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21．3.1　矩形
第1课时　矩形的定义与性质
1．矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，也称为长方形.
2．矩形的性质
矩形的四个角都是直角．
矩形的对角线相等．
3．直角三角形斜边上中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
考点1?　矩形的性质与全等相结合
【典例1】(海南定安县期末)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BE＝DF，∴OE＝OF.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(SAS)，∴AE＝CF；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OCAC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∠ABC＝90°∴OA＝OB.
∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝6，∴AC＝2OA＝12.
在Rt△ABC中，∵BC＝＝6，
∴矩形ABCD的面积＝AB·BC＝6×6＝36.
由矩形的性质可得矩形的两组对边相等、对角线相等且互相平分和四个角为直角，当解决以矩形为背景的几何问题时，常常借助这些边和直角并结合全等的知识把已知和未知联系起来，使问题得以解决．
【变式训练】
1．(海南文昌月考)如图，在矩形ABCD中，点E，F在边DC上，若∠DAF＝∠CBE，求证：AF＝BE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°.
在△ADF和△BCE中，
∴△ADF≌△BCE(ASA)，∴AF＝BE.
考点2?　直角三角形性质的应用
【典例2】(海南海口月考)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D.
(1)若∠C＝74°，求∠BAD的度数；
(2)E为线段AB的中点，连接DE.求证：DE∥BC.
(1)解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝74°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝37°.
∵AD⊥BD，∴∠BAD＝90°－37°＝53°；
(2)证明：在Rt△ADB中，∵E为线段AB的中点，
∴ED＝EB，∴∠EBD＝∠EDB.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠EDB＝∠CBD，∴DE∥BC.
因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以我们在图形中至少可以找到三条相等的线段，进而可以运用等腰三角形的性质解决问题．在解决线段倍分关系的问题时，我们要充分利用直角三角形的这一性质求解．
【变式训练】
2．(海南模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，AD⊥BC于点D，E为AC边的中点，DE＝5，则AD＝(B)
A．10 B．8 C．6 D．4
知识点1?　矩形的定义
1．(江苏无锡宜兴市月考)如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是(B)
A．∠ABD＝∠CBD
B．∠ABC＝90°
C．AC⊥BD
D．AB＝BC
2．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，且AB⊥BC，则四边形ABCD是矩形．
知识点2　矩形的性质
3．(福建厦门翔安区期中)如图，E是矩形ABCD的对角线AC的延长线上一点，若BE＝AC，∠ACB＝62.5°，则∠E的度数为(A)
A．55° B．65° C．70° D．80°
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝5，O为对角线BD的中点，E是边CD的中点，连接OE，则四边形AOED的周长为20.
5．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED.
(1)判断△BEC的形状，并说明理由；
(2)若AB＝1，∠ABE＝45°，求DE的长．
(1)△BEC是等腰三角形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠BCE＝∠DEC.
∵EC平分∠BED，∴∠BEC＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BE＝BC，∴△BEC是等腰三角形；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝1，BC＝AD.
∵∠ABE＝45°，∴∠AEB＝45°，
∴AE＝AB＝1，∴BE＝，由(1)知BE＝BC＝，
∴AD＝，∴DE＝AD－AE＝－1.
知识点3?　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
6．(海南乐东县月考)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝20°，则∠BDC＝(B)
A．30° B．40° C．45° D．60°
7．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，求CD的长.
∵在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE＝5，
∴DE＝AC＝5，∴AC＝10.
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝6，AC＝10，
则根据勾股定理，得CD＝＝＝8.
易错易混点　对矩形的性质理解不透彻
8．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是(C)
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．对角线BD的长度变大
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
9．如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点．若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为(C)
A．10 B．8＋2
C．8＋2 D．14
10．(海南一模)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为F，则BF的长为2．
　
11．(湖南株洲期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(9，0)，点C的坐标为(0，3)，以OA，OC为边作矩形OABC.动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动，当移动时间为4秒时，AC·EF的值为30．
如图，连接AC，EF.
∵点A的坐标为(9，0)，点C的坐标为(0，3)，以OA，OC为边作矩形OABC，∴OA＝BC＝9，OC＝AB＝3，∠B＝90°，BC∥OA，
∴B(9，3)，AC＝＝＝3.
依题意，得OE＝4×1＝4，BF＝4×1＝4，
∴AE＝9－4＝5，CF＝BC－BF＝9－4＝5，
∴E(4，0)，F(5，3)，
∴EF＝＝，
∴AC·EF＝3×＝30.
