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第一章　集合与常用逻辑用语、不等式
第1节　集　合
[课程标准要求]
1.通过实例了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系,针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合.在具体情境中,了解全集与空集的含义.2.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.能使用Venn图表示集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.
夯实·必备知识
知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性: 、 、 .
(2)元素与集合的关系是 或 ,用符号 或 表示.
(3)集合的表示方法: 、 、Venn图法.
确定性
互异性
无序性
属于
不属于
∈

列举法
描述法
(4)常见数集的记法.
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
N
N*(或N+)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的 ,就称集合A为集合B的子集.记作A B(或B A).
(2)真子集:如果集合A B,但 元素x∈B,且x A,就称集合A是集合B的
,记作A B(或B A).
(3)相等:若A B,且 ,则A=B.
(4)空集的性质:空集是任何集合的子集,是任何 集合的真子集.
元素

存在
真子集
B A
非空
3.集合的基本运算
项目 符号表示 图形表示 符号语言
并集 A∪B
交集 A∩B
补集 若全集为U,则集合A的补集为 UA
{x|x∈A,或x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,且x A}
4.集合的运算性质
交集 A∩B= ,A∩B A,A∩B B,A∩A=A,A∩ = ,A∩B= A B
并集 A∪B= ,A∪B A,A∪B B,A∪A= ,A∪ = ,A∪B=
A B
补集 U( UA)= , U = , UU= ,
A∩( UA)= ,A∪( UA)=
B∩A

