资源简介

(共50张PPT)
第7节　对数与对数函数
[课程标准要求]
1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助画图工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为反函数.
夯实·必备知识
知识梳理
1.对数
ax=N
logaN
底数
x=logaN
N
logaM+logaN
logaM-logaN
nlogaM
2.对数函数的概念、图象与性质
(1)对数函数的概念.
一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
(2)对数函数的图象与性质.
项目 y=logax
a>1 0图象
定义域
(0,+∞)
值域
性质 过定点 ,即x=1时,y=0
当x>1时, ;
当01时, ;
当0在区间(0,+∞)上是 函数 在区间(0,+∞)上是 函数
R
(1,0)
y>0
y<0
y<0
y>0
增
减
3.指数函数与对数函数的关系
一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的 与值域正好互换,图象关于直线 对称.
定义域
y=x
重要结论
1.换底公式及其推论
重要结论
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,
故0重要结论
基础自测
1.(人教A版必修第一册P127习题4.3 T6改编)设alog34=2,则4-a等于(　　)
B
2.(人教B版必修第二册P29习题4-2B T2改编)求值:lg 5×lg 20+(lg 2)2=　　.
1
【解析】 原式=lg 5×lg(22×5)+(lg 2)2=lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=(lg 5)2+
2lg 2×lg 5+(lg 2)2=(lg 5+lg 2)2=[lg(5×2)]2=1.
3.(人教A版必修第一册P132探究改编)函数f(x)=loga(x+2)-2(a>0,且a≠1)的图象过定点　　　　.
(-1,-2)
【解析】 由loga1=0(a>0,且a≠1)知,f(-1)=loga(-1+2)-2=0-2=-2,所以函数f(x)的图象过定点(-1,-2).
提升·关键能力
对数式的运算
考点1
A
D
3.(2026·云南昆明模拟)已知a>0,b>0,a≠1,b≠1,ab≠1,logam=4,logbm=6,则logabm=　　　　.
题后悟通
·
(1)利用对数运算性质化简对数式主要有以下方法.
①“正向”利用对数运算性质,把各对数分成更为基本的一系列对数的代数和(差);
②“逆向”运用对数运算性质,把同底的各对数合并成一个对数;
③“指对互化”,既是对数的本质,又是最重要的解题方法.
题后悟通
·
(2)利用已知对数式表示不同底数的对数式时,可以将待求式中的底数利用换底公式化为已知对数式的底数.
(3)对形如ax=by=cz的条件,通常设ax=by=cz=k(k>0),然后将x,y,z用对数形式表示出来,即x=logak,y=logbk,z=logck.
对数函数的图象及应用
考点2
[例1] (1)(2026·浙江嘉兴模拟)若函数f(x)=log2|x+a|的图象不过第四象限,则实数a的取值范围为　　　　.
[1,+∞)
(2)(2026·黑龙江哈尔滨模拟)已知函数f(x)=|ln x|.若0(2,+∞)
解题策略
·
对数函数的图象及其应用技巧
(1)熟练掌握对数函数的图象特点,能够准确地利用平移、对称等变换得到对数型函数的图象,在解决单调性(单调区间)、值域(最值)、零点等问题时,常常利用数形结合思想.
(2)求解对数型方程、不等式时,注意将问题转化为相应的函数图象问题,然后利用数形结合的思想方法求解.
(3)注意对数型函数图象所过定点、图象变化趋势等在解题中的作用,合理分析,巧妙求解.
[针对训练](2026·山东济南模拟)已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是(　　)
A.0B.0C.0D.0A
对数函数的性质及应用(多维探究)
考点3
角度1　比较大小
[例2] (2026·甘肃白银模拟)若a=log53,b=log5018,c=lg 6,则(　　)
A.bC.cD
角度2　解对数不等式
(2,+∞)
解题策略
·
常见的对数不等式的类型及解题方法
(1)解形如logaf(x)>logag(x)的不等式,常借助函数y=logax的单调性求解,如果a与1的大小关系不确定,那么需分a>1与0(2)解形如logaf(x)>b的不等式,应先将b化为以a为底数的对数式的形式,再借助函数y=logax的单调性求解.
(3)解形如logaf(x)>logbg(x)的不等式,基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数式,利用对数函数的单调性“脱去”对数符号,同时应保证真数大于零.
角度3　对数函数性质的综合(变式探究)
[例4] (1)(2026·河北唐山模拟)函数f(x)=lg(x+1)+lg(3-x)的单调递增区间是
　　　　.
(-1,1)
[变式探究1] 本例(1)中,若函数解析式不变,则函数f(x)的最大值为　　　　.
lg 4
【解析】 由于f(x)定义域为(-1,3),又f(x)=lg(-x2+2x+3),令u=-x2+2x+3,则该函数有最大值4,因此函数f(x)的最大值为lg 4.
(-∞,-4]∪[0,+∞)
(-4,0)
解题策略
·
与对数函数有关的复合函数的单调性问题,必须弄清三个方面:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的,判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数单调性的“同增异减”原则判断函数的单调性.
C
A.cC.a2.(角度2)(2026·贵州贵阳模拟)已知f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=ln x2,且f(0)=0,则不等式f(x)<2的解集为(　　)
A.(-e2,e2)
B.(-e,e)
C.(-∞,-e)∪(e,+∞)
D.(-e,0)∪(0,e)
B
【解析】 当x>0时,f(x)=ln x2,若f(x)<2,则ln x2<2,0时,f(0)=0<2,成立;当x<0时,因为f(x)为偶函数,所以f(x)<2,即f(-x)<2,f(-x)=
ln(-x)2<2,0ACD
A.f(x)是奇函数
B.f(x)≥0
C.f(x)在(-2,2)上单调递减
D.f(x)在(2,+∞)上单调递增
教考衔接4　糖水不等式
[教材母题] (人教A版必修第一册P43 T10)已知b g糖水中含有a g糖(b>a>0),再添加m g糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立.
名师解读
·
在应用不等式性质进行代数式大小比较时,除了常规的不等式性质、特值外,还可以学习对数型糖水不等式.此不等式常在解答小题中使用,能做到快速准确求解.
1.对数型糖水不等式
名师解读
·
名师解读
·
2.对数型糖水不等式的推论
(1)设a>b>1,m>0,则有logba>logb+m(a+m).
(2)设n∈N,且n>1,则有logn+1n[对接高考] (1)(2022·全国甲卷)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则(　　)
A.a>0>b B.a>b>0
C.b>a>0 D.b>0>a
A
【解析】 (1)因为9m=10,所以m=log910.利用对数型糖水不等式的推论,可得m=log910>lg 11,且m=log91010lg 11-11=0,b=8m-9<-9=0,即a>0>b.故选A.
(2)(2026·重庆模拟)设a=log2 0272 026,b=log2 0262 025,c=log0.202 70.202 6,则
(　　)
A.cC.bC
【解析】 (2)由对数函数的性质知c=log0.202 70.202 6>log0.202 70.202 7=1,
0=log202 71log2 0262 026=1,所以c>1,0log2 0272 026,即b故选C.

展开更多......

收起↑