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内江六中2025一2026学年（下）高2028届期中考试
数学试卷
考试时间：120分钟
满分：150分
一、单选题（每题5分，共40分）
1.复数(1-i)对应的点所在的象限是()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.若e,e,是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是()
A.e+e和e-e
B.3e-2e和-6e+4e,C.e+3e,和3e+e2
D.e,和e+e
3.某校高中生共有3000人，其中高一年级900人，高二年级600人，高三年级1500人，现采用分层抽样的
方法随机抽取容量为150人的样本，那么高一、高二、高三年级被抽取的人数分别为()
A.45,15,90
B.45,30,75
C.30,30,90
D.60,30,60
4.若向量ā，6满足=1，=2，且a+=2,则向量6在向量ā上的投影向量是()
A.50
1
B.a
c.-2a
已知s2a+)子coxa+m
2,则ana+tan(a+f)=(）
c.
6.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流
芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN,在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB,高约为37m,在地
面上点C处(B,C,N三点共线)测得建物顶部A,鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼
顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为()
15-c-
4530°
C
A.64m
B.74m
C.52m
D.91m
7.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即△
中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
则△
的面积S=
2
(ab)}
a2+b2-c2
已知△
面积为
,且a2+b2-c2=1,则C为()
12
2π
5π
A.
B.
C.
D.
6
3
6
内江六中高一年级，数学试卷，第1页（共4页）
8.向量a,b是互相垂直的单位向量，向量c满足c-a=2,则c-2的取值范围是()
A.「5-1,5+1]
B.[0,4]
c.[1,3]
D.[V5-2,5+2
二、多选题（每题6分，共18分）
9.已知复数z=3-4i(i为虚数单位)，则下列说法正确的是()
A.E=5
B.复数上的虚部为4
5
C.若z对应的向量为OA,1+i对应的向量为OB,则向量AB对应的复数为-2+5i
D.若复数z是关于x的方程x2+px+q=0(p,9∈R)的一个根，则p+9=19
0.函数fC)=Asin(ar+刨A>0,o>0,pk7
的部分图象如图所示，则()
A.0=3
B.点（云0为/C四图象的一个对称中心
6
π7π
C.xe312)
时，f(x)的值域为(-√2,0)
-2
D.若f@)-号则6=品
7
11.在△
中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且3 bcosC+3 ccosB=a2,则下列说法正确的是(
A.若B+C=2A,则△
的外接圆的面积为9π
B若A=景且△
有两解，则b的取值范围为(3,3V2
C.若C=2A,且△
为锐角三角形，则c的取值范围为(3W2,3V5)
D.若A=2C,且sinB=2sinC,O为△
的内心，则△
的面积为3V3-3
4
三、填空题（每题5分，共15分）
12.已知向量=(1，x),向量b=(2,1),若ā与b垂直，则实数x的值为
1B.定义向董5的种所运第6-m0,其中0是向量五6的夹角已知团=5-2非小3
则cos20=
14.已知：①任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosO+isin0)的形式.其中r是复数z的模，0是以x轴
的非负半轴为始边，向量Oz所在射线（射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角，r(cos0+isin0)叫
做复数z=a+bi的三角形式.②e=cosx+isinx被称为欧拉公式，是复数的指数形式.③方程x”=1(n为
正整数)有n个不同的复数根。
(1)设0=-+5i,则o4
；(2)满足方程4=1的复数x的值所组成的集合为
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内江六中高一年级，数学试卷，第2页（共4页）内江六中 2025—2026 学年（下）高 2028 届期中考试数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B C D B A D ACD AB
题号 11
答案 BCD
8．D【详解】已知向量 ， 是互相垂直的单位向量，
设 ， ， ，由 ，则 ，
由 ， ，其几何意义是圆 上的点到点 的距离，
圆心 到 的距离为 ，圆的半径为 2，所以 的取值范围是 ．故选：D
11．BCD【详解】因为 ，所以 ，解得 ；
因为 ， ，所以 ，设 的外接圆的半径为 ，则 ，所以
，所以 的外接圆的面积为 ，A不正确；
由正弦定理可得 ， 有两解等价于 有两个不同值，
所以 ，解得 ，B正确；
因为 ，所以 ，整理得 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，解得 ，所以 ，
所以 c的取值范围为 ，C正确；
因为 ， ，所以 ，
，解得 ，
由于 为锐角，所以 ，即 ；
因为 ，由直角三角形知识可得 ，由等面积法可求内切圆的半径为 ，
所以 ，D正确. 故选：BCD
12. 13． 14． .
