠EAB＝∠DAC，∴△AEB≌△ADC(SAS)，
∴∠ABE＝∠C＝60°.
又∵∠BAC＝∠C＝60°，∴∠ABE＝∠BAC，
∴EB∥GC.
又∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形；
(2)当CD＝CB时，四边形BCGE是菱形．
理由如下：同(1)，可得△AEB≌△ADC，∴BE＝CD，∠ACD＝∠ABE＝120°，∴∠EBC＝120°－60°＝60°，∴∠EBC＝∠ACB，∴BE∥CG，又∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形，又∵四边形BCGE是菱形，∴BE＝CB，∴CD＝CB.即当CD＝CB时，四边形BCGE是菱形．21．3.2　菱形
第1课时　菱形的定义与性质
1．菱形的定义
有一组邻边 的平行四边形叫作菱形．
2．菱形的性质
菱形的四条边都 ．
菱形的两条对角线 ，并且每一条对角线平分一组对角．
考点1?　菱形的性质与勾股定理相结合
【典例1】已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长度分别是6和8，则这个菱形的周长是( )
A．20 B．14 C．28 D．24
本题主要考查菱形对角线的性质和菱形边的性质，这是对菱形性质的综合运用．
【变式训练】
1．如图，四边形ABCD是边长为 cm的菱形，其中对角线BD的长为2 cm，则菱形ABCD的面积为 cm2.
考点2?　坐标与菱形问题
【典例2】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是(4，1)，点D的坐标是(0，1)，点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是( )
A.8 B．2
C．4 D．12
因为菱形的周长为菱形边长的4倍，所以解决此类问题的关键是将坐标转化为相应的线段长，结合菱形的性质求出菱形的边长．
【变式训练】
2．(海南一模)如图，在菱形AOBC中，点C的坐标是(4，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是( )
A．(2，－1) B．(2，1)
C．(4，－1) D．(1，－2)
知识点1?　菱形的定义
1．在四边形ABCD中，AB綉CD，AD＝CD，则四边形ABCD是 ．
知识点2　菱形的性质
2．(安徽芜湖期末)如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小(菱形的边长不变).当∠BCD＝52°时，则∠BAC的度数为( )
A．26° B．27° C．28° D．29°
3．如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，当四边形ECDF为菱形时，则a的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是( )
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝16，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，则OE的长为( )
A.6 B．5
C.4 D．3
6．(海南东方期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E.
(1)AB＝ ；
(2)求菱形ABCD的面积；
(3)求BE的长．
知识点3?　菱形的面积
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F分别是AD，CD边的中点，连接EF，若EF＝3，OB＝4，则菱形ABCD的面积是( )
A．24 B．20 C．12 D．6
8．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为( )
A．48 B．24 C．12 D．6
易错易混点　不能正确利用菱形的性质
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.
(1)若∠BAD＝60°，则∠ADC＝ ，△BAD是 三角形(按边分类)；
(2)如图，点E是BD上一点，则AE与CE有怎样的数量关系？并证明．
10．如图，两个完全相同的菱形如图所示叠放在一起，若重叠部分是正八边形，则∠1的度数为( )
A.60° B．55°
C．45° D．30°
11．(海南中考)如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是( )
A．1 B．1－
C．0 D．3－2
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1.连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为( )
A． B．13 C． D．
13．(海南海口期末)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点O作OE∥AD，且OE＝AB，连接CE，AE.若AB＝2，∠ABC＝60°，则∠ACE＝ 度，AE的长为 ．
14．如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°，且边EF与直线DC相交于点F.
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求证：AE＝EF.
【母题P73例3】如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，AC与BD相交于点O.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位，小路的宽度忽略不计).
【变式】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝－1，BD＝＋1，请分别求菱形ABCD的面积和周长．
15．(几何直观)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点M，N分别是边BC，CD上的两个动点，∠MAN＝60°，连接MN.
(1)△AMN 是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．
(2)在M，N运动的过程中，四边形CMAN的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由．
第2课时　菱形的判定
菱形的判定
对角线 的平行四边形是菱形．
四条边 的四边形是菱形．
考点1?　等腰三角形的性质与菱形判断的综合
【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，点E，F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE，CF.
求证：四边形BFCE是菱形．
本题利用了等腰三角形的“三线合一”确定了四边形BFCE的对角线互相垂直，所以只要证明四边形BFCE是平行四边形即可，证明四边形BFCE是菱形．
【变式训练】
1．(海南临高县期末)如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC交AC于点O，延长BO至点D，使OD＝BO，连接AD，CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如果AB＝2，∠BAD＝60°，求DE的长．
考点2?　菱形的性质与判断的综合运用
【典例2】(海南澄迈县期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，且∠ABO＝∠ACE，连接OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
在证明一个四边形是菱形时，首先应考虑这个四边形是平行四边形，然后回顾菱形的判定方法，并结合已知条件选择合适的判定方法，最终寻找且确定判定菱形所需的条件．利用菱形的性质求线段、角时，注意菱形与其他几何知识的结合．
【变式训练】
2．(海南保亭县期中)如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG＝30°，AE＝2，求EG的长．
知识点1?　有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1．在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对边分别相等，然后乙测量出______，
最后得到结论：地板瓷砖是菱形．则横线处应填( )
A．两组对边分别平行 B．一组邻边相等
C．两条对角线相等 D．一组邻角相等
2．(海南文昌期中)如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，CD＝CB.
(1)求证：△DAC≌△BAC；
(2)若AB∥CD，求证：四边形ABCD是菱形．
知识点2?　对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3．如图，在 ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出 ABCD是菱形，那么这个条件可以是( )
A．AB＝CD B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AB⊥BC
4．(海南乐东县期末)下列说法中，正确的是( )
A．四条边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线相等的平行四边形是菱形
5．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，OA＝4，OB＝3.求证： ABCD是菱形．
易错易混点　不能正确运用菱形的判定方法
6．在小正方形组成的网格图中，四边形ABCD的顶点都在格点上，如图所示．则下列结论错误的是( )
A．AD∥BC
B．DC∥AB
C．四边形ABCD是菱形
D．将边AD向右平移3格，再向上平移7格就与边BC重合
7．(河北邯郸模拟)如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3.
(1)以点A为圆心，任意长为半径作弧，与∠A的两边分别交于点B，D； (2)分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C； (3)分别连接DC，BC.
则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是( )
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
8．(海南东方模拟)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且DE＝CD，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG.则下列结论：①OG＝AB；②∠FOG＝30°；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A，B，D，E构成的四边形是菱形．其中正确的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD，CB为边作 CDEB，当AD＝ 时， CDEB为菱形.
10．将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图叠放．
(1)判断四边形AGCH的形状，并说明理由；
(2)求四边形AGCH的面积．
【母题P75练习T2】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？
【变式】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)连接AF，CE.当BD与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？请说明理由．
11．(推理能力)(海南儋州期末)△ABC是等边三角形，D是射线BC上的一个动点(点D不与点B，C重合)，△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB，AC于点F，G，连接BE.
　
(1)如图(　)所示，当点D在线段BC上时．四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；
(2)如图(　)所示，当点D在BC的延长线上运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．

展开更多......

收起↑