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第5节　幂函数与二次函数
[课程标准要求]
夯实·必备知识
知识梳理
1.幂函数
(1)幂函数的定义.
一般地,函数 叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
y=xα
(2)常见的五种幂函数的图象.
(3)幂函数的性质.
①幂函数在(0,+∞)上都有定义.
②当α>0时,幂函数的图象都过点 和 ,且在(0,+∞)上单调递增.
③当α<0时,幂函数的图象都过点 ,且在(0,+∞)上单调递减.
④当α为奇数时,y=xα为 ;当α为偶数时,y=xα为 .
(1,1)
(0,0)
(1,1)
奇函数
偶函数
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式.
一般式:f(x)= ;
顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为 ;
零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的 .
ax2+bx+c(a≠0)
(m,n)
零点
(2)二次函数的图象和性质.
函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
图象(抛物线)
定义域 R
减
增
增
减
基础自测
D
2.(人教B版必修第一册P108练习B T5改编)函数f(x)=-2x2+4x,x∈[-1,2]的值域为　　　　.
[-6,2]
【解析】 函数f(x)=-2x2+4x图象的对称轴为直线x=1,则f(x)在[-1,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,所以f(x)max=f(1)=2,f(x)min=f(-1)=-2-4=-6,即f(x)的值域为[-6,2].
3.(人教A版必修第一册P58复习参考题2 T6改编)已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则实数a的取值范围是　　　　　.
4.(苏教版必修第一册P140例2改编)已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.60.6,则a,b,c的大小关系是　　　　.(用“<”连接)
b【解析】 0.60.6=(0.62)0.3=0.360.3,由幂函数的单调性知0.40.3>0.360.3>0.30.3,即b提升·关键能力
幂函数的图象与性质
考点1
B
2.(2026·湖北武汉模拟)已知幂函数f(x)=(2m+m)xm-2,则下列结论正确的是
(　　)
A.f(x)为奇函数
B.f(x)在其定义域上单调递减
C.f(m+1)>f(2)
D.f(m-1)C
c题后悟通
·
(1)求解与幂函数图象有关的问题,应根据幂函数在第一象限内图象的特征,结合其奇偶性、单调性等性质研究.
(2)比较幂值的大小时,同底数的幂值用指数函数的性质比较;若同指数,可构造幂函数,利用幂函数的性质比较大小;若不同底数、指数,可利用中间变量或作差(作商)法比较.
求二次函数的解析式
考点2
[例1] 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则该二次函数的解析式为　　　　　　　　.
f(x)=-4x2+4x+7
解题策略
·
求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式,一般选择规律如下.
f(x)=x2-4x+3
[针对训练] 已知二次函数f(x)满足f(x)=f(4-x),f(2)=f(1)-1,若不等式f(x)≤-2x+
2有唯一实数解,则函数f(x)的解析式为　 .
【解析】 因为f(x)=f(4-x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称,所以设f(x)=
ax2-4ax+c(a≠0).又f(2)=f(1)-1,所以4a-8a+c=a-4a+c-1,所以a=1,所以f(x)=
x2-4x+c.
因为f(x)≤-2x+2有唯一实数解,所以x2-4x+c≤-2x+2有唯一实数解,即x2-2x+
c-2≤0有唯一实数解,所以方程x2-2x+c-2=0的判别式Δ=(-2)2-4(c-2)=0,所以c=3,所以f(x)=x2-4x+3.
二次函数的图象、性质及其应用(多维探究)
考点3
角度1　二次函数的图象
[例2] (多选题)(2026·湖南长沙模拟)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则
(　 　)
A.b=-2a
B.a+b+c<0
C.a+cD.abc<0
ACD
解题策略
·
识别二次函数图象应学会“三看”
角度2　二次函数的单调性(变式探究)
[例3] (2026·福建龙岩模拟)若二次函数f(x)=x2+(2-a)x+1在区间[-1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　　　.
(-∞,0]
[变式探究] 本例中若将函数“在区间[-1,2]上单调递增”改为“在区间[-1,2]上不单调”,则实数a的取值范围是　　　　　　.
(0,6)
解题策略
·
解决二次函数单调性问题的基本方法
(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同,因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论.
角度3　二次函数的最值
[例4] 已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值.
解题策略
·
解决“二次函数在给定区间上的最值”问题一般先用配方法化为f(x)=a(x-h)2+
k(a≠0)的形式,根据图象的对称轴方程x=h和所给区间并结合图象求解.
(1)对称轴和区间都固定时,根据单调性和图象直接求解.
(2)若区间固定,对称轴变动,这时要讨论顶点横坐标是否在区间中;若对称轴固定,区间变动,这时要讨论区间与对称轴的位置关系,讨论的目的是明确对称轴和区间的位置关系,再根据函数单调性求最值或值域.
[针对训练] 已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.
当a=2,x∈[-2,3]时,函数f(x)的值域为　　　　;若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,则实数a的值为　　　 　.

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