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第2节　函数的单调性与最值
[课程标准要求]
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法.2.理解函数最大值、最小值的概念,理解它们的作用和实际意义,会求简单函数的最值.3.能够利用函数的单调性解决有关问题.
夯实·必备知识
知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调性的定义.
单调性 单调递增 单调递减
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I D,如果 x1,x2∈I
当x1f(x1)f(x1)>f(x2)
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
释疑
·
函数单调性定义中的x1,x2具有以下三个特征:一是任意性,即任意两数x1,
x2∈I,“任意”两字绝不能丢;二是有大小,即x1(2)单调区间的定义.
如果函数y=f(x)在区间I上 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间.
单调递增
单调递减
释疑
·
若函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连接,不要用“∪”.
2.函数的最值
前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足
条件 x∈D,都有 ;
x0∈D,使得 f(x0)=M x∈D,都有 ;
x0∈D,使得 f(x0)=M
结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值
f(x)≤M
f(x)≥M
释疑
·
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
重要结论
重要结论
(2)若f(x),g(x)都是增(减)函数,则当两者都恒大于零时,f(x)·g(x)是增(减)函数;当两者都恒小于零时,f(x)·g(x)是减(增)函数.
(3)在公共定义域内,增+增=增,减+减=减.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P77思考改编)下列函数是增函数的为(　　)
D
A
3.(苏教版必修第一册P134 T6改编)设m为实数,若函数f(x)=x2+3x-2在区间(m,m+1)上单调递减,则m的取值范围为　　　　.
(-∞,4]
提升·关键能力
函数的单调性与单调区间
考点1
A.在(-1,1)上单调递增
B.在(0,1)上单调递减,在(1,3)上单调递增
C.在[5,7]上单调递增
D.在[3,5]上单调递增
B
2.(2026·山东临沂模拟)下列函数中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1f(x2)”的是(　　)
B
3.(2026·江苏常州模拟)函数f(x)=|x-2|(x+1)的单调递增区间是　　　　 　.
题后悟通
·
(1)函数单调性的判断方法:定义法,图象法,利用已知函数的单调性,导数法.
(2)求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间.
求函数的最值(值域)
考点2
解题策略
·
(1)求函数最值的三种基本方法
①单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.
②图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.
③基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正、二定、三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
(2)对于较复杂函数,可运用导数,求出其在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.
1
【解析】 法一(数形结合法)　在同一平面直角坐标系中,作函数f(x),g(x)的图象,依题意,h(x)的图象为如图所示的实线部分.
易知点A(2,1)为图象的最高点,因此h(x)的最大值为h(2)=1.
函数单调性的应用(多维探究)
考点3
角度1　比较大小
[例2] (2026·辽宁本溪模拟)已知定义在R上的函数f(x)=2x+x3.若a=f(log23),
b=f(ln 3),c=f(lg 9),则(　　)
A.aC.cD
解题策略
·
比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,需要将变量转化到同一个单调区间内再进行比较,或采用中间量法比较大小,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.
角度2　解不等式
[例3] (2026·浙江湖州模拟)已知函数f(x)=ex+x,则使f(|x|)A.(-1,0) B.(-1,+∞)
C.(-1,1) D.(1,+∞)
C
【解析】 因为函数y=ex为增函数,函数y=x为增函数,所以函数f(x)=ex+x为增函数.所以由f(|x|)解题策略
·
求解含“f”的函数不等式的关键是根据函数的单调性去掉“f”,得到一般的不等式g(x)>h(x)[或g(x)角度3　求参数的取值范围
[例4] (2026·湖北武汉模拟)已知f(2x)=|x-a|,若函数f(x)在区间(-∞,2]上单调递减,则a的取值范围是(　　)
A.[1,+∞) B.(1,+∞)
C.[2,+∞) D.(2,+∞)
A
解题策略
·
利用函数的单调性求参数的思路
(1)依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较,直接构建参数满足的方程式(组)[不等式(组)].
(2)对于分段函数的单调性问题,除了注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.
A.f(n)<1且f(p)>1 B.f(n)>1且f(p)>1
C.f(n)>1且f(p)<1 D.f(n)<1且f(p)<1
C
(0,1)
微点提能2　
复合函数的单调性
知识链接
复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.
具体地,设复合函数y=f(g(x)),A是y=f(g(x))定义域的某个区间,B是u=g(x)的值域.
(1)若u=g(x)在A上单调递增(或单调递减),y=f(u)在B上也单调递增(或单调递减),则函数y=f(g(x))在A上单调递增.
(2)若u=g(x)在A上单调递增(或单调递减),而y=f(u)在B上单调递减(或单调递增),则函数y=f(g(x))在A上单调递减.
题型演绎
题型一　求复合函数的单调区间
B
方法技巧
·
求复合函数单调区间的一般步骤
(1)求函数的定义域.
(2)求简单函数的单调区间.
(3)求复合函数的单调区间,依据是“同增异减”.
(-∞,-2]
题型二　由复合函数的单调性求参数
B
方法技巧
·
利用复合函数单调性求参数的步骤
(1)拆解复合结构.明确内层函数t=g(x)与外层函数y=f(t),分析参数对内层函数单调性或值域的影响.
(2)应用“同增异减”原则,根据目标函数的单调性,组合内层、外层函数的单调性.
(3)注意定义域与值域约束,确保内层函数值域包含于外层函数定义域,据此列参数不等式并求解.
C
A.(-∞,0) B.[-3,0)
C.[-2,0) D.(-3,0)

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