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第3节　函数的奇偶性、周期性
[课程标准要求]
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.结合函数的周期性、最小正周期的含义,判断常用函数的周期性.
夯实·必备知识
知识梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有
-x∈D,且 ,那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 对称
奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有
-x∈D,且 ,那么函数f(x)就叫做奇函数 关于 对称
f(-x)=f(x)
y轴
f(-x)=-f(x)
原点
释疑
·
函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称.
2.函数的周期性
(1)周期函数:设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有 x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数 f(x) 就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的 正周期.
最小
重要结论
1.奇偶性的四个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|).
(3)若函数满足f(x)=0或解析式可化简为f(x)=0(x∈D),其中定义域D是关于原点对称的非空数集,则函数既是奇函数又是偶函数.
(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×
偶=奇.
重要结论
基础自测
1.(多选题)(人教A版必修第一册P84例6改编)给出下列函数,其中是奇函数的为(　 　)
BC
B
A.1 B.-1 C.2 D.-2
3.(人教A版必修第一册P214习题5.4 T15改编)已知函数f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,若f(1)=-1,则f(2 027)=　　　　.
1
【解析】 因为函数f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,
所以f(2 027)=f(506×4+3)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-f(1)=1.
4.(人教A版必修第一册P86习题3.2 T11改编)已知函数f(x)是奇函数且定义域
为R,当x>0时,f(x)=x+1,则f(x)的解析式为　 .
提升·关键能力
函数奇偶性的判断
考点1
B
2.(多选题)若函数f(x),g(x),h(x)的定义域都为R,且f(x)为奇函数,g(x)为偶函
数,则( 　　)
A.f(x2)是偶函数
B.|f(x)|是偶函数
C.g(f(x))是奇函数
D.f(x)h(|x|)是奇函数
ABD
【解析】 函数f(x),g(x),h(x)的定义域都为R,对于A,因为f((-x)2)=f(x2),所以f(x2)是偶函数,故A正确;对于B,因为f(x)为奇函数,所以|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,则|f(x)|是偶函数,故B正确;对于C,因为g(x)为偶函数,所以g(f(-x))=g(-f(x))=
g(f(x)),即g(f(x))是偶函数,故C错误;对于D,因为h(|-x|)=h(|x|),所以h(|x|)为偶函数,又因为f(x)为奇函数,所以f(x)h(|x|)是奇函数,故D正确.故选ABD.
A.f(1)=1 B.f(-1)=1
C.f(x)为偶函数 D.f(x)为奇函数
C
题后悟通
·
判断函数奇偶性的两个必备条件
(1)定义域关于原点对称,否则为非奇非偶函数.
(2)判断f(x)与f(-x)是否满足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式[f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0
(偶函数)]是否成立.
函数奇偶性的应用(多维探究)
考点2
角度1　利用奇偶性求值(解析式)
C
A.-10 B.-8 C.8 D.10
C
解题策略
·
根据函数奇偶性求值(解析式)的步骤
(1)设:要求哪个区间的解析式,x就设在哪个区间.
(2)代:利用已知区间的解析式代入进行推导.
(3)转:根据f(x)的奇偶性,把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x).
角度2　利用奇偶性求参数
B
真题精研
·
本例题源于人教A版必修第一册P161复习参考题4拓广探索T12.主要考查由函数的奇偶性求参数的值,此类问题还可以通过改变函数的奇偶性或解析式来考查.
A.4 B.3 C.2 D.1
D
解题策略
·
根据函数的奇偶性求解析式中参数的方法
利用函数的奇偶性求参数问题,一是根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程(组),进而得出参数的值;二是对于在x=0处有定义的奇函数f(x),可考虑列等式f(0)=0求出参数,再进行检验.
易错点:“f(0)=0”是“函数f(x)为R上的奇函数”的必要条件.
[针对训练]
1.(角度1)已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),则f(2 025)+f(2 027)的值为　　　　.
0
【解析】 由题意得,g(-x)=f(-x-1),因为f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,所以g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x),所以f(x-1)=-g(-x)=-f(-x-1)=
-f(x+1),即f(x-1)+f(x+1)=0.所以f(2 025)+f(2 027)=f(2 026-1)+f(2 026+1)=0.