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长BD至点E，延长DB至点F，使BF＝DE.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若∠ECA＝90°，∠CEF＝30°，试判断BD与EF之间的数量关系，并说明理由．
(1)∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BF＝DE.∴OF＝OE，∴四边形AFCE是平行四边形；
(2)BD＝EF，
理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD＝AO＝CO.
∵∠ACE＝90°，∠CEF＝30°，∴OC＝OE，∴OD＝OE.
∵OF＝OE，∴OB＝OF，
∴OB＋OD＝F＋E＝(OF＋OE)＝EF.
即BD＝EF.
【母题P69例1】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4.求矩形对角线的长.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分．∴OA＝OB.
又∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形．
∴OA＝AB＝4.∴AC＝BD＝2OA＝8.
【变式】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作BD的平行线交AB的延长线于点E.
(1)求证：AC＝CE；
(2)若∠BOC＝60°，CE＝4，求AB的长．
(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AB∥CD，∴BE∥CD.
∵CE∥BD，∴四边形BECD是平行四边形，
∴CE＝BD，∴AC＝CE.
(2)∵OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，且AC＝BD，
∴OC＝OB.
∵∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OC.
∵AC＝BD＝CE＝4，∴BC＝OC＝AC＝2，
∵∠ABC＝90°，∴AB＝＝＝2，
∴AB的长为2.
13．(推理能力)如图，在平行四边形ABCD中，G，H分别是AD，BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F，连接GE，EH，HF，FG.
(1)求证：四边形GEHF是平行四边形．
(2)若AB＝4，BC＝7，当四边形GEHF是矩形时，BD的长为．
(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠GDB＝∠FBH.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠BFC＝90°.
∵G，H分别是AD，BC的中点，
∴EG＝AD＝DG，FH＝BC＝BH，
∴EG＝FH，∠GED＝∠GDB，∠BFH＝∠FBH，∴∠GED＝∠BFH，∴GE∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形；
(2)由(1)，可知四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE＝DF，AE＝CF.
如图，连接GH.
由题意，得GA∥HB，
GA＝HB，
∴四边形GABH是平行四边形，
∴GH＝AB＝4.
当四边形GEHF是矩形时，EF＝GH＝4.
设BF＝x，则BE＝x－4.
在Rt△AEB中，AE2＝AB2－BE2＝16－(x－4)2.
在Rt△CFB中，CF2＝BC2－BF2＝49－x2.
∵AE＝CF，∴16－(x－4)2＝49－x2，
解得x＝，即BF＝，∴DF＝BE＝BF－EF＝－4＝，
∴BD＝BF＋DF＝＋＝＝.
第2课时　矩形的判定
矩形的判定
对角线相等的平行四边形是矩形．
有三个角是直角的四边形是矩形．
考点　矩形的性质与判定的综合
【典例】(海南澄迈县月考)如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD于点E，CG⊥BD于点F，FG＝CF，连接AG.
(1)求证：四边形AEFG是矩形；
(2)若∠ABD＝30°，AG＝2AE＝6，求BD的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF.
∵AE⊥BD，CG⊥BD，
∴AE∥CG，∠AEB＝∠AEF＝∠CFD＝90°，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF.
∵FG＝CF，∴AE＝FG，
又∵AE∥FG，
∴四边形AEFG是平行四边形．
又∵∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFG是矩形；
(2)解：∵AG＝2AE＝6，∴AE＝3.
由(1)可知，四边形AEFG是矩形，
∴EF＝AG＝6.
∵∠ABD＝30°，AE⊥BD，
∴AB＝2AE＝6，
∴BE＝＝＝3.
由(1)，可知△ABE≌△CDF.
∴BE＝DF＝3，
∴BD＝BE＋EF＋DF＝3＋6＋3＝6＋6.
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式训练】
　(海南万宁模拟)如图，在 ABCD中，过点A，C作AF⊥CD，CE⊥AB，分别交CD，AB的延长线于点F和点E.
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)连接AC，BD交于点O，G是线段AE的中点，若AC＝4，OG＝2，求矩形AECF的周长.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.
∵AF⊥CD，∴AF⊥AB.
∵CE⊥AB，∴AF∥CE.∵CF∥AE.
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AF⊥CF，∴∠F＝90°，∴四边形AECF是矩形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO.
∵G是线段AE的中点，
∴AG＝EG，∴OG是△ACE的中位线，∴CE＝2OG＝4.
∵四边形AECF为矩形，∴CE＝AF＝4，AE＝CF，∠E＝90°.
∵AC＝4，∴AE＝＝＝12，
∴CF＝12.∴矩形AECF的周长为12＋12＋4＋4＝32.
