资源简介

(共28张PPT)
第4节　函数性质的综合应用
提升·关键能力
函数的单调性与奇偶性
考点1
[例1] (2026·四川绵阳模拟)已知定义在R上的函数g(x)=ex-e-x+f(x),其中g(x)是奇函数且在R上单调递减,f(log2x)+f(2)>0的解集为　　　　.
解题策略
·
函数奇偶性与单调性的综合应用
(1)解抽象函数不等式.一般利用奇偶性先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),然后利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组).
(2)比较大小.利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小.
[针对训练] 已知函数f(x)=ln(ex+1)+kx(k∈R)是偶函数,则(　　)
A.f(log0.20.3)>f(log20.3)>f(k)
B.f(k)>f(log20.3)>f(log0.20.3)
C.f(log20.3)>f(log0.20.3)>f(k)
D.f(log0.20.3)>f(k)>f(log20.3)
C
函数的奇偶性与周期性
考点2
A
真题精研
·
本题源于人教A版必修第一册P214习题5.4综合运用T15,以基础题托底,通过知识交汇及思维深度设计,实现“小而精”的综合考查.
[真题变式] (2026·河北石家庄模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,
f(x+1)是定义在R上的奇函数,则(　　)
A.f(-x-1)=-f(x+1)
B.f(x)是周期为2的函数
C.f(2 027)=0
C
解题策略
·
综合运用奇偶性与周期性解题的步骤
(1)根据已知条件推得函数的周期.
(2)利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值,直到自变量的值进入已知解析式的区间或与已知的函数值建立关系,必要时可再次利用奇偶性将自变量的符号进行转化.
(3)代入已知的解析式求值.
函数多种性质的综合
考点3
[例3] (多选题)(2026·浙江杭州模拟)已知定义域为R的函数f(x)在(-1,0]上单调递增,f(1+x)=f(1-x),且图象关于点(2,0)对称,则(　 　)
A.f(0)=f(-2)
B.f(x)的周期T=2
C.f(x)在(2,3)上单调递减
D.f(x)满足f(2 025)>f(2 026)>f(2 027)
AC
【解析】 由f(1+x)=f(1-x),可得f(x)图象的对称轴方程为x=1,所以f(0)=f(2).由f(1+x)=
f(1-x),可知f(2+x)=f(-x).因为函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,即f(2+x)=-f(2-x),故f(4+x)=-f(-x).所以-f(2+x)=f(4+x),即-f(x)=f(2+x),所以f(x)=f(x+4),所以f(x)的周期为4,所以f(-2)=f(2),所以f(0)=f(-2),故A正确,B错误.因为f(x)在(-1,0]上单调递增,且周期为4,所以f(x)在(3,4]上单调递增.又f(x)的图象关于点(2,0)对称,所以f(x)在[0,1)上单调递增.因为f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)在(1,2]上单调递减,则函数f(x)在(2,3)上单调递减,故C正确.根据f(x)的周期为4,可得f(2 025)=f(1),f(2 026)=f(2),f(2 027)=f(3).因为f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(2)=f(0)且f(3)=f(-1),即f(2 025)=f(1),f(2 026)=f(0),f(2 027)=f(-1).由C选项的分析可知,函数f(x)在[0,1)上单调递增,在(-1,0]上单调递增,确定的单调区间内均不包含x=±1,若f(-1)=f(1)=0,则f(2 025)>f(2 026)>f(2 027)不成立,故D错误.故选AC.
解题策略
·
函数图象的对称与周期关系常见结论
(1)若函数y=f(x)图象的两条对称轴方程分别为 x=a,x=b,则函数的一个周期为T=2|a-b|.
(2)若函数y=f(x)图象的两个对称中心分别为(a,0),(b,0),则函数的一个周期为T=2|a-b|.
(3)若函数y=f(x)图象的一条对称轴方程为x=a,一个对称中心为点(b,0),则函数的一个周期为T=4|a-b|.
(4)若f(ax+b)为偶函数,则函数图象关于直线x=b对称;若f(ax+b)为奇函数,则函数图象关于点(b,0)对称.
[针对训练] (多选题)已知函数f(x)的定义域为R,函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,且满足f(x+3)=f(1-x),则下列结论正确的是(　 　)
A.函数f(x+1)是奇函数
B.函数f(x)的图象关于y轴对称
C.函数f(x)是周期为2的周期函数
ABD
微点提能3　抽象函数
知识链接
