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第10节　函数模型及其应用
[课程标准要求]
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
夯实·必备知识
知识梳理
1.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0)
对数函数型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0)
幂函数型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠0)
2.三种函数模型性质的比较
性质 函数
y=ax
(a>1) y=logax
(a>1) y=xn
(n>1)
在(0,+∞)
上的单调性 单调 单调 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
递增
递增
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与
平行 随x的增大逐渐表现为与
平行 随n值变化而各有
不同
值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logaxy轴
x轴
重要结论
“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.
基础自测
1.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是(　　)
A.40万元 B.60万元
C.80万元 D.120万元
D
【解析】 为使所获利润最大,则当甲商品的价格为6元时,该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元);当乙商品的价格为4元时,该商人全部买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元).故该商人共获利40+80= 120(万元).故选D.
2.在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的试验,将一块质量为7 g的糖块放入到一定量的水中,测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组数据,其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5 g,同时小明发现可以用指数型函数S=ae-kt(a,k为常数)来描述以上糖块的溶解过程,其中S(单位:g)代表t分钟末未溶解糖块的质量,则k等于(　　)
C
3.已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项正确的是(　　)
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x)
D.f(x)>h(x)>g(x)
B
【解析】 在同一平面直角坐标系内,根据函数图象变化趋势,当x∈(4,+∞)时,增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x).故选B.
4.(人教A版必修第一册P127习题4.3 T8改编)若某地2027年的GDP比2017年翻一番,则此地GDP平均每年的增长率是　　　　.
600
提升·关键能力
利用函数图象刻画变化过程
考点1
A
A B C D
解题策略
·
判断函数图象与实际问题变化过程是否吻合的两种方法
(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选择函数图象.
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合函数图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际情况的答案,选择符合实际情况的答案.
[针对训练] (2026·北京模拟)点P从点O出发,按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周,O,P两点的距离y与点P所走路程x的函数关系如图所示,那么点P所走的图形是(　　)
C
A B C D
【解析】 观察动点的运动图象,可以发现两个显著特点:(1)点P运动到周长的一半时,OP最大;(2)点P的运动图象是抛物线,设点M为周长的一半,如图所示.
图①中,当点P在OA上运动时,y=x,不符合条件(2),因此排除选项A;图④中,由OM不是最大长度,不符合条件(1),并且OP的距离不是对称变化的,因此排除选项D;另外,在图②中,当点P在线段OA上运动时,此时y=x,其图象是一条线 段,不符合条件(2),因此排除选项B.
故选C.
已知函数模型求解实际问题
考点2
[例2] (2025·北京卷)在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=klog2N(单位:时),其中k为常数,在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20小时;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(单位:时)(　　)
A.2 B.4 C.20 D.40
B
【解析】 设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1,T2,T3,由题意,T1=klog2106=6klog210,T2=klog2(1.024×109)=
klog2(210×106)=k(10+6log210),T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+
6log210).因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20,所以k=2,所以T3-T2=
k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4,所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加4小时.故选B.
解题策略
·
已知函数模型解决实际问题的关键点
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知,利用待定系数法确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
B
构建函数模型解决实际问题(多维探究)
考点3
角度1　构建函数模型解决实际问题
[例3] 元代数学家李治撰写的《益古演段》主要研究平面图形问题:如求圆的直径、正方形的边长等.其中一问:现有正方形方田一块,内部有一个圆形水池,其中水池的边缘与方田四边之间的面积为y亩,若方田的四边到水池的最近距离均为20步,则y关于水池半径r(单位:步)的函数解析式为y=
　　　　　　　　,水池的边缘与方田之间的面积与水池半径比值最小时,r=
　　　　步(注:240平方步为1亩,圆周率按3近似计算).
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构建函数模型解决实际问题的一般步骤
(1)分析和理解实际问题的题意.
(2)根据题意或给定的变量关系构建函数模型,将实际问题化归为数学问题.
(3)通过运算、推理求解函数模型,根据已知条件,利用待定系数法确定函数模型中的系数.
(4)用得到的函数模型描述实际问题的变化规律,解决有关问题.
解题策略
·
角度2　选择恰当的函数模型解决问题
[例4] 随着经济的发展,越来越多的家庭开始关注家庭成员的关系.一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台,从建立起,得到了很多人的关注,也有越来越多的人成为该平台的会员,主动在平台上进行学习.已知前3年平台会员的人数如表所示(其中第4年为预估人数,仅供参考):
建立平台第x年 1 2 3 4
会员人数y/千人 14 20 29 43
选择恰当的函数模型解决问题的方法步骤
(1)根据给定的各组数据分析变量之间的变化规律及趋势,确定函数模型应该具有的性质.
(2)逐一分析给出的各个函数模型,找出具有相应性质的函数模型,必要时用给出的数据进行验证.
(3)利用选择的函数模型解决实际问题.
解题策略
·
[针对训练]
1.(角度1)某工厂拟建一个平面图形为矩形,且总面积为400 m2的三级污水处理池,如图所示,已知池外墙造价为200元/m2,中间两条隔墙造价为250元/m2,池底造价为80元/m2(池壁的厚度忽略不计,且污水处理池无盖,高为1 m).若使污水处理池的总造价最低,那么污水处理池的长和宽分别为(　　)
C
2.(角度2)(2026·山西临汾模拟)某公司每个仓库的收费标准如下表[x表示储存天数,y(单位:万元)表示x天收取的总费用].
x 1 3 7 14
y 1 2 3 4
(1)给出两个函数y1=px-1+q(p>0且p≠1),y2=loga(x+b)(a>0且a≠1),要从这两个函数中选出一个来模拟表中x,y之间的关系,问:选择哪一个函数较好 说明理由.
(2)该公司旗下有10个这样的仓库.每个仓库储存货物时,每天需要2 000元的运营成本,不存货物时仅需500元的成本.一批货物需要存放7天,设该批货物存放在m个仓库内,其余仓库空闲.要使该公司这7天的仓库收益不少于
43 000元,则m的最小值是多少 (注:收益=收入-成本)
【解】 (2)设该公司这7天的仓库收益为f(m)元,由表格数据可知,若货物存放7天,每个仓库收费30 000元,
所以f(m)=30 000m-[2 000m+500×(10-m)]×7=19 500m-35 000,0≤m≤10,
由f(m)≥43 000,解得m≥4,所以m的最小值为4.

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