知识点1?　有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点，求证：BO＝AC.
证明：如图，延长BO 至点D，使OD＝BO，连接AD，CD.
……
∴AC＝BD＝2OB，∴BO＝AC.
下面是“……”部分被打乱顺序的证明过程：
①∴四边形ABCD是平行四边形；
②∵∠ABC＝90°；
③∵OA＝OC，OB＝OD；
④∴四边形ABCD是矩形．
则正确的顺序为(A)
A．③①②④ B．③②①④
C．②③①④ D．②①③④
2．(甘肃武威中考)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是∠A＝90°(答案不唯一).
3．如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE.求证：
(1)△ABF≌△DCE；
(2)四边形ABCD是矩形．
(1)∵BE＝CF，BF＝BE＋EF，CE＝CF＋EF，
∴BF＝CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE(SSS)；
(2)∵△ABF≌△DCE，∴∠B＝∠C.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
知识点2?　对角线相等的平行四边形是矩形
4．(海南屯昌县期末)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，添加的条件可以是(B)
A．OB＝5 B．OD＝5
C．AB＝5 D．BC＝8
5．四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝60°，则AB∶AC＝1∶2．
6．现有一个零件，如图①.嘉嘉和琪琪分析零件所标数据后，嘉嘉认为此零件是矩形，琪琪认为此零件不是矩形，你同意谁的说法，借助图②进行说明．
同意嘉嘉的说法．
理由如下：由图可知OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，OA＋OC＝OB＋OD，
即AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
知识点3?　有三个角是直角的四边形是矩形
7．如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是(C)
A．测量一组对边是否平行且相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中的三个角是否都为直角
D．测量对角线是否相等
8．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足.
求证：(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是矩形．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC.
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)；
(2)∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝90°，
∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形．
易错易混点　对矩形的判定掌握不熟练
9． ABCD的四个内角的角平分线两两相交构成四边形EFGH，则四边形EFGH是矩形.
10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3 cm，若要使平行四边形ABCD为矩形，则OB的长度为(B)
A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm
11．(浙江湖州德清县期末)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，要使四边形DBCE成为矩形，可添加一个条件是CD＝BE或∠ADB＝90°或CE⊥DE．(只要写出一个条件即可)
12．在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－1)、点B(2，3)、点C(2，－1)，在平面直角坐标系中找一点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形为矩形，则BD的长为4，点D的坐标为(－2，3)．
13．(海南临高县月考)如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接AF，DE，DF.
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)若AB＝6，BF＝10，DE＝8，求AE的长．
(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵CF＝BE，∴CF＋CE＝BE＋CE，即EF＝BC，∴AD＝EF.
又∵AD∥BC，∴AD∥EF，∴四边形AEFD为平行四边形．
∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD为矩形；
(2)∵四边形AEFD是矩形，
∴AF＝DE＝8.在△ABF中，∵AB＝6，AF＝8，BF＝10，
∴AB2＋AF2＝100，BF2＝100，∴AB2＋AF2＝BF2，
∴△ABF为直角三角形，且∠BAF＝90°.
由三角形的面积公式，得S△ABF＝BF·AE＝AB·AF，
∴AE＝＝＝4.8.
14．(陕西咸阳月考)如图，在矩形ABCD中，连接BD，以BD为对角线作四边形DEBF，∠EBF＝∠EDF＝90°，DF平分∠BDC，DF交BC于点H，∠CBF＝∠BDF.
(1)求证：四边形DEBF是矩形；
(2)延长BF交DC的延长线于点G，若BD＝10，DF＝4，求BC的长．
(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝90°.
∵DF平分∠BDC，∴∠FDB＝∠FDC.
∵∠CBF＝∠BDF，∴∠CBF＝∠FDC.
又∵∠BHF＝∠DHC，
∴∠BFH＝∠DCH＝90°.
又∵∠EBF＝∠EDF＝90°，
∴四边形DEBF是矩形；
(2)在△DFB和△DFG中，
∴△DFB≌△DFG(ASA)，
∴BF＝FG，DG＝BD＝10.
在Rt△BDF中，∵BD＝10，DF＝4，
∴BF＝＝2，∴BG＝2BF＝4.
∵S△BDG＝×DG×BC＝×BG×DF，
即BC×10＝4×4，解得BC＝8.
【母题P71练习T2】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB＝2.求 ABCD的面积.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC，BO＝BD，
∴AC＝2AO，BD＝2BO.
∵△OAB是等边三角形，
∴AO＝BO，∠BAC＝60°，
∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝4.
