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21．2.2　平行四边形的判定
1．利用定义判定一个四边形是平行四边形
两组对边分别 的四边形是平行四边形．
2．平行四边形的判定定理1
两组对边分别 的四边形是平行四边形．
3．平行四边形的判定定理2
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
4．平行四边形的判定定理3
对角线 的四边形是平行四边形．
5．平行四边形的判定定理4
一组对边平行且 的四边形是平行四边形．
考点1?　平行四边形与全等相结合
【典例1】如图，AD是△ABC 的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF.求证：AD＝BF.
用平行四边形的判定定理和性质可解决有关角的相等或互补、线段相等或两直线平行等问题，一般先判定一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质解决有关问题．
【变式训练】
1．(海南琼海月考节选)如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在线段BD上，满足∠EAO＝∠DCO.求证：四边形AECD是平行四边形．
考点2?　与平行四边形有关的作图问题
【典例2】如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分∠DBC，交边CD于点F.
(1)请用尺规作∠ADB的平分线DE，交AB于点E(要求保留作图痕迹，不写作法)；
(2)根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠__ __．(两直线平行，内错角相等)
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴DE∥__ __．(__ __)(填推理的依据)
又∵四边形ABCD是平行四边形．
∴BE∥DF.
∴四边形DEBF为平行四边形(__ __)(填推理的依据)
本题考查基本的尺规作图及平行四边形的性质与判定，解题的关键是掌握用尺规作已知角的平分线，能熟练运用平行线的判定与性质．
【变式训练】
2．(浙江中考)尺规作图问题：
如图1，E是 ABCD边AD上一点(不包含A，D)，连接CE.用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点．
小明：如图2.以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE.
小丽：以A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE.
小明：小丽，你的作法有问题．
小丽：哦……我明白了！
　
(1)证明小明作法中AF∥CE；
(2)指出小丽作法中存在的问题．
知识点1?　两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1．在四边形ABCD中，AD∥BC.要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件( )
A．∠A＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180°
C．∠B＋∠A＝180° D．∠A＋∠D＝180°
2．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是( )
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
3．(吉林四平伊通县期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，E是边BC上一点，且DE＝DC.求证：四边形ABED是平行四边形．
知识点2?　两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4．如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC.可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A．两组对边分别平行
B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分
D．一组对边平行且相等
5．(海南儋州期中)如图，AD⊥AC，BC⊥AC，且AB＝CD，求证：四边形ABCD是平行四边形．
知识点3?　两组对角分别相等的四边形是平行四边形
6．如图，甲、乙二人给出了条件来证明四边形ABCD为平行四边形，下列判断正确的是( )
甲：AB∥CD，AD＝BC；乙：∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶1∶2
A．甲可以，乙不可以 B．甲不可以，乙可以
C．两人都可以 D．两人都不可以
7．在下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．∠A＝∠B＝∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°
D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°
知识点4?　对角线互相平分的四边形是平行四边形
8．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3. ∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，∴①____． 又∠4＝∠5，MA＝MC， ∴△MAD≌△MCB(②____). ∴MD＝MB.∴四边形ABCD是平行四边形．
若以上解答过程正确，①②应分别为( )
A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA
C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA
9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.求证：
(1)OD＝OB.
(2)四边形ABCD是平行四边形．
知识点5?　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
10．(海南三亚期末)依据所标数据，下列一定为平行四边形的是( )
11．(海南定安县期末)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB∥CD，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB＝CD B．AD∥BC
C．OA＝OC D．AD＝BC
易错易混点　不能在网格中准确画出平行四边形
12.在如图的网格中，以格点A，B，C，D，E，F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
13．(河北保定莲池区期末)顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AD∥BC；②AB＝CD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有( )
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
图1
14．(海南海口月考)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，M是BC上一点，且BM＝9 cm，点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3 cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是( )
A． B．3
C．3或 D．或
如图，在 ABCD中，F是CD的中点，延长AB到点E，使BE＝AB，连接BF，CE.
(1)求证：四边形BECF是平行四边形；
(2)若AB＝8，AD＝6，∠A＝60°，求CE的长．
【母题P62练习T2】如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：四边形AFCE是平行四边形.
