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浙江省台州市玉环市2024--2025学年七年级下学期期末数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题有且只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．能由下图平移得到的图形是（　　）
A． B． C． D．
2．多项式中各项的公因式是（　　）
A．2 B． C． D．
3．已知是方程的一个解，则的值（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．某校为定制七、八、九年级男生的校服，要调查这三个年级男生的身高情况．下列做法中，比较合理的是（　　）
A．测量八年级60名男生身高；
B．随机测量该校七、八、九年级各60名男生的身高；
C．查阅有关外地七、八、九年级共180名男生身高的统计资料；
D．测量参加学校男子篮球队、排球队的七、八、九年级共60名学生的身高．
6．把分式分子加10，要使分式的值不变，分母应该加上（　　）
A．5 B．10 C． D．
7．如图，点E在射线BC上，下列条件中能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知，，则的值为（　　）
A．7 B．9 C．10 D．20
9．如图，边长为的大正方形剪去4个边长为的小正方形，做成一个无盖纸盒．若无盖纸盒的底面积与表面积之比为，则根据题意可知，满足的关系式为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．要使分式 有意义， 的取值应满足　 　．
12．将某班40名学生的跳绳次数分成5组，第1至4组的频数分别为5，10，6，9．则第五组的频数是　 　．
13．一个容量为16GB的便携式U盘的内存全部用来储数码照片，若每张照片文件大小为211KB，则这个U盘可以存储这样的数码照片　 　张．（16GB=224KB，用2为底的幂表示结果）
14．如图，已知，．求的度数．完成下面的说理过程：
已知，根据“内错角相等，两直线平行”，得．
又根据　 　，
得
而，所以　 　
15．已知关于，的方程组（，为实数）的解满足，则　 　
16．当分别取时，计算分式的值，并把所有结果相加，其和为　 　．
三、解答题（共8小题，第17~21每题8分，第22、23题10分，第24题12分，共72分）
17．计算或化简：
（1）；
（2）．
18．解方程组或分式方程：
（1）
（2）．
19．先化简，再求值：，其中．
20．照相机成像应用了一个重要原理，即．其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离．表示胶片（像）到镜头的距离．一架照相机已固定，那么就要依靠调整，来使成像清晰．
（1）用焦距的相机，拍摄离镜头的距离的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距离是多少？
（2）当时，求的值．
21．某中学计划组织七年级学生前往5个玉环市景点中的1个开展研学活动，这5个景点为：A．一号公路：B．东沙渔村；C．漩门湾湿地；D．火山茶基地；E．鸡山岛．该中学数学兴趣小组针对七年级学生的意向目的地开展抽样调查，并出具如下调查报告（注：每位被抽样调查的学生选择且只选择1个意向前往的景点）．
（1）求本次被抽样调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“A．一号公路”对应的圆心角度数；
（3）该校七年级学生人数为人，请你估计七年级意向前往“E．鸡山岛”的学生人数．
22．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，小玉同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位随着时间的改变而改变．它的水位可用公式计算．已测得当时，水位；当时，水位．
（1）求，的值；
（2）当水位时，求时间的值．
23．我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，．
（1）因式分解：________；
（2）若，求的值；
（3）若，求，之间满足的数量关系．
24．已知三角板与，，，，将它们按下列要求放置．
（1）如图1，当平分时，求证：；
（2）如图2所示，若，求的度数
（3）如图3，将三角板固定不动，的角平分线交于点，改变另一个三角板的位置，顶点与顶点始终保持重合，旋转三角板，当与平行时，求的度数．（度数不大于）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：根据平移的定义可知，经过平移得到的图形是D，
故答案为：D．
【分析】根据平移的定义：在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，逐一判断即可．
2．【答案】C
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：多项式为，其两项分别为 和，
的系数为1， 的系数为，故公因式的系数部分为1；
含字母的2次幂， 含字母的1次幂，取公共字母的最低次幂为1，即，
∴多项式中各项的公因式是，
故答案为：C．
【分析】根据公因式的定义分析即可.
