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21．2.3　三角形的中位线
1．三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．
2．中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【典例】如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3.
(1)求证：BN＝DN；
(2)求△ABC的周长．
(1)证明：∵AN平分∠BAC，∴∠1＝∠2.
∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND.
在△ABN和△ADN中，
∴△ABN≌△ADN(ASA).∴BN＝DN.
(2)解：∵△ABN≌△ADN，
∴AD＝AB＝10.
∵BN＝DN，∴N是线段BD的中点，
又∵M是BC边的中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD＝2MN＝6.
故△ABC的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝41.
本题考查了三角形的中位线等于第三边的一半．三角形的中位线定理是得出线段数量关系的重要方法，当所给图形有较“多”边的中点时，可以考虑利用中位线定理.
【变式训练】
　如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，F是BC延长线上的一点，且CF＝BC.试猜想DE与CF有怎样的数量关系，并说明理由．
DE＝CF.
理由如下：∵D，E分别是AB，AC边的中点，
∴DE＝BC.∵CF＝BC，∴DE＝CF.
知识点1?　三角形的中位线定理
1．(海南三亚二模)如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D.若AE＝2，DF＝1，则边BC的长为(B)
A．5 B．6 C．7 D．8
2．(海南中考)如图是跷跷板示意图，支柱OM经过AB的中点O，OM与地面CD垂直于点M，OM＝40 cm，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为80 cm.
3．在周长为600 m的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为300m.
4．(湖南长沙期中)如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO，AB的中点为C(1，n)，D(4，m)，则点B的坐标为(6，0).
知识点2?　三角形的中位线与平行四边形
5．(新疆乌鲁木齐米东区期末)如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是(C)
A．10 B．12 C．14 D．16
6．如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕CB的中点D逆时针旋转180°，点E到点E′位置，则四边形ACE′E的形状是(A)
A．平行四边形 B．菱形
C．长方形 D．正方形
易错易混点　不能正确理解三角形中位线导致出现错误
7.如图，已知四边形ABCD中，点R，P分别是边DC，BC上的点，点E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，下列结论成立的是(C)
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长的变化情况不能确定
8．(海南海口模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是BC，AC边的中点，连接DE.以A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AC，AB边于点M，N；以D为圆心，AM长为半径作弧交DE于点P；以P为圆心，MN长为半径作弧，交前面的弧于点Q；作射线DQ，交AB于点F.则AF的长为(C)
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，BD是△ABC的中线，E，F分别是BD，BC的中点，连接EF，若EF＝2，则AD的长为4．
　　
10．(海南琼海三模)如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，E，F分别是边AD，BC的中点．若CD＝2AB＝4，∠ABC＝2∠C＝60°，则EF的长为.
∵∠ABC＝2∠C＝60°，∴∠C＝30°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∴∠BDC＝120°.
取BD的中点G，连接EG，FG，如图，
∵E，F分别是边AD，BC的中点，
∴EG∥AB，EG＝AB，FG∥CD，FG＝CD，
∴∠EGD＝∠ABD＝30°，∠FGD＝180°－∠BDC＝60°，∴∠EGF＝90°.
∵CD＝2AB＝4，∴AB＝2，FG＝CD＝2，∴EG＝AB＝1，
∴EF＝＝.
11．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线DP与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为1.5．
12．(湖北黄石阳新县期末)如图，在四边形ABCD中，G，H是对角线AC的三等分点，延长DG，DH，分别与AB，BC交于E，F两点，若E，F分别是AB，BC的中点．求证：四边形ABCD是平行四边形．
如图，连接BD交AC于点O，连接BG，BH.
∵E是AB的中点，AG＝GH，
∴EG是△ABH的一条中位线，
∴EG∥BH，即GD∥BH.
同理，可证BG∥DH，
∴四边形BHDG是平行四边形，
∴BO＝OD，GO＝OH.
又∵AG＝HC，∴AG＋GO＝HC＋OH，即AO＝OC.
又∵BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．
【母题P65练习T3】如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC.怎样利用三角形的中位线定理测出A，B两点间的距离？
如图所示，
取AC的中点E，BC的中点F，连接EF，量得BF的长，则A，B两点间的距离为2EF.
