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第七章 相交线与平行线
2 探索直线平行的条件
第1课时 利用同位角判定两直线平行及平行公理
夯基础
1.如图，具有同位角关系的一对角是 ( )
A.∠1和∠2
B.∠1 和∠4
C.∠2 和∠3
D.∠3 和∠4
2.若∠1 与∠2 是同位角,且∠1=60°,则∠2 是 ( )
A.60° B.120°
C.120°或 60° D.不能确定
3.下列说法错误的个数是 ( )
①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行
③直线外一点到这条直线的垂线段，叫作这个点到直线的距离
④同一平面内不相交的两条直线叫作平行线
A.1 个 B.2个 C.3 个 D.4个
4.如图,由∠1=∠2,能得到AB∥CD 的是 ( )
5.如图,在直线 AB 外取一点P，经过点 P 作 AB 的平行线，这种画法的依据是 ( )
A.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B.同位角相等，两直线平行
C.内错角相等，两直线平行
D.两直线平行，同位角相等
6.如图,AB∥CD,过点 E 画EF∥AB,则 EF与CD 的位置关系是 ，理由是
7.如图,∠DAC 是三角形ABC的外角，射线 AE 在∠DAC 的内部，添加一个条件 ,使得 AE∥BC.(写出一种情况即可)
8.学行线之后，李强同学想出了过直线外一点画一条直线的平行线的方法：如图 2，过点 P 作一条与a相交的直线b，如图 3 以 P 为顶点，以b 为角的一边,作∠2=∠1,如图 4 过∠2 的另一条边作直线c，则c∥a，这样做的数学依据是 。
9.如图,已知∠CDA =∠CBA,DE 平分∠CDA,BF 平分∠CBA,且∠1=∠2,说明DE∥BF 的理由.
解:∵DE 平分∠CDA(已知),
同理
又∵∠CDA=∠CBA(已知),
∴∠ =∠ ,
又∵∠1=∠2(已知),
∴∠ =∠ ( ),
∴DE∥BF( ).
10.如图所示,AD 平分∠BAC,EF 平分∠DEC,且∠1=∠2,试说明 DE 与 AB的位置关系.
11.如图,在四边形 ABCD中,射线 CE 交 AD 于点 F,连接 BF,BF⊥CE.
(1)若∠DFC=50°,求∠AFB 的度数;
(2)若∠FBC+∠AFE=90°,判断直线AD 和BC 的位置关系，并说明理由.
练能力
12.在学行线后，小明和小芳分别给出了过直线 AB 外一点 P画这条直线的平行线的方法.
小明的画法：如图a，①过点 P 画一条直线 MN 与直线 AB相交于点Q； ②测得∠BQM=62°;③以 P 为顶点，射线PM 为 一 边,画∠CPM = 62°(点 C在直线 MN 的右侧).直线 CP 即为所求. 小芳的画法：如图b，①过点 P 画直线 PQ⊥AB,垂足为 Q; ②过点 P 画直线 CD⊥PQ,垂足为P(点C,D分别在直线 PQ 的两侧，且点 C 在直线PQ的左侧). 直线 CD 即为所求.
完成下面问题：
(1)在小明的画法中，判定CP∥AB 的依据是 ；
(2)用三角尺或量角器，依画法补全图b；
(3)完成小芳的证明.
证明:∵PQ⊥AB,
∴∠BQP= °( ).
∵CD⊥PQ,
∴∠DPE=90°.
∴∠BQP=∠DPE.
∴CD∥AB( ).
第 1 课时 利用同位角判定两直线平行及平行公理
1. B 2. D 3. C 4. A 5. B
6. EF∥CD 平行于同一直线的两直线互相平行
7.∠DAE=∠B(答案不唯一)
8.同位角相等，两直线平行
9.解:因为 DE 平分∠CDA(已知),
所以 (角平分线的定义).
同理
又因为∠CDA=∠CBA(已知),
所以∠1=∠3,
又因为∠1=∠2(已知),
所以∠2=∠3(等量代换),
所以 DE∥BF(同位角相等，两直线平行)；
故答案为：角平分线的定义；1；3；2；3；等量代换；同位角相等，两直线平行.
10.解:因为 AD 平分∠BAC,EF 平分∠DEC,
所以
因为∠1=∠2,
所以∠BAC=∠DEC,
所以DE∥AB.