【变式】(云南德宏州期末)如图，将 DEBF的对角线EF向两端延长，分别至点A和点C，且使AE＝CF，连接AB，BC，CD，AD.求证：四边形ABCD为平行四边形．
16．(推理能力)(海南东方模拟)如图，△ABD，△APE和△BPC均为直线AB同侧的等边三角形，点P在△ABD内．
(1)求证：四边形PEDC为平行四边形；
(2)若在△APB中，AB＝3，PA＝，PB＝2，求四边形PEDC的面积．21．2.2　平行四边形的判定
1．利用定义判定一个四边形是平行四边形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
2．平行四边形的判定定理1
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
3．平行四边形的判定定理2
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
4．平行四边形的判定定理3
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
5．平行四边形的判定定理4
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
考点1?　平行四边形与全等相结合
【典例1】如图，AD是△ABC 的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF.求证：AD＝BF.
证明：∵E是AD的中点，∴AE＝ED.
∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE.
在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC.
∵AD是△ABC 的中线，∴DC＝BD＝AF，
∴四边形ADBF是平行四边形，∴AD＝BF.
用平行四边形的判定定理和性质可解决有关角的相等或互补、线段相等或两直线平行等问题，一般先判定一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质解决有关问题．
【变式训练】
1．(海南琼海月考节选)如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在线段BD上，满足∠EAO＝∠DCO.求证：四边形AECD是平行四边形．
在△AOE和△COD中，
∴△AOE≌△COD(ASA)，∴OD＝OE.
又∵AO＝CO，∴四边形AECD是平行四边形．
考点2?　与平行四边形有关的作图问题
【典例2】如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分∠DBC，交边CD于点F.
(1)请用尺规作∠ADB的平分线DE，交AB于点E(要求保留作图痕迹，不写作法)；
(2)根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠__DBC__．(两直线平行，内错角相等)
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴DE∥__BF__．(__内错角相等，两直线平行__)(填推理的依据)
又∵四边形ABCD是平行四边形．
∴BE∥DF.
∴四边形DEBF为平行四边形(__两组对边分别平行的四边形是平行四边形__)(填推理的依据)
解：(1)作图如下：
DE即为所求；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC.(两直线平行，内错角相等)
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC.
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC.
∴∠EDB＝∠DBF.
∴DE∥BF.(内错角相等，两直线平行)(填推理的依据)
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BE∥DF，
∴四边形DEBF为平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)(填推理的依据).
本题考查基本的尺规作图及平行四边形的性质与判定，解题的关键是掌握用尺规作已知角的平分线，能熟练运用平行线的判定与性质．
【变式训练】
2．(浙江中考)尺规作图问题：
如图1，E是 ABCD边AD上一点(不包含A，D)，连接CE.用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点．
小明：如图2.以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE.
小丽：以A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE.
小明：小丽，你的作法有问题．
小丽：哦……我明白了！
　
(1)证明小明作法中AF∥CE；
(2)指出小丽作法中存在的问题．
(1)根据小明的作法，知CF＝AE.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
即AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥CE；
(2)以A为圆心，EC长为半径画弧，交边BC于点F，此时可能会有两个交点，但只有其中之一符合题意．故小丽的作法有问题．
知识点1?　两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1．在四边形ABCD中，AD∥BC.要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件(D)
A．∠A＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180°
C．∠B＋∠A＝180° D．∠A＋∠D＝180°
2．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是(B)
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
3．(吉林四平伊通县期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，E是边BC上一点，且DE＝DC.求证：四边形ABED是平行四边形．
∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C.
∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC，∴AB∥DE.
∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．
知识点2?　两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4．如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC.可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(B)
A．两组对边分别平行
B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分
D．一组对边平行且相等
5．(海南儋州期中)如图，AD⊥AC，BC⊥AC，且AB＝CD，求证：四边形ABCD是平行四边形．
∵AD⊥AC，BC⊥AC，∴∠CAD＝∠BCA＝90°.
在Rt△CAD与Rt△ACB中，
∴Rt△CAD≌Rt△ACB(HL)，
∴AD＝BC.又∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
知识点3?　两组对角分别相等的四边形是平行四边形
6．如图，甲、乙二人给出了条件来证明四边形ABCD为平行四边形，下列判断正确的是(B)
甲：AB∥CD，AD＝BC；乙：∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶1∶2
A．甲可以，乙不可以 B．甲不可以，乙可以
C．两人都可以 D．两人都不可以
7．在下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(D)
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．∠A＝∠B＝∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°
D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°
知识点4?　对角线互相平分的四边形是平行四边形
8．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3. ∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，∴①____． 又∠4＝∠5，MA＝MC， ∴△MAD≌△MCB(②____). ∴MD＝MB.∴四边形ABCD是平行四边形．
若以上解答过程正确，①②应分别为(D)
A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA
C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA
9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.求证：
(1)OD＝OB.
(2)四边形ABCD是平行四边形．
(1)∵O是AC中点，∴OA＝OC.