3．【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入方程，得：，
解得：，
故答案为：B．
【分析】将方程的解代入原方程，列出关于的一元一次方程求解即可．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；完全平方公式及运用；多项式除以单项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、根据多项式除以单项式的运算法则计算得到，A错误；
B、根据完全平方公式展开得到，B错误；
C、根据同底数幂相乘法则得到，C正确；
D、先计算幂的乘方，再根据同底数幂的乘法得到，D错误；
故答案为：C.
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则可判断A；根据完全平方公式可判断B；根据同底数幂的乘法法则可判断C；根据幂的乘方和单项式乘以单项式的运算法则可判断D．
5．【答案】B
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】解：A、仅测量八年级男生，样本不全面，无法反映三个年级的整体情况，A错误；
B、随机测量七、八、九年级各60名男生，每个年级均抽取足够样本且随机，能代表各年级身高特征，B正确；
C、外地学生身高可能与本校存在差异，数据不具备针对性，无法用于定制本校校服，C错误；
D、篮球队、排球队学生身高通常偏高，样本存在偏差，不能代表全体男生，D错误；
故答案为：B．
【分析】根据抽样调查需确保样本具有代表性和广泛性逐一判断即可．
6．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：原分式为，分子加10后变为，即分子变为原来的3倍，根据分式的基本性质，分母也需变为原来的3倍，即，
∴需要加上．
故答案为：D．
【分析】先计算分子扩大的倍数，再根据分式的基本性质，分子和分母同时扩大相同的倍数，分式的值不变，得到新分母计算即可．
7．【答案】B
【知识点】平行线的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：、不能判定，A错误；
、∵，
∴，B正确；
、不能判定，C错误；
、不能判定，D错误；
故答案为：B．
【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可．
8．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故选：D．
【分析】
本题考查了同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则的逆用，熟练掌握法则是解答本题的关键．
根据同底数幂的乘法法则逆用可得：，再根据幂的乘法法则逆用可得：，再把，代入上式计算即可得出答案．
9．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；约分
【解析】【解答】解：由图可得，底面积为，表面积为，根据题意可得：
，
即，
故答案为：B．
【分析】先分别表示出底面积与表面积，再根据比值列出方程求解即可．
10．【答案】A
【知识点】整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由图得
，
，
，
，
，
；
故答案为：A．
【分析】先根据=大正方形的面积减去空白部分的面积求出，根据长方形的面积公式求出，最后根据求解即可．
11．【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：依题可得：
∴x-2≠0.
∴x≠2.
故答案为x≠2.
【分析】根据分式有意义的条件分母不为0即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：第五组的频数：．
故答案为：．
【分析】根据各小组频数之和等于数据总和计算即可．
13．【答案】213
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：∵16GB=224KB，
∴224÷211=213，
故答案为：213．
【分析】根据题意可以列出相应的算式，然后根据同底数幂的除法即可解答本题．
14．【答案】两直线平行、同旁内角互补；
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：已知，根据“内错角相等，两直线平行”，得
又根据两直线平行，同旁内角互补，得，
而，
所以，
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；．
【分析】根据平行线的性质和判定逐一分析即可．
15．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：
得，
解得：，
将代入得，
解得：，
将，代入得：，
整理得，
移项得，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据加减消元法表示出，，再代入计算求解即可．
16．【答案】
【知识点】分式的加减法；探索数与式的规律；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
则，
当时与当时相加所得的代数式的值为，
当时与当时相加所得的代数式的值为，
当时与当时相加所得的代数式的值为，
当时与当时相加所得的代数式的值为，
当时所得的代数式的值为，
当时所求的代数式的值为，
这些分式的值其和等于，
故答案为：
【分析】根据当时，，当时，，可得，再进行分组求和即可．
17．【答案】（1）解：
．
（2）解：
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）先根据乘方、零指数幂和负整数指数幂计算，再进行加减运算即可；
（2）先根据平方差公式和单项式与多项式的乘法法则展开，再合并同类项即可．
（1）．
（2）
18．【答案】（1）解：得：，
解得，
把代入②得：，
∴原方程组的解是；
（2）解：两边同乘得：
解得
检验：把代入，
∴是原分式方程的根．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）先计算求出y，再代入②中求出x即可；