11.解:(1)因为 BF⊥CE,
所以∠BFC=90°,
因为∠AFB +∠BFC +∠DFC = 180°,
∠DFC=50°,
所以∠AFB =180°-∠BFC-∠DFC =180°-90°-50°=40°;
(2)AD∥BC,
理由如下，
因为 BF⊥CE,
所以∠BFC=90°,
所以∠FBC+∠BCF=90°,
又因为∠FBC+∠AFE=90°,
所以∠BCF=∠AFE,
所以AD∥BC.
12.解：(1)同位角相等，两直线平行；
(2)图形如图所示：
(3)证明:因为PQ⊥AB,
所以∠BQP=90°(垂直的定义).
因为CD⊥PQ,
所以∠DPE=90°,
所以∠BQP=∠DPE,
所以CD∥AB(同位角相等，两直线平行).
故答案为：90；垂直的定义；同位角相等，两直线平行.
第 2 课时 利用内错角、同旁内角判定两直线平行
1. C 2. A 3.①②③④
4.30°或120°或165°解析:如图1,当AD∥BC时:则∠D=∠BCD=30°,
因为∠ACE+∠ECD=∠ECD+∠BCD=90°,所以∠ACE=∠BCD=30°,
如图2,当AD∥CE 时:∠D=∠DCE=30°,
此时∠ACE=90°+30°=120°,
如图3,当AD∥BE 时:延长BC 交AD于点M,
则∠AMC=∠B=45°,
所以∠ACM=180°-45°-60°=75°,
所以∠ACE=90°+75°=165°,
综上所述:∠ACE=30°或120°或165°.
5.②③④
6.30°或150°解析:如图所示,当ED∥AC 时,∠CAD=∠D=30°;
如图所示,当ED∥AC时,∠E=∠EAC=60°,所以∠CAD=60°+90°=150°.
7.解:(1)证明:因为 OC 平分∠AOF,OD 平分∠BOF,
所以 所以 ∠BOF)=90°, 所以OC⊥OD;
(2)证明:因为∠COD = 90°,所以∠1 +∠BOD=90°,
因为∠D与∠1互余,所以∠1+∠D=90°,所以∠D=∠BOD,所以 ED∥AB.
8.解:(1)因为∠ABE =3∠DCE,∠DCE =24°,
所以∠ABE=72°,
因为∠A=59°,∠D=121°,59°+121°=180°,
所以AB∥CD,所以∠DFE=∠ABE=72°;
(2)CE∥PF,理由如下:
由(1)知,∠DFE=72°,
所以∠BFC=∠DFE=72°,
因为∠BFP=48°,
所以∠PFC=∠BFC-∠BFP=72°-48°=24°,
又因为∠DCE=24°,
所以∠DCE=∠PFC,
所以CE∥PF.
9.解:(1)因为 ON 是法线,
所以∠BON=∠AON,所以∠BOF=∠AOE.
因为∠AOE=65°,所以∠BOF=65°.
因为∠AOB=80°,ON 是法线,
所以∠BON=∠AON=40°,
所以∠BOF=90°-40°=50°.
故答案为:65,50;
(2)设∠AMP =∠NMO =a,∠BNQ =∠MNO=β,
当AM∥BN时,∠AMN+∠BNM=180°,所以180°-2a+180°-2β=180°,所以α+β=90°,
所以△MON 中,∠O = 180°-∠NMO-∠MNO=180°-(α+β)=90°,所以当∠POQ 为90°时,光线 AM∥BN.
10.解:(1)AB∥CD,
理由:如图1,延长BE 交 CD 于 F.
因为∠BED=∠B+∠D,∠BED=∠EFD+∠D,
所以∠B=∠EFD,所以AB∥CD;
(2)∠1=∠2+∠3.
理由如下:如图2,延长 BA 交CE 于F,
因为∠2+∠EFA+∠EAF=180°,
∠1+∠EAF=180°,
所以∠1=∠2+∠EFA,∠1=∠2+∠3,
所以∠3=∠EFA,
所以AB∥CD.
11.解:(1)过点 C 作CG//DF,
所以∠DFE=∠FCG,
因为 BC⊥MN,
所以∠BCF=90°,
所以∠BCG+∠FCG=90°,
所以∠BCG+∠DFE=90°,
因为∠ABC+∠DFE=90°,
所以∠ABC=∠BCG,
所以CG//AB,
所以 DF∥AB;
(2)因为∠ABC=∠ACB,∠DEF=∠DFE,
又因为∠ABC+∠DFE=90°,
所以∠ACB+∠DEF=90°,
因为 BC⊥MN,
所以∠BCM=90°,
所以∠ACB+∠ACE=90°,
所以∠DEF=∠ACE,
所以 DE//AC.

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