资源简介

(共43张PPT)
第9节　函数与方程
[课程标准要求]
1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,并能简单应用.3.能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性.
夯实·必备知识
知识梳理
1.函数的零点
(1)函数零点的定义:使 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x) 函数y=f(x)的图象与x轴 .
f(x)=0
有零点
有公共点
释疑
·
(1)函数的零点不是一个点,而是一个实数,该实数是函数图象与x轴交点的横坐标.
(2)函数的零点可分为变号零点(零点两侧的函数值异号)与不变号零点(零点两侧的函数值同号)两类.
2.函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有 ,那么,函数y=f(x)在区间 内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的解.
f(a)f(b)<0
(a,b)
f(c)=0
释疑
·
由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x) 在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
3.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间 ,使所得区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
f(a)f(b)<0
一分为二
零点
释疑
·
用二分法求方程的近似解应具备两个条件,一是方程对应的函数图象在零点附近连续不断,二是该零点左、右的函数值异号.
4.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
与x轴的交点 (x1,0),(x2,0) (x1,0) 无交点
零点个数 2 1 0
重要结论
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.特别地,当y=f(x)在[a,b]上单调时,它仅有一个零点.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P155习题4.5 T2改编)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,部分对应关系如表所示,则该函数的零点个数至少为(　　)
B
x 1 2 3 4 5 6
y 126.1 15.15 -3.92 16.78 -45.6 -232.64
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】 由题表可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0,所以函数f(x)的零点个数至少为3.故选B.
B
C
0
5.(人教A版必修第一册P156习题4.5 T13改编)若函数y=ax2-2x+1只有一个零点,则实数a的值为　　　　.
0或1
【解析】 当a=0时,y=-2x+1,有唯一零点;当a≠0 时,由题意可得Δ=4-4a=0,解得a=1.综上,实数a的值为0或1.
提升·关键能力
判断函数零点所在区间
考点1
B
2.(多选题)函数f(x)=xlg x+x2-4x+1的零点所在区间为( 　　)
AD
题后悟通
·
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有公共点来判断.
确定函数零点的个数
考点2
[例1] (1)(2026·山东潍坊模拟)函数f(x)=(x2-x)ln|2x-3|在区间[-2,2]上的零点个数是(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
A
【解析】 (1)令f(x)=(x2-x)ln|2x-3|=0,得x2-x=0或ln|2x-3|=0,解得x=0或x=1或x=2,所以函数f(x)在区间[-2,2]上的零点个数为3.故选A.
A.2 B.3 C.4 D.5
B
解题策略
·
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个解,则f(x)有多少个零点.
(2)定理法:利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶
性等.
(3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出原函数的零点个数.
[针对训练]函数y=ex+x2+2x-1的零点个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
C
【解析】 函数y=ex+x2+2x-1的零点个数即函数f(x)=ex与g(x)=-x2-2x+1的图象的交点个数,在同一平面直角坐标系中,分别作出f(x)=ex与g(x)=-x2-2x+1的图象,如图所示,
由图可知,两函数图象有2个交点,故原函数有2个零点.故选C.
函数零点的应用(多维探究)
考点3
角度1　根据函数零点个数求参数
(-5,-4)
解题策略
·
已知函数零点情况求参数取值范围的方法
(1)分离参数法:若已知函数有零点(个数未知),可将参数分离到等式一边,等式另一边视为函数解析式,则该函数的值域即为参数的取值范围.
(2)数形结合法:若已知函数零点的个数,可将解析式变形,进而构造两个函数,在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,利用数形结合的方法求得参数取值范围.
角度2　根据函数零点的范围求参数
B
解题策略
·
根据零点的取值范围求参数范围的方法
(1)直接法:直接求出函数的零点,将零点用参数表示,求解关于参数的不等式即得参数的取值范围.
(2)利用函数零点存在定理:分析函数的性质,利用函数零点存在定理求解.
(3)数形结合法:针对两个函数,在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,利用数形结合的方法求解.
角度3　求函数零点之和
【解析】 当0解题策略
·
求函数的多个零点(或方程的根或直线y=m与函数图象的多个交点横坐标)的和时,应考虑函数的性质,尤其是对称性特征(这里的对称性主要包括函数图象本身关于点的对称、直线的对称等).
C
2.(角度2)已知函数f(x)=ex+3(x<0),g(x)=2ln(x+m).若存在x0>0,使得f(-x0)=
g(x0),则m的取值范围为(　　)
B
【解析】 根据题意知f(-x)-g(x)=0在(0,+∞)上有解,因此e-x+3=2ln(x+m)在(0,+∞)上有解,故函数y=e-x+3(x>0)与y=2ln(x+m)的图象在(0,+∞)上有交点.因为函数y=e-x+3的图象过点(0,4),将点(0,4)代入y=2ln(x+m),得m=e2,令2ln(x+m)=0得x=1-m,由图象可知1-m>1-e2,解得mA.0 B.3 C.10 D.13
D

展开更多......

收起↑