（2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根即可．
（1）解：
得：，
解得，
把代入②得：，
∴原方程组的解是；
（2）解：
两边同乘得：
解得
检验：把代入，
∴是原分式方程的根．
19．【答案】解：
，
把代入，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先因式分解计算除法，再计算减法，最后把代入计算求解即可．
20．【答案】（1）解： ，代入得：
，
即，
∴，
经检验，是分式方程的解且符合实际，
答：拍摄时胶片到镜头的距离是．
（2）解：当时，，
∴，
解得．
【知识点】解分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）先将f的单位转化为m，再将f，u代入得到关于v的分式方程，解方程并检验即可；
（2）将代入原式，再同分求解即可．
（1）解： ，代入得：
，
即，
所以，
经检验，是分式方程的解且符合实际，
答：拍摄时胶片到镜头的距离是．
（2）当时，，
所以，
解得．
21．【答案】（1）解：（人），
即本次被抽样调查的学生人数为人；
则想去．一号公路的人数为：（人），
故可补全的条形统计图如下图所示：
（2）解：“A．一号公路”对应的圆心角度数：，
答：“A．一号公路”对应的圆心角度数为；
（3）解：（人），
答：七年级意向前往“．鸡山岛”的学生人数为人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据抽样调查的学生人数=想去“．漩门湾湿地”的学生人数其所在百分比求解即可；再根据扇形图中一号公路的所占百分比计算想去一号公路的人数，然后补画条形统计图即可；
（2）根据圆心角度数=想去“．一号公路”的人数占比，求解即可；
（3）根据意向前往“E．鸡山岛”的学生人数=七年级学生人数意向前往“．鸡山岛”的学生人数占比，求解即可．
（1）解：（人），
即本次被抽样调查的学生人数为人；
则想去．一号公路的人数为：（人），
故可补全的条形统计图如下图所示：
（2）解：“A．一号公路”对应的圆心角度数：，
答：“A．一号公路”对应的圆心角度数为；
（3）解：（人），
答：七年级意向前往“．鸡山岛”的学生人数为人．
22．【答案】（1）解：由题意可得：，②①得： ，
解得：，
把代入①得：，
所以，
∴，
答：，．
（2）解：当时，，
解得．
答：当水位时，时间为．
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）将数据代入公式得出二元一次方程组求解即可；
（2）将代入到水位公式求解即可．
（1）解：由题意可得：，
②①得： ，
解得：，
把代入①得：，
所以，
∴，
答：，．
（2）解：当时，，
解得．
答：当水位时，时间为．
23．【答案】（1）
（2）解：∵
∴，
即
∴
（3）解：∵，，
解得或．
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】解：（1）；
【分析】（1）根据新定义计算求解即可；
（2）根据新定义计算得到，则，进而因式分解得到，再代入分式中计算求值即可；
（3）先根据新定义计算得到，再化简因式分解即可．
（1）解：；
（2）解：∵
∴，
即
∴
（3）解：∵，
，
解得或．
24．【答案】（1）证明：平分，
，
又，
，
，
，
；
（2）解：过点作，如图所示，
，
，
，
，，
．
；
（3）解：i）当三角尺转到如图1所示位置时，延长，交于点，过点作，
平分，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
ii）当三角尺转到如图2所示位置时，延长交于点，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的度数为或．
【知识点】旋转的性质；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题；平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据角平线的定义得到，进而求出，，最后根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）过点作，先根据两直线平行，同位角相等得到∠ANB，再根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补得到∠MNB，进而根据角的关系计算即可；
（3）根据旋转分为两种情况讨论求解即可．
（1）证明：平分，
，
又，
，
，
，
；
（2）过点作，
，
，
，
，，
．
；
（3）i）当三角尺转到如图1所示位置时，延长，交于点，过点作，
平分，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
ii）当三角尺转到如图2所示位置时，延长交于点，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的度数为或．
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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题有且只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．能由下图平移得到的图形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：根据平移的定义可知，经过平移得到的图形是D，
故答案为：D．
【分析】根据平移的定义：在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，逐一判断即可．
2．多项式中各项的公因式是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：多项式为，其两项分别为 和，
的系数为1， 的系数为，故公因式的系数部分为1；
含字母的2次幂， 含字母的1次幂，取公共字母的最低次幂为1，即，
∴多项式中各项的公因式是，
故答案为：C．
【分析】根据公因式的定义分析即可.
