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第二章　
函　数
第1节　函数的概念及其表示
[课程标准要求]
1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单地应用.
夯实·必备知识
知识梳理
1.函数的概念
一般地,设A,B是 ,如果对于集合A中的 一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有 的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.
2.函数的三要素
(1)函数的三要素: 、 和 .
(2)如果两个函数的 相同,并且 完全一致,那么这两个函数是同一个函数.
非空的实数集
任意
唯一确定
定义域
对应关系
值域
定义域
对应关系
释疑
·
(1)集合A,B及其对应关系f:A→B构成的函数中,A即为函数的定义域,函数的值域C不是集合B,而是满足C B.
(2)两个函数的值域和对应关系相同,但两个函数不一定相同,例如,函数f(x)=2x2,x∈[0,2]与函数f(x)=2x2,x∈[-2,0].
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有 、图象法和 .
4.分段函数
函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
解析法
列表法
释疑
·
分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.
重要结论
直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P66例3改编)下列选项中,表示的是同一个函数的是
(　　)
A
B
A.0 B.2 C.-3 D.2或3
【解析】 当a≥0时,f(a)=a2+a=6,解得a=2或a=-3(舍去);当a<0时,f(a)=5a+6=
6,解得a=0(舍去).综上所述a=2.故选B.
4
提升·关键能力
函数的定义域
考点1
A.(1,5)
B.(-∞,1)∪(5,+∞)
C.(-∞,1]∪(5,+∞)
D.(-∞,1]∪[5,+∞)
C
B
A.(1,3) B.(1,2)∪(2,3]
C.[1,2)∪(2,3] D.(1,3]
2
(-∞,-2)
题后悟通
·
1.求给定函数的定义域
由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义.
2.求抽象函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f(g(x))中,由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域.
(2)若f(g(x))的定义域为[m,n],则由m≤x≤n得到g(x)的范围,即为f(x)的定义域.
注意:定义域要用集合或区间表示,如果定义域是多个区间,要用符号“∪”连接.
求函数解析式
考点2
[例1] 求下列函数的解析式:
(1)已知f(1-sin x)=cos2x,求f(x)的解析式;
【解】 (1)(换元法)设1-sin x=t,t∈[0,2],
则sin x=1-t,
因为f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x,
所以f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2].
即f(x)=2x-x2,x∈[0,2].
(3)若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,求f(x)的解析式;
【解】 (3)(待定系数法)设f(x)=ax2+bx+c,a≠0,
由f(0)=1,得c=1,f(x)=ax2+bx+1.
又因为f(x+1)-f(x)=2x,
所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即a(2x+1)+b=2x,
解得a=1,b=-1,所以f(x)=x2-x+1.
(4)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,求f(x)的解析式.
【解】 (4)(解方程组法)因为2f(x)+f(-x)=3x,①
所以将x用-x替换,
得2f(-x)+f(x)=-3x,②
由①②解得f(x)=3x.
解题策略
·
函数解析式的求法
(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.
(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
(3)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),求得f(x)的解析式.
BCD
[针对训练](多选题)(2026·广东江门模拟)下列命题正确的有( 　　)
A.若一次函数f(x)满足f(f(x))=4x+3,则函数f(x)的解析式为f(x)=2x+1
B.若f(3x)=x2+4x,则函数f(x)的定义域为(0,+∞)
分段函数及其应用(多维探究)
考点3
角度1　分段函数求值
D
角度2　分段函数与不等式、方程(变式探究)
D
A.(-∞,-2]∪[e,+∞)　
B.[-2,e]　
C.(-∞,-2]∪[e-1,+∞)
D.[-2,e-1]
D
[变式探究1] 本例(2)中,函数解析式不变,将“f(x)≤1”改为“f(x-1)≤1”,则实数x的取值范围是　　　　.
[-1,e]
【解析】 当x-1≤0,即x≤1时,f(x-1)=-(x-1)-1=-x≤1,解得x≥-1,又x≤1,所以-1≤
x≤1;当x-1>0,即x>1时,f(x-1)=ln(x-1+1)=ln x≤1,解得01,所以1[变式探究2] 本例(2)中,函数解析式不变,将“f(x)≤1”改为“f(f(x))≤1”,则实数x的取值范围是　　　　　　　　.
[-e,ee-1-1]
解题策略
·
(1)根据分段函数的函数值求自变量的值或取值范围时,应根据分段函数各段的定义域分类讨论,结合各段的函数解析式求解,但要注意检验所求的自变量的值(取值范围)是否符合相应段的自变量的取值范围.
(2)求解与分段函数有关的不等式问题,应在定义域的限制之下,结合函数解析式分别解不等式,最后取各不等式的并集.
(3)解决分段函数问题时,可以通过画出函数的图象,对代数问题进行转化,结合图形直观地分析判断,快速准确地解决问题.
1

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