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塔地一高 2025-2026 学年第二学期 高一数学月考二
高一数学试题
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一 .选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．复数 = 7 2i（ i为虚数单位）的虚部为（ ）
A．2 B． 2 C．2i D． 2i
2．在 ABC中，a，b是角 A， B所对的边， A 45 ， B 60 ，a 2，则
边b的值为（ ）
A． 3 B．2 3 C． 6 D．2 6

3．已知向量a 2,6 ，b 1, ，若a∥b，则 （ ）
1
A． 3 B． 4 C． 5 D．
3
4．如图，矩形O A B C 是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形
OABC的直观图，其中O A 4，O C 2．则平面
四边形OABC的面积为（ ）
A．8 B．16 C．8 2 D．4 2
5．已知a,b,c是不重合的直线， , 是不重合的平面，则以下选项正确的是（ ）
A．若a / /b,b ，则a / / B．若a b,a c,b ,c ,则 a
C．若a ,a ，则 D．若a / / ,b / / ,a ,b ，则 / /
6．早在西周时期，中国就有对勾股定理探讨的实例，数学家商高曾经和周公讨
论过“勾 3股 4弦 5”的问题.“勾 a股b弦 c ”指的是直角三角形的两条直角边长分
别是 a,b，斜边长为 c.如图，已知在长方形 ABCD中，
△ABD满足“勾 3股 4弦 5”，AD 3,P为CD上一点，且

AP DB 0，则向量 AD可用向量 AP，BD表示为（ ）
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9 5
A． AD AP BD B． AD 7 11 AP BD
16 16 20 20

AD 5

C． AP 13 BD AD 16 9 D． AP BD
24 24 25 25
7．将一根足够长的圆柱体木棒，沿着截面重新切割，已知底面圆
的半径为5cm，AC 8cm,BD 12cm，则几何体的体积为（ ）
A． 204π B．250π C．300π D．350π
8．在正三棱柱 ABC A1B1C1中， AB AA1 2，E为 A1B1的
中点，若三棱锥E BCC1的四个顶点均在球O上，过BB1作球O的截面，则
所得截面圆面积的最小值为（ ）
π 2π 1 π 3A． B． C． D． π
2 2
二．多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分）
9．已知复数 z 4i 3（其中 i是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ）
A． 的实部是 4 B. = 5
C． 的共轭复数 = 4i + 3 D． 在复平面上对应点在第二象限
10．已知 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c则（ ）
A．若bcos A acosB，则 ABC为等腰三角形
B．若 a b，则cos A cosB
C．在锐角 ABC中，不等式sin A cosB恒成立
π
D．若B ，a 2 3，且 ABC有两解，则 b的取值范围是3 3,2 3
11．如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB AD 2，AA1 2 2 ，点 P为
线段 AD1上一动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
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A．直线 PB1 //平面BC1D
B．若Q为线段BB1中点，则C1P与CQ垂直
C．三棱锥P BCC 8 21的体积为定值
3
D．平面BC1D截长方体 ABCD A1B1C D
18π
1 1的外接球所得截面面积是 5
三．填空题（本题共 3小题，每题 5 分，共 15 分）
12．已知圆台的上底面和下底面的半径分别为 1，2，母线长为 10 ，则该圆台
的体积为___________．
13.在△ABC中，角 A,B,C的对边分别是a,b,c，已知 a 2,b 6,c 4，则
cosB __________．
14．如图所示，为测量河对岸的塔高 AB，选取了与塔底 B在同一水平面内的
3
两个测量基点C与D，现测得 tan ACB ，CD 50m，
5
BCD 75 ， BDC 60 ，则塔高 AB ________．
四．解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明，
证明过程或者演算步骤）

15．(13 分)已知向量 a 2，3 ，b 3， 2 ．

a b (1)求 ： (2) 求 a与b的夹角大小．
16．（15分）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为正方形，点 P到平
面 ABCD的距离为 2，AD 2，E、F分别是 PB和BD
的中点．
(1)证明：EF / /平面PAD；
(2)求三棱锥 的体积．
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17．（15分）在 ABC中，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，且 a2 c2 3ac b2 .
(1)求角 B；
(2)若 A 105 ,b 2，求边长c和 ABC的面积.
18．（17分）如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，D为 AB

的中点， AA1 AB 4,B1E 3EB .
(1)证明：CD A1E；
(2)证明： A1D 平面CDE；
(3)求直线 A1C与平面CDE所成角的正弦值.
19．（17分）在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知
asinA asinCcosB bsinCcosA bsinB csinA．
(1)求角 B的大小；
(2)若b 2，且 ABC为锐角三角形，求 ABC的周长的取值范围；
(3)若b2 ac，且外接圆半径为 2，圆心为O，P为 O上的一动点，试求
的取值范围．
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