3．已知是方程的一个解，则的值（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入方程，得：，
解得：，
故答案为：B．
【分析】将方程的解代入原方程，列出关于的一元一次方程求解即可．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；完全平方公式及运用；多项式除以单项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、根据多项式除以单项式的运算法则计算得到，A错误；
B、根据完全平方公式展开得到，B错误；
C、根据同底数幂相乘法则得到，C正确；
D、先计算幂的乘方，再根据同底数幂的乘法得到，D错误；
故答案为：C.
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则可判断A；根据完全平方公式可判断B；根据同底数幂的乘法法则可判断C；根据幂的乘方和单项式乘以单项式的运算法则可判断D．
5．某校为定制七、八、九年级男生的校服，要调查这三个年级男生的身高情况．下列做法中，比较合理的是（　　）
A．测量八年级60名男生身高；
B．随机测量该校七、八、九年级各60名男生的身高；
C．查阅有关外地七、八、九年级共180名男生身高的统计资料；
D．测量参加学校男子篮球队、排球队的七、八、九年级共60名学生的身高．
【答案】B
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】解：A、仅测量八年级男生，样本不全面，无法反映三个年级的整体情况，A错误；
B、随机测量七、八、九年级各60名男生，每个年级均抽取足够样本且随机，能代表各年级身高特征，B正确；
C、外地学生身高可能与本校存在差异，数据不具备针对性，无法用于定制本校校服，C错误；
D、篮球队、排球队学生身高通常偏高，样本存在偏差，不能代表全体男生，D错误；
故答案为：B．
【分析】根据抽样调查需确保样本具有代表性和广泛性逐一判断即可．
6．把分式分子加10，要使分式的值不变，分母应该加上（　　）
A．5 B．10 C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：原分式为，分子加10后变为，即分子变为原来的3倍，根据分式的基本性质，分母也需变为原来的3倍，即，
∴需要加上．
故答案为：D．
【分析】先计算分子扩大的倍数，再根据分式的基本性质，分子和分母同时扩大相同的倍数，分式的值不变，得到新分母计算即可．
7．如图，点E在射线BC上，下列条件中能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：、不能判定，A错误；
、∵，
∴，B正确；
、不能判定，C错误；
、不能判定，D错误；
故答案为：B．
【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可．
8．已知，，则的值为（　　）
A．7 B．9 C．10 D．20
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故选：D．
【分析】
本题考查了同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则的逆用，熟练掌握法则是解答本题的关键．
根据同底数幂的乘法法则逆用可得：，再根据幂的乘法法则逆用可得：，再把，代入上式计算即可得出答案．
9．如图，边长为的大正方形剪去4个边长为的小正方形，做成一个无盖纸盒．若无盖纸盒的底面积与表面积之比为，则根据题意可知，满足的关系式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；约分
【解析】【解答】解：由图可得，底面积为，表面积为，根据题意可得：
，
即，
故答案为：B．
【分析】先分别表示出底面积与表面积，再根据比值列出方程求解即可．
10．如图，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由图得
，
，
，
，
，
；
故答案为：A．
【分析】先根据=大正方形的面积减去空白部分的面积求出，根据长方形的面积公式求出，最后根据求解即可．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．要使分式 有意义， 的取值应满足　 　．
【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：依题可得：
∴x-2≠0.