∵AE＝CF，∴OE＝OF.
∵DF∥BE，∴∠OEB＝∠OFD，
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF(AAS)，∴OD＝OB；
(2)∵OA＝OC，OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形．
知识点5?　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
10．(海南三亚期末)依据所标数据，下列一定为平行四边形的是(D)
11．(海南定安县期末)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB∥CD，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是(D)
A．AB＝CD B．AD∥BC
C．OA＝OC D．AD＝BC
易错易混点　不能在网格中准确画出平行四边形
12.在如图的网格中，以格点A，B，C，D，E，F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为(B)
A．2 B．3 C．4 D．5
13．(河北保定莲池区期末)顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AD∥BC；②AB＝CD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有(B)
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
当①AD∥BC，④∠B＝∠D时，四边形ABCD为平行四边形．理由如下：
连接AC，如图1所示．∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD.
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(AAS)，∴BC＝DA，
∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；
当①AD∥BC，③∠A＝∠C时，四边形ABCD为平行四边形．理由如下：
连接AC，如图1所示．
图1
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD.
∵∠A＝∠C，∴∠BAD－∠CAD＝∠BCD－∠ACB，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD.
∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；
当③∠A＝∠C，④∠B＝∠D时，四边形ABCD为平行四边形．理由如下：
图2
如图2所示，在四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.
∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴2∠C＋2∠B＝360°，
∴∠C＋∠B＝180°，
∴AB∥CD.同理，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
14．(海南海口月考)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，M是BC上一点，且BM＝9 cm，点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3 cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是(D)
A． B．3
C．3或 D．或
如图，在 ABCD中，F是CD的中点，延长AB到点E，使BE＝AB，连接BF，CE.
(1)求证：四边形BECF是平行四边形；
(2)若AB＝8，AD＝6，∠A＝60°，求CE的长．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD.∵F是CD的中点，∴CF＝CD.
又∵BE＝AB，∴CF＝BE.
∵CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形；
(2)如图，过点C作CH⊥BE于点H.
由题意，可得∠CBE＝∠A＝60°，
CD＝AB＝8，BC＝AD＝6.
在Rt△BCH中，∠BCH＝90°－∠CBE＝90°－60°＝30°，∴BH＝BC＝×6＝3.
由勾股定理，得CH＝＝＝3.
由(1)，可知四边形BECF是平行四边形，
∴BE＝CF＝CD＝×8＝4，则EH＝BE－BH＝4－3＝1.
在Rt△CHE中，根据勾股定理，得
CE＝＝＝2.
【母题P62练习T2】如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：四边形AFCE是平行四边形.
∵AE⊥BD，BD⊥CF，∴AE∥CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBF.
∵AE⊥BD，BD⊥CF，AD＝BC，
∠ADB＝∠CBF，∴△BCF≌△DAE，
∴AE＝CF.
∵AE∥CF，AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．
【变式】(云南德宏州期末)如图，将 DEBF的对角线EF向两端延长，分别至点A和点C，且使AE＝CF，连接AB，BC，CD，AD.求证：四边形ABCD为平行四边形．
如图，设BD交EF于点O.
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴OB＝OD，OE＝OF.
∵AE＝CF，
∴OE＋AE＝OF＋CF，即OA＝OC.
又∵OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
16．(推理能力)(海南东方模拟)如图，△ABD，△APE和△BPC均为直线AB同侧的等边三角形，点P在△ABD内．
(1)求证：四边形PEDC为平行四边形；
(2)若在△APB中，AB＝3，PA＝，PB＝2，求四边形PEDC的面积．
(1)∵△APE，△ABD是等边三角形，
∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°，
∴∠EAP－∠PAD＝∠DAB－∠PAD，
∴∠EAD＝∠PAB，∴△EAD≌△PAB(SAS)，∴DE＝BP，
∵△PBC是等边三角形，∴PC＝PB，
∴DE＝PC，同理PE＝CD，∴四边形PEDC是平行四边形．
(2)如图所示，延长EP交BC于点H.
∵AB＝3，PA＝，PB＝2，
∴PA2＋PB2＝AB2，
∴∠APB＝90°.
又∵△APE，△PBC为等边三角形，
∴AP＝PE＝，PB＝PC＝2，∠APE＝∠BPC＝∠BCP＝60°，∴∠EPC＝150°，∴∠CPH＝30°，
∴∠PHC＝90°，∴CH＝CP＝1.
又∵PE＝，
∴S平行四边形PEDC＝CH×EP＝1×＝.

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