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第8节　函数的图象
[课程标准要求]
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.2.借助函数图象,理解和研究函数的性质.
夯实·必备知识
知识梳理
1.利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线.首先:(1)确定函数的定义域.(2)化简函数解析式.(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等),其次,列表
(选取一些有代表性的点,比如与坐标轴的交点),描点,连线.
2.图象变换
(1)平移变换.
释疑
·
(1)左右平移仅仅是相对x而言的,即发生变化的只是x本身,利用“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1,那么需要先把系数提出来,再进行变换.
(2)上下平移仅仅是相对y而言的,即发生变化的只是y本身,利用“上减下加”进行操作.但平时我们是对y=f(x)中的f(x)进行操作,满足“上加下减”.
(2)对称变换.
①y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 对称;
②y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 对称;
③y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称;
④y=ax(a>0,且a≠1)与y=logax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称.
x轴
y轴
|f(x)|
f(ax)
af(x)
重要结论
基础自测
1.若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在R上为减函数,则函数y=loga(|x|-1)的图象可以是(　　)
C
A B C D
【解析】 因为函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在R上为减函数,所以00时,函数y=loga(|x|-1)的图象是由y=logax的图象向右平移一个单位长度所得,且y=loga(|x|-1)是偶函数,定义域为
(-∞,-1)∪(1,+∞).故选C.
A.关于y轴对称 B.关于x轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称
A
【解析】 函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称.故选A.
3.(北师大版必修第一册P89实例分析改编)已知函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于y轴对称,若把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则g(x)=　 .
e-x+1
【解析】 由题意可知f(x)=e-x,把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)=e-(x-1)=e-x+1的图象.
-1
【解析】 由f(-1)=ln(-1+a)=0,得a=2,又直线y=ax+b过点(-1,3),则2×(-1)+b=
3,得b=5.故当x<-1时,f(x)=2x+5,则f(-3)=2×(-3)+5=-1.
提升·关键能力
函数图象的作法
考点1
(2)y=2-|x-x2|;
解题策略
·
作函数图象的一般方法
(1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是基本初等函数或其函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时,就可根据这些函数或曲线的特征直接作出.
(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称、伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
注意:作函数图象时,若函数解析式不是最简形式,需先化简函数解析式,再作函数的图象.
[针对训练] 作出下列各函数的图象:
(1)y=x2-2|x|-3;
(2)y=|log2(x+1)|.
【解】 (2)y=|log2(x+1)|,其图象可由y=log2x的图象向左平移1个单位长度,再保留x轴上方部分不变,将x轴下方部分翻折到x轴上方得到,如图所示.
函数图象的识别
考点2
A B C D
[例2] (1)(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8,2.8]的图象大致为(　　)
B
D
解题策略
·
辨识函数图象的入手点
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.
(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.
(5)从函数的特殊点,排除不符合要求的图象.
C
A B C D
C
函数图象的应用(多维探究)
考点3
角度1　利用图象研究函数性质
[例3] (多选题)(2026·贵州贵阳模拟)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)=f(-x)且其图象关于直线x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=1-log2(x+1),则( 　　)
A.函数f(x)是周期为3的周期函数
B.函数f(x)的图象关于直线x=2对称
C.f(x)在[2,3]上单调递减
BC
【解析】 因为函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(-x),所以f(x)为偶函数.由f(1+x)=f(1-x),得f(2-x)=f(x).又f(x)为偶函数,所以f(x-2)=f(x),即f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是周期为2的周期函数.因为当x∈[0,1]时,f(x)=1-log2(x+1),所以1不是f(x)的周期,所以3不是f(x)的周期,故A错误.由f(2-x)=f(x),f(x+2)=f(x),得f(2-x)=f(2+x),所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,故B正确.因为函数f(x)是周期为2的周期函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=1-log2(x+1),f(x)单调递减,所以当x∈[2,3]时,f(x)单调递减,故C正确.
解题策略
·
利用函数的图象研究函数的性质
对于已知解析式,且易画出其在给定区间上图象的函数,常借助图象研究其性质:
(1)从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值.
(2)从图象的对称性,分析函数的奇偶性.
(3)从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.
角度2　利用图象解不等式(变式探究)
[例4] 若函数f(x)的图象关于原点对称,且在(0,+∞)上单调递增,f(-3)=0,则不等式xf(x)<0的解集为　　　　　　　.
(-3,0)∪(0,3)
【解析】 由题意可知,函数f(x)的图象关于原点对称,且在(0,+∞)上单调递
增,f(-3)=0,则f(3)=0,所以函数f(x)的大致图象如图所示.
当x>0时,由f(x)<0,得00,得-3[变式探究] 本例变为:已知偶函数f(x)的图象过点P(-3,0),且在区间[0,+∞)上单调递减,则不等式xf(x)>0的解集为　　　　　 　　.
(-∞,-3)∪(0,3)
解题策略
·
利用函数图象研究不等式问题的方法
当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时,可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题,利用图象法求解.若函数为抽象函数,可根据题目画出大致图象,再结合图象求解.
角度3　求参数的取值范围
D
解题策略
·
当参数的不等关系不易找出时,可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图象的变化确定参数的取值范围.
ABC
A.f(x)的图象过原点
B.f(x)的图象关于点(1,1)对称
C.f(x)在区间(1,+∞)上单调递减
D.f(x)是定义域上的减函数
D

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