∴x≠2.
故答案为x≠2.
【分析】根据分式有意义的条件分母不为0即可得出答案.
12．将某班40名学生的跳绳次数分成5组，第1至4组的频数分别为5，10，6，9．则第五组的频数是　 　．
【答案】
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：第五组的频数：．
故答案为：．
【分析】根据各小组频数之和等于数据总和计算即可．
13．一个容量为16GB的便携式U盘的内存全部用来储数码照片，若每张照片文件大小为211KB，则这个U盘可以存储这样的数码照片　 　张．（16GB=224KB，用2为底的幂表示结果）
【答案】213
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：∵16GB=224KB，
∴224÷211=213，
故答案为：213．
【分析】根据题意可以列出相应的算式，然后根据同底数幂的除法即可解答本题．
14．如图，已知，．求的度数．完成下面的说理过程：
已知，根据“内错角相等，两直线平行”，得．
又根据　 　，
得
而，所以　 　
【答案】两直线平行、同旁内角互补；
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：已知，根据“内错角相等，两直线平行”，得
又根据两直线平行，同旁内角互补，得，
而，
所以，
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；．
【分析】根据平行线的性质和判定逐一分析即可．
15．已知关于，的方程组（，为实数）的解满足，则　 　
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：
得，
解得：，
将代入得，
解得：，
将，代入得：，
整理得，
移项得，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据加减消元法表示出，，再代入计算求解即可．
16．当分别取时，计算分式的值，并把所有结果相加，其和为　 　．
【答案】
【知识点】分式的加减法；探索数与式的规律；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
则，
当时与当时相加所得的代数式的值为，
当时与当时相加所得的代数式的值为，
当时与当时相加所得的代数式的值为，
当时与当时相加所得的代数式的值为，
当时所得的代数式的值为，
当时所求的代数式的值为，
这些分式的值其和等于，
故答案为：
【分析】根据当时，，当时，，可得，再进行分组求和即可．
三、解答题（共8小题，第17~21每题8分，第22、23题10分，第24题12分，共72分）
17．计算或化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
．
（2）解：
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）先根据乘方、零指数幂和负整数指数幂计算，再进行加减运算即可；
（2）先根据平方差公式和单项式与多项式的乘法法则展开，再合并同类项即可．
（1）．
（2）
18．解方程组或分式方程：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：得：，
解得，
把代入②得：，
∴原方程组的解是；
（2）解：两边同乘得：
解得
检验：把代入，
∴是原分式方程的根．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）先计算求出y，再代入②中求出x即可；
（2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根即可．
（1）解：
得：，
解得，
把代入②得：，
∴原方程组的解是；
（2）解：
两边同乘得：
解得
检验：把代入，
∴是原分式方程的根．
19．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
把代入，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先因式分解计算除法，再计算减法，最后把代入计算求解即可．
20．照相机成像应用了一个重要原理，即．其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离．表示胶片（像）到镜头的距离．一架照相机已固定，那么就要依靠调整，来使成像清晰．
（1）用焦距的相机，拍摄离镜头的距离的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距离是多少？
（2）当时，求的值．
【答案】（1）解： ，代入得：
，
即，
∴，
经检验，是分式方程的解且符合实际，
答：拍摄时胶片到镜头的距离是．
（2）解：当时，，
∴，
解得．
【知识点】解分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）先将f的单位转化为m，再将f，u代入得到关于v的分式方程，解方程并检验即可；
（2）将代入原式，再同分求解即可．
（1）解： ，代入得：
，
即，
所以，
经检验，是分式方程的解且符合实际，
答：拍摄时胶片到镜头的距离是．
（2）当时，，
所以，
解得．