常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:
抽象函数f(x)具有的性质 特殊函数模型
f(x+y)=f(x)+f(y) 正比例函数f(x)=kx(k≠0)
f(xy)=f(x)f(y) 二次函数f(x)=x2
f(x+y)=f(x)f(y)　f(x-y)=f(x)÷f(y) 指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)
题型演绎
题型一　抽象函数求值
[典例1] (多选题)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+
x2f(y),则(　 　)
A.f(0)=0
B.f(1)=0
C.f(x)是偶函数
D.x=0为f(x)的极小值点
ABC
【解析】 因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y),
对于A,令x=y=0,则f(0)=0f(0)+0f(0)=0,故A正确;
对于B,令x=y=1,则f(1)=1f(1)+1f(1),则f(1)=0,故B正确;
对于C,令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),则f(-1)=0,令y=-1,则f(-x)=f(x)+
x2f(-1)=f(x),又函数f(x)的定义域为R,所以f(x)为偶函数,故C正确;
对于D,不妨令f(x)=0,显然符合题设条件,此时f(x)无极值点,故D错误.故选ABC.
B
题型二　抽象函数的性质
[典例2] (2026·广西南宁模拟)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+y)f(x-y)=[f(x)]2-[f(y)]2,且当x>0时,f(x)>0,则(　　)
A.f(0)=1 B.f(x)是偶函数
C.f(x)是增函数 D.f(x)是周期函数
C
【解析】 对于A,令x=y=0,则[f(0)]2=[f(0)]2-[f(0)]2,得f(0)=0,故A错误.对于B,令x=0,y>0,则f(y)f(-y)=[f(0)]2-f[(y)]2,整理可得f(y)[f(-y)+f(y)]=0,故f(y)+f(-y)=0,故f(x)是奇函数,故B错误.对于C,设x2>x1>0,则f(x2)>0,f(x1)>0,x2+x1>0,x2-x1>0,
f(x2+x1)>0,f(x2-x1)>0,且[f(x2)]2-[f(x1)]2=f(x2+x1)f(x2-x1)>0,故[f(x2)]2-[f(x1)]2>
0,则f(x2)>f(x1).又f(0)=0,f(x)是奇函数,故f(x)是增函数,故C正确.对于D,由f(x)是增函数可得f(x)不是周期函数,故D错误.故选C.
[拓展演练] (多选题)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,且f(2)=3,则( 　　)
A.f(1)=1
B.函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增
C.函数f(x)是奇函数
D.函数f(x)的一个解析式为f(x)=2x-1
ABD
【解析】 对于A,因为f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,f(2)=3,
令x=y=1,则f(2)=[f(1)]2+2f(1)=3,解得f(1)=1,A正确.
对于B,任取x1,x2∈(0,+∞),且x2>x1,则f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)f(x2-x1)+f(x1)+
f(x2-x1).因为当x>0时,f(x)>0,所以f(x2-x1)>0,f(x1)>0,所以f(x1)f(x2-x1)+f(x1)+
f(x2-x1)>f(x1),即f(x2)>f(x1),所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,B正确.
对于C,令x=y=0,则f(0)=[f(0)]2+2f(0),解得f(0)=0或f(0)=-1.当f(0)=0,且x>0时,令y=-x,则0=f(x)f(-x)+f(x)+f(-x),若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),即0=-[f(x)]2+
f(x)-f(x),解得f(x)=0,与题意矛盾;当f(0)=-1时,f(x)不为奇函数.综上所述,函数f(x)不是奇函数,C错误.
对于D,当f(x)=2x-1时,f(x+y)=2x+y-1,f(x)f(y)+f(x)+f(y)=(2x-1)(2y-1)+(2x-1)+
(2y-1)=2x+y-2x-2y+1+2x-1+2y-1=2x+y-1,所以f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y),易得f(x)=2x-1在R上单调递增,所以x>0时,f(x)=2x-1>20-1=0,f(2)=22-1=3,f(1)=
21-1=1,故函数f(x)的一个解析式为f(x)=2x-1,D正确.故选ABD.

展开更多......

收起↑