在Rt△ABC中，由勾股定理，可得BC＝＝＝2，
∴ ABCD的面积是AB·BC＝2×2＝4.
【变式】在学完矩形的判定后，善于钻研的小壮、小刚和小强同学有自己独到的见解：
已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC.
小壮说：若OA＝OB，则四边形ABCD为矩形；
小刚说：若∠ABC＝∠BCD，则四边形ABCD为矩形．
小强说：若∠1＝2∠2，则四边形ABCD为矩形．
请对三人的说法任选其一进行判断并证明.
小壮的说法是正确的(三人的观点都正确，可任选其一判断).理由如下：
证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠2，∠ADB＝∠CBD.
又∵OA＝OC，∴△AOD≌△COB，∴OD＝OB＝BD.
又∵OA＝OC＝AC，∴四边形ABCD为平行四边形．
∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
若选择小刚：
证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠2，∠ADB＝∠CBD.
又∵OA＝OC，∴△AOD≌△COB，∴OD＝OB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵∠ABC＝∠BCD，∴2∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD为矩形；
若选择小强：
证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠2，∠ADB＝∠CBD.
又∵OA＝OC，∴△AOD≌△COB，∴OD＝OB，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵∠1＝∠2＋∠OBD，∠1＝2∠2，∴∠2＝∠OBD，
∴OB＝OC，∴OA＝OD，∴OA＋OC＝OB＋OD，
∴AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形．
15．(推理能力)(吉林长春绿园区校级开学)如图，在△ABC中，点O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝3，CF＝4，则EF的长为5；
(3)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论．
(1)∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE＝∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠FCD＝∠OFC，
∴OE＝OC，OC＝OF，∴OE＝OF；
(2)∵CE平分ACB，CF平分ACD，
∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，
∴∠ECF＝∠ACE＋∠ACF＝(∠ACB＋∠ACD)＝90°，
EF＝＝＝5；
(3)当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
理由如下：∵AO＝CO，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠ECA＋∠ACF＝∠BCD，∴∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．21．3.1　矩形
第1课时　矩形的定义与性质
1．矩形的定义
有一个角是 角的平行四边形叫作矩形，也称为 .
2．矩形的性质
矩形的四个角都是 角．
矩形的对角线 ．
3．直角三角形斜边上中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .
考点1?　矩形的性质与全等相结合
【典例1】(海南定安县期末)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
由矩形的性质可得矩形的两组对边相等、对角线相等且互相平分和四个角为直角，当解决以矩形为背景的几何问题时，常常借助这些边和直角并结合全等的知识把已知和未知联系起来，使问题得以解决．
【变式训练】
1．(海南文昌月考)如图，在矩形ABCD中，点E，F在边DC上，若∠DAF＝∠CBE，求证：AF＝BE.
考点2?　直角三角形性质的应用
【典例2】(海南海口月考)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D.
(1)若∠C＝74°，求∠BAD的度数；
(2)E为线段AB的中点，连接DE.求证：DE∥BC.
因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以我们在图形中至少可以找到三条相等的线段，进而可以运用等腰三角形的性质解决问题．在解决线段倍分关系的问题时，我们要充分利用直角三角形的这一性质求解．
【变式训练】
2．(海南模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，AD⊥BC于点D，E为AC边的中点，DE＝5，则AD＝( )
A．10 B．8 C．6 D．4
知识点1?　矩形的定义
1．(江苏无锡宜兴市月考)如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是( )
A．∠ABD＝∠CBD
B．∠ABC＝90°
C．AC⊥BD
D．AB＝BC
2．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，且AB⊥BC，则四边形ABCD是 ．
知识点2　矩形的性质
3．(福建厦门翔安区期中)如图，E是矩形ABCD的对角线AC的延长线上一点，若BE＝AC，∠ACB＝62.5°，则∠E的度数为( )
A．55° B．65° C．70° D．80°
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝5，O为对角线BD的中点，E是边CD的中点，连接OE，则四边形AOED的周长为 .
5．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED.
(1)判断△BEC的形状，并说明理由；
(2)若AB＝1，∠ABE＝45°，求DE的长．
知识点3?　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
6．(海南乐东县月考)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝20°，则∠BDC＝( )
A．30° B．40° C．45° D．60°
7．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，求CD的长.