21．某中学计划组织七年级学生前往5个玉环市景点中的1个开展研学活动，这5个景点为：A．一号公路：B．东沙渔村；C．漩门湾湿地；D．火山茶基地；E．鸡山岛．该中学数学兴趣小组针对七年级学生的意向目的地开展抽样调查，并出具如下调查报告（注：每位被抽样调查的学生选择且只选择1个意向前往的景点）．
（1）求本次被抽样调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“A．一号公路”对应的圆心角度数；
（3）该校七年级学生人数为人，请你估计七年级意向前往“E．鸡山岛”的学生人数．
【答案】（1）解：（人），
即本次被抽样调查的学生人数为人；
则想去．一号公路的人数为：（人），
故可补全的条形统计图如下图所示：
（2）解：“A．一号公路”对应的圆心角度数：，
答：“A．一号公路”对应的圆心角度数为；
（3）解：（人），
答：七年级意向前往“．鸡山岛”的学生人数为人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据抽样调查的学生人数=想去“．漩门湾湿地”的学生人数其所在百分比求解即可；再根据扇形图中一号公路的所占百分比计算想去一号公路的人数，然后补画条形统计图即可；
（2）根据圆心角度数=想去“．一号公路”的人数占比，求解即可；
（3）根据意向前往“E．鸡山岛”的学生人数=七年级学生人数意向前往“．鸡山岛”的学生人数占比，求解即可．
（1）解：（人），
即本次被抽样调查的学生人数为人；
则想去．一号公路的人数为：（人），
故可补全的条形统计图如下图所示：
（2）解：“A．一号公路”对应的圆心角度数：，
答：“A．一号公路”对应的圆心角度数为；
（3）解：（人），
答：七年级意向前往“．鸡山岛”的学生人数为人．
22．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，小玉同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位随着时间的改变而改变．它的水位可用公式计算．已测得当时，水位；当时，水位．
（1）求，的值；
（2）当水位时，求时间的值．
【答案】（1）解：由题意可得：，②①得： ，
解得：，
把代入①得：，
所以，
∴，
答：，．
（2）解：当时，，
解得．
答：当水位时，时间为．
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）将数据代入公式得出二元一次方程组求解即可；
（2）将代入到水位公式求解即可．
（1）解：由题意可得：，
②①得： ，
解得：，
把代入①得：，
所以，
∴，
答：，．
（2）解：当时，，
解得．
答：当水位时，时间为．
23．我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，．
（1）因式分解：________；
（2）若，求的值；
（3）若，求，之间满足的数量关系．
【答案】（1）
（2）解：∵
∴，
即
∴
（3）解：∵，，
解得或．
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】解：（1）；
【分析】（1）根据新定义计算求解即可；
（2）根据新定义计算得到，则，进而因式分解得到，再代入分式中计算求值即可；
（3）先根据新定义计算得到，再化简因式分解即可．
（1）解：；
（2）解：∵
∴，
即
∴
（3）解：∵，
，
解得或．
24．已知三角板与，，，，将它们按下列要求放置．
（1）如图1，当平分时，求证：；
（2）如图2所示，若，求的度数
（3）如图3，将三角板固定不动，的角平分线交于点，改变另一个三角板的位置，顶点与顶点始终保持重合，旋转三角板，当与平行时，求的度数．（度数不大于）．
【答案】（1）证明：平分，
，
又，
，
，
，
；
（2）解：过点作，如图所示，
，
，
，
，，
．
；
（3）解：i）当三角尺转到如图1所示位置时，延长，交于点，过点作，
平分，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
ii）当三角尺转到如图2所示位置时，延长交于点，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的度数为或．
【知识点】旋转的性质；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题；平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据角平线的定义得到，进而求出，，最后根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）过点作，先根据两直线平行，同位角相等得到∠ANB，再根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补得到∠MNB，进而根据角的关系计算即可；
（3）根据旋转分为两种情况讨论求解即可．
（1）证明：平分，
，
又，
，
，
，
；
（2）过点作，
，
，
，
，，
．
；
（3）i）当三角尺转到如图1所示位置时，延长，交于点，过点作，
平分，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
ii）当三角尺转到如图2所示位置时，延长交于点，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的度数为或．
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