理由如下：
∵E，F分别是AC，BC的中点．
∴EF是△ABC的中位线．
∴EF＝AB，∴AB＝2EF.
∴只要量出EF的长度乘2，就是A，B两点间的距离了，根据是三角形中位线性质定理．
【变式】在一个三角形地块中分出一块(阴影部分)种植花草，尺寸如图，则PQ的长度是(B)
A.1 m B．2 m C.3 m D．4 m
13．(逻辑推理)【三角形中位线定理】已知：如图①，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】如图②，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】如图③，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG.
求证：BD＝AC.
【三角形中位线定理】DE∥BC，DE＝BC；
理由：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC；
【应用】连接BD，如图1所示，
图1
∵E；F分别是边AB，AD的中点，∴EF∥BD，BD＝2EF＝4，
∴∠ADB＝∠AFE＝45°.
∵BC＝5，CD＝3，∴BD2＋CD2＝25，BC2＝25.
∴BD2＋CD2＝BC2，∴△BDC是直角三角形且∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝135°；
【拓展】如图2，取DC的中点H，连接MH，NH.
图2
∵M，H分别是AD，DC的中点，∴MH是△ADC的中位线，
∴MH∥AC且MH＝AC(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半)，
同理可得NH∥BD且NH＝BD.
∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠EGF.
∵MH∥AC，NH∥BD，
∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM，
∴∠HMN＝∠HNM，∴MH＝NH，∴BD＝AC.21．2.3　三角形的中位线
1．三角形的中位线：连接三角形 的线段叫作三角形的中位线．
2．中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 ．
【典例】如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3.
(1)求证：BN＝DN；
(2)求△ABC的周长．
本题考查了三角形的中位线等于第三边的一半．三角形的中位线定理是得出线段数量关系的重要方法，当所给图形有较“多”边的中点时，可以考虑利用中位线定理.
【变式训练】
　如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，F是BC延长线上的一点，且CF＝BC.试猜想DE与CF有怎样的数量关系，并说明理由．
知识点1?　三角形的中位线定理
1．(海南三亚二模)如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D.若AE＝2，DF＝1，则边BC的长为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．(海南中考)如图是跷跷板示意图，支柱OM经过AB的中点O，OM与地面CD垂直于点M，OM＝40 cm，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 cm.
3．在周长为600 m的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为 m.
4．(湖南长沙期中)如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO，AB的中点为C(1，n)，D(4，m)，则点B的坐标为 .
知识点2?　三角形的中位线与平行四边形
5．(新疆乌鲁木齐米东区期末)如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是( )
A．10 B．12 C．14 D．16
6．如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕CB的中点D逆时针旋转180°，点E到点E′位置，则四边形ACE′E的形状是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．长方形 D．正方形
易错易混点　不能正确理解三角形中位线导致出现错误
7.如图，已知四边形ABCD中，点R，P分别是边DC，BC上的点，点E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，下列结论成立的是( )
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长的变化情况不能确定
8．(海南海口模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是BC，AC边的中点，连接DE.以A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AC，AB边于点M，N；以D为圆心，AM长为半径作弧交DE于点P；以P为圆心，MN长为半径作弧，交前面的弧于点Q；作射线DQ，交AB于点F.则AF的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，BD是△ABC的中线，E，F分别是BD，BC的中点，连接EF，若EF＝2，则AD的长为 ．
　　
10．(海南琼海三模)如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，E，F分别是边AD，BC的中点．若CD＝2AB＝4，∠ABC＝2∠C＝60°，则EF的长为 .
11．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线DP与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为 ．
12．(湖北黄石阳新县期末)如图，在四边形ABCD中，G，H是对角线AC的三等分点，延长DG，DH，分别与AB，BC交于E，F两点，若E，F分别是AB，BC的中点．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【母题P65练习T3】如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC.怎样利用三角形的中位线定理测出A，B两点间的距离？
【变式】在一个三角形地块中分出一块(阴影部分)种植花草，尺寸如图，则PQ的长度是( )
A.1 m B．2 m C.3 m D．4 m
13．(逻辑推理)【三角形中位线定理】已知：如图①，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】如图②，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】如图③，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG.
求证：BD＝AC.
【拓展】如图2，取DC的中点H，连接MH，NH.
图2

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