易错易混点　对矩形的性质理解不透彻
8．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是( )
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．对角线BD的长度变大
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
9．如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点．若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为( )
A．10 B．8＋2
C．8＋2 D．14
10．(海南一模)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为F，则BF的长为 ．
　
11．(湖南株洲期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(9，0)，点C的坐标为(0，3)，以OA，OC为边作矩形OABC.动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动，当移动时间为4秒时，AC·EF的值为 ．
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长BD至点E，延长DB至点F，使BF＝DE.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若∠ECA＝90°，∠CEF＝30°，试判断BD与EF之间的数量关系，并说明理由．
、
【母题P69例1】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4.求矩形对角线的长.
【变式】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作BD的平行线交AB的延长线于点E.
(1)求证：AC＝CE；
(2)若∠BOC＝60°，CE＝4，求AB的长．
13．(推理能力)如图，在平行四边形ABCD中，G，H分别是AD，BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F，连接GE，EH，HF，FG.
(1)求证：四边形GEHF是平行四边形．
(2)若AB＝4，BC＝7，当四边形GEHF是矩形时，BD的长为 ．
第2课时　矩形的判定
矩形的判定
对角线 的平行四边形是矩形．
有三个角是 角的四边形是矩形．
考点　矩形的性质与判定的综合
【典例】(海南澄迈县月考)如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD于点E，CG⊥BD于点F，FG＝CF，连接AG.
(1)求证：四边形AEFG是矩形；
(2)若∠ABD＝30°，AG＝2AE＝6，求BD的长．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式训练】
　(海南万宁模拟)如图，在 ABCD中，过点A，C作AF⊥CD，CE⊥AB，分别交CD，AB的延长线于点F和点E.
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)连接AC，BD交于点O，G是线段AE的中点，若AC＝4，OG＝2，求矩形AECF的周长.
知识点1?　有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点，求证：BO＝AC.
证明：如图，延长BO 至点D，使OD＝BO，连接AD，CD.
……
∴AC＝BD＝2OB，∴BO＝AC.
下面是“……”部分被打乱顺序的证明过程：
①∴四边形ABCD是平行四边形；
②∵∠ABC＝90°；
③∵OA＝OC，OB＝OD；
④∴四边形ABCD是矩形．
则正确的顺序为( )
A．③①②④ B．③②①④
C．②③①④ D．②①③④
2．(甘肃武威中考)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是 .
3．如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE.求证：
(1)△ABF≌△DCE；
(2)四边形ABCD是矩形．
知识点2?　对角线相等的平行四边形是矩形
4．(海南屯昌县期末)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，添加的条件可以是( )
A．OB＝5 B．OD＝5
C．AB＝5 D．BC＝8
5．四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝60°，则AB∶AC＝ ．
6．现有一个零件，如图①.嘉嘉和琪琪分析零件所标数据后，嘉嘉认为此零件是矩形，琪琪认为此零件不是矩形，你同意谁的说法，借助图②进行说明．
知识点3?　有三个角是直角的四边形是矩形
7．如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是( )
A．测量一组对边是否平行且相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中的三个角是否都为直角
D．测量对角线是否相等
8．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足.
求证：(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是矩形．
易错易混点　对矩形的判定掌握不熟练
9． ABCD的四个内角的角平分线两两相交构成四边形EFGH，则四边形EFGH是 .
10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3 cm，若要使平行四边形ABCD为矩形，则OB的长度为( )
A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm
11．(浙江湖州德清县期末)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，要使四边形DBCE成为矩形，可添加一个条件是 ．(只要写出一个条件即可)
12．在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－1)、点B(2，3)、点C(2，－1)，在平面直角坐标系中找一点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形为矩形，则BD的长为 ，点D的坐标为 ．
13．(海南临高县月考)如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接AF，DE，DF.
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)若AB＝6，BF＝10，DE＝8，求AE的长．
14．(陕西咸阳月考)如图，在矩形ABCD中，连接BD，以BD为对角线作四边形DEBF，∠EBF＝∠EDF＝90°，DF平分∠BDC，DF交BC于点H，∠CBF＝∠BDF.
(1)求证：四边形DEBF是矩形；
(2)延长BF交DC的延长线于点G，若BD＝10，DF＝4，求BC的长．
【母题P71练习T2】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB＝2.求 ABCD的面积.
【变式】在学完矩形的判定后，善于钻研的小壮、小刚和小强同学有自己独到的见解：
已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC.
小壮说：若OA＝OB，则四边形ABCD为矩形；
小刚说：若∠ABC＝∠BCD，则四边形ABCD为矩形．
小强说：若∠1＝2∠2，则四边形ABCD为矩形．
请对三人的说法任选其一进行判断并证明.
15．(推理能力)(吉林长春绿园区校级开学)如图，在△ABC中，点O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝3，CF＝4，则EF的长为 ；
(3)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论．

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