14.【详解】（1）依题意， ，
所以 .
（2）设 ，则 ，
因此 ， ，解得 ，
由终边相同的角的意义，取 ，则对应的 依次为 ，
因此对应的 依次为 ，所以所求的集合是 .
答案第 4页，共 4页
故答案为： ； .
15．【详解】（1）由 ，设 ， ，
， ， 或 ．……………………………………………6分
（2） ，
， ，．……………………………………………………………...8分
， ．…………………………………………………………………………10分
设 与 的夹角为 ，则 ． 与 的夹角 的余弦值为 ．……………13分
16解：（1）化简可得 ，
函数 的图象关于直线 对称 ， ，
由 可得 ， ……………………………………………………………………………..…4分
（2）函数 的解析式为 ；
令 ，则
所以函数 的对称中心为 ………………………………………………..…8分
（3） 在 中锐角 满足 ，
， ，………………………………………………………………....9分
又 ， 由余弦定理可得 ……………………………11分
，当且仅当 时，等号成立，………………………………………………….....…13分
面积 ，
面积的最大值为 ．…………………………………………………………………..……..15分
17详解】（1）已知向量 ； ，
则
,所以最小正周期 ，
令 ，可得 ，
所以 的单调递减区间是 .……………………………………………….6分
（2）（ⅰ）将函数 的图象先向左平移 个单位，得 ，
再将横坐标伸长为原来的 2倍，纵坐标不变，得到函数 ；.…………………9分
（ⅱ）当 时， ，
答案第 4页，共 4页
由 有两个解，可得 有两个解，
根据 ，由正弦函数图象可得 ，得 .…………….…15分
18.【详解】（1）由 ，可得 ，
化简得 ， ，
，解得 ，即 ..…………………………………..….…4分
（2） 为锐角三角形， ，所以 ，即 ，解得 ……..5分
由正弦定理可知 ，即 ，
所以 ，…….…..8分
由 ，可得 ，则 ，
则 ，则 的周长 的取值范围为 ...………………………………10分
（3）由 得 ，即 ，
由 ，即 ，解得 ，
所以 ，解得 ，.……………………………………..…13分
可知 ，即 ，
由 ，可得 ，
所以 ，得 ，解得 ...……………………………..…17分
19.（1）由题意可知， 、 的夹角为 ，
由平面向量数量积的定义可得 ，
因为 ，则 ，.………………………………2分
则 ，
所以 ..……………………………………………………………………………..….…………3分
答案第 4页，共 4页
（2）由 ， ，得 ， ，
且 ，
所以 ， ，
则 ，
，
因为 与 的夹角为 ，所以 ，解得 .
又 ， ，所以 ；.……………….……8分
（3）依题意，设 、 （ ， ），且 ， ， ，
因为 为 的中点，则
，
因为 为 中点，同理可得 ，
所以 ，
由题意知 ， ，
则 ，
在 中，依据余弦定理得 ，所以 ，
代入上式得， .………………………………..…11分
在 中，由正弦定理得 ，
设 ，则 ，且 ，
所以 ， ，
，…………………………………………15分
为锐角，且 ，
因为 ，则 ，
故当 时， 取最大值 ，
答案第 4页，共 4页
则 .………………………………………….…17分.
答案第 4页，共 4页

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