-2
函数周期性及应用
考点3
[例3] (1)(多选题)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),f(1)=π,则( 　 　)
A.f(11)=π
B.f(8)=π
C.f(99)+f(88)=0
D.2为f(x)的一个周期
ACD
【解析】 (1)对于D,由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),则2为f(x)的一个周期,D正确;对于A,f(11)=f(1)=π,A正确;对于B,f(8)=f(0)=f(2)=-f(1)=-π,B错误;对于C,f(99)+f(88)=f(1)+f(0)=0,C正确.故选ACD.
(2)设奇函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)=f(x-2),当x∈(4,6]时,f(x)=2x+1,则f(x)在区间[-2,0)上的解析式为(　　)
A.f(x)=2x+1　　 B.f(x)=-2-x+4-1
C.f(x)=2-x+4+1 D.f(x)=2-x+1
B
【解析】 (2)因为f(x+2)=f(x-2),所以f(x+4)=f(x),故函数f(x)的周期为4.当x∈(0,2]时,x+4∈(4,6],f(x+4)=2x+4+1.又f(x+4)=f(x),故当x∈(0,2]时,f(x)=
2x+4+1.因为f(x)为R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).当x∈[-2,0)时,-x∈(0,2],
f(-x)=2-x+4+1.所以当x∈[-2,0)时,f(x)=-f(-x)=-2-x+4-1.故选B.
解题策略
·
函数周期性的判定与应用
(1)求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,证明f(x+T)=
f(x)(T≠0),求出函数的周期.
(2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题.
[针对训练] (2026·河南安阳模拟)已知函数f(x)的定义域为N*,且f(3)=-5,
f(17)=3,f(x+1)=f(x)+f(x+2),则f(2 026)等于(　　)
A.5 B.-5 C.2 D.-2
D
【解析】 由题意得f(x+2)=f(x+1)-f(x),用x+1代替x,得f(x+3)=f(x+2)-f(x+1).以上两式相加,得f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函数f(x)是以6为周期的周期函数.因为f(17)=3,所以f(5)=f(17)=3.又因为f(5)=-f(2),所以f(2)=
-3.又因为f(2)=f(1)+f(3),即-3=f(1)-5,解得f(1)=2,所以f(2 026)=f(337×6+4)=
f(4)=-f(1)=-2.故选D.
教考衔接3　函数的对称性
[教材母题] (人教A版必修第一册P87习题3.2拓广探索T13)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.
(1)求函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心;
【解】 (1)因为f(x)=x3-3x2=(x-1)3-3(x-1)-2,所以f(x+1)=x3-3x-2,
即f(x+1)+2=x3-3x.
设g(x)=x3-3x,则g(-x)=(-x)3-3(-x)=-x3+3x=-g(x).所以g(x)为奇函数.
所以f(x)=x3-3x2的图象关于点(1,-2)对称,即f(x)=x3-3x2图象的对称中心是点(1,-2).
(2)类比上述推广结论,写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.
【解】 (2)函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数.
名师解读
·
函数图象的对称性是高中数学的核心内容,也是高考考查函数性质的重要考点,它包括中心对称和轴对称两类,在各类题型均有可能出现,难度中档偏上.
1.中心对称结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=2b,则f(x)图象的一个对称中心为(a,b).
(2)若函数f(x)满足f(2a-x)+f(x)=2b,则f(x)图象的一个对称中心为(a,b).
(3)若函数f(x)满足f(2a+x)+f(-x)=2b,则f(x)图象的一个对称中心为(a,b).
特别地,当b=0,即f(a+x)+f(a-x)=0或f(x)+f(2a-x)=0时,y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.
名师解读
·
2.轴对称性结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则f(x)图象的一条对称轴为直线x=a.
(2)若函数f(x)满足f(2a-x)=f(x),则f(x)图象的一条对称轴为直线x=a.
(3)若函数f(x)满足f(2a+x)=f(-x),则f(x)图象的一条对称轴为直线x=a.
注意:函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.
A
(2)若函数y=g(x)的图象与y=ln x的图象关于直线x=2对称,则g(x)=　　 　.
ln(4-x)
【解析】 (2)在函数y=g(x)的图象上任取一点(x,y),则点(x,y)关于直线x=2对称的点为(4-x,y),且点(4-x,y)在函数y=ln x的图象上,所以y=ln(4-x),即g(x)=ln(4-x).
12

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