A
B∪A
A
A
B
A
U
U
重要结论
1.对于有限集合A,其元素个数为n,则集合A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.
2.A B,A∩B=A,A∪B=B, UB UA以及A∩( UB)= 两两等价.
3. U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA)∩( UB).
基础自测
1.(2025·全国Ⅱ卷)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B=(　　)
A.{0,1,2} B.{1,2,8}
C.{2,8} D.{0,1}
D
【解析】 B={x|x3=x}={0,-1,1},故A∩B={0,1}.故选D.
2.(2025·全国Ⅰ卷)已知集合U={x|x是小于9的正整数},A={1,3,5},则 UA中元素的个数为(　　)
A.0 B.3 C.5 D.8
C
【解析】 因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以 UA={2,4,6,7,8},则 UA中元素的个数为5.故选C.
3.(人教A版必修第一册P35复习参考题1 T8改编)已知集合M={(x,y)|x+y=2},
N={(x,y)|x-y=2},则集合M∩N等于(　　)
A.{0,2} B.(2,0) C.{(0,2)} D.{(2,0)}
D
4.(人教A版必修第一册P14习题1.3 T1改编)集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≤8-2x},则A∪( RB)=　　 　　.
{x|x≥2}
【解析】 不等式3x-7≤8-2x的解集为{x|x≤3},因此 RB={x|x>3},故A∪( RB)=
{x|2≤x<4}∪{x|x>3}={x|x≥2}.
5.已知集合A={1,3,2m-1},B={3,m2},若A∪B=A,则实数m的值是　　　　.
-1
【解析】 由A∪B=A可知B A,因为集合A={1,3,2m-1},B={3,m2},所以m2=1或m2=2m-1,解得m=-1或m=1.当m=-1时,A={1,3,-3},B={3,1},成立;当m=1时,
2m-1=1,集合A不满足元素的互异性,不成立.综上,实数m的值为-1.
提升·关键能力
集合的概念与表示
考点1
C
1.(2026·河南郑州模拟)已知集合A={x|3ax-2≤0},若1∈A且2 A,则(　　)
2.(2026·河南周口模拟)已知集合M={-1,1,2},则集合N={y|x∈M,y-x∈M}中元素的个数是(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
A
【解析】 当x=-1时,y的可能取值为-2,0,1;
当x=1时,y的可能取值为0,2,3;
当x=2时,y的可能取值为1,3,4.
综上,y的可能取值为-2,0,1,2,3,4,共6个.
故选A.
3.(2026·广东深圳模拟)设集合A={2,a2-a+2,1-a},若4∈A,则a的值为(　　)
A.-1或2 B.-3
C.-1或-3或2 D.-3或2
D
【解析】 因为集合A={2,a2-a+2,1-a},4∈A,所以a2-a+2=4或1-a=4.当a2-a+
2=4时,a=-1或a=2,若a=-1,则1-a=2,不满足集合中元素的互异性,故a≠-1;若a=2,则集合A={2,4,-1},满足题意.当1-a=4时,a=-3,则a2-a+2=14,集合A={2,14,4},满足题意.综上所述,a=2或-3.
故选D.
C
题后悟通
·
(1)研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素的特征形式,结合集合的元素是否满足限制条件或能否转化为元素的特征形式来求解.
(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,不仅要注意分类讨论思想的应用,还要检验所求参数是否满足集合中元素的互异性.
集合间的基本关系(变式探究)
考点2
[例1] (1)(2026·宁夏石嘴山模拟)已知集合A={x|x=4n+1,n∈Z},B={x|x=4n-3,
n∈Z},C={x|x=8n+1,n∈Z},则A,B,C之间的关系是(　　)
A.C B A B.A B C
C.C A=B D.A=B=C
C
【解析】 (1)4n+1=4(n+1)-3,n∈Z,因此A=B.8n+1=4·2n+1,n∈Z,因此对任意的x∈C,必有x∈A,但5∈A,5 C,因此有C A.故选C.
(2)已知集合A={x|x2-3x-4>0},B={x|2a≤x≤a+3},若B A,则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|-4≤a≤2} B.{a|a≤-4或a≥2}
C.{a|-42}
D
[变式探究1] 例1(2)中的两集合不变,将“B A”变为“B A”,求实数a的取值范围.
【解】 由于A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},集合A中不包含端点,集合B中包含端点,因此“B A”时a的取值范围与“B A”时a的取值范围是一致的,即{a|a<-4或a>2}.
[变式探究2] 例1(2)中的集合A,B不变,将“B A”变为“B RA”,求实数a的取值范围.
【解】 因为A={x|x<-1或x>4},
所以 RA={x|-1≤x≤4}.
又因为B={x|2a≤x≤a+3},
所以当B= 时,只需2a>a+3,即a>3;
[变式探究3] 例1(2)中的集合A及A,B关系不变,集合B变为{x|x≤a+3},求实数a的取值范围.
【解】 由A={x|x<-1或x>4}及B A可知a+3<-1,
即a<-4,如图所示.
所以实数a的取值范围为{a|a<-4}.
解题策略
·
(1)对于用描述法表示的集合,判断集合之间的关系,要从所含元素的特征来分析.若集合的特征性质可以统一形式,则统一形式后判断更方便.
(2)已知B A,求解集合中的参数问题,若集合A,B是连续的数集,不但要注意合理利用数轴、Venn图帮助分析,而且还要分B= 和B≠ 两种情况讨论.若集合A,B是不连续的数集,要检验所求参数的值是否满足集合中元素的互异性.
(3)求解元素个数确定的集合的子集、真子集个数可以借助子集、真子集定义列出,也可以直接利用子集、真子集个数公式写出.
[针对训练] 已知集合A={x|ax=2,a∈N},若A N,则所有a的取值构成的集合的真子集个数为(　　)
A.3 B.4 C.7 D.8
C
集合之间的运算(多维探究)
考点3
[例2] (2026·江西南昌模拟)已知全集U=R,集合A={x|y=ln(x+1)},B={x|x2-x-2<0},则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A.{x|x≤-1} B.{x|x<2}
C.{x|x≥2} D.{x|x≤-1或x≥2}
角度1　给定具体集合的运算
C
【解析】 依题意可知,阴影部分对应的集合为A∩ UB,因为全集U=R,且A={x|y=ln(x+1)}={x|x>-1},B={x|x2-x-2<0}={x|-1因此A∩ UB={x|x>-1}∩{x|x≤-1或x≥2}={x|x≥2}.故选C.
解题策略
·
(1)进行集合运算时,若集合不是最简形式,则需要先化简集合,再研究其关系并进行运算.
(2)涉及与集合的补集有关的集合运算问题时,首先要求出补集,然后再求解.
(3)对于Venn图给出的集合运算问题,首先将Venn图转化为集合之间的运算关系,然后再求解.
角度2　含参数的集合运算
[例3] (2026·山东济南模拟)已知集合A={x|m-1≤x≤-2m+5},B={x|x<-2或x>4},且A∩B= ,则实数m的取值范围为(　　)
A
解题策略
·
求解含参数的集合运算问题的主要方法
(1)涉及离散的集合运算求参数问题,要注意所求参数是否满足集合中元素的性质.
(2)涉及与连续的数集有关的集合运算,要注意借助数轴转化为与参数有关的不等式(组),此时要注意集合端点的取舍.
(3)涉及与集合的运算性质有关的问题,要注意根据运算性质转化为集合之间的关系.
[针对训练]
1.(角度1)(多选题)已知全集U=R,集合M={x|-3≤x<4},N={x|x2-2x-8≤0},则
(　　 )
A.M∪N={x|-3≤x<4}
B.M∩N={x|-2≤x<4}
C.( UM)∪N=(-∞,-3)∪[-2,+∞)
D.M∩( UN)=(-3,-2)
BC
【解析】 由x2-2x-8≤0,得-2≤x≤4,所以N={x|-2≤x≤4},则M∪N={x|-3≤x≤4},故A错误;M∩N={x|-2≤x<4},故B正确;由于 UM=(-∞,-3)∪[4,+∞),故( UM)∪
N=(-∞,-3)∪[-2,+∞),故C正确;由于 UN=(-∞,-2)∪(4,+∞),故M∩( UN)=[-3,
-2),故D错误.故选BC.
2.(角度2)设集合A={a2,1},B={a+6,0},若A∪B={0,1,4},则a等于(　　)
A.-2 B.-1
C.0 D.2
A
【解析】 若a2=0,则a=0,此时A={0,1},B={6,0},则A∪B≠{0,1,4},不符合题意.
若a2=4,则a=2或a=-2,
当a=2时,A={4,1},B={8,0},则A∪B≠{0,1,4},不符合题意;
当a=-2时,A={4,1},B={4,0},则A∪B={0,1,4},符合题意.
根据集合中元素的互异性可知a≠-1.
综上所述a=-2.故选A.
集合新定义与新运算
考点4
[例4] 定义集合A,B的“对称差集”:A△B={x|x∈A∪B且x A∩B}.已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},C={4,5}, 则下列结论正确的是(　　)
A.A△B={1,4}
B.A△ =
C.(A△B)△C≠A△(B△C)
D.若集合M△N=M,则N≠
A
【解析】 由A={1,2,3},B={2,3,4},C={4,5},得A∪B={1,2,3,4},A∩B={2,3},
所以A△B={1,4},故A正确;
因为A∪ =A,A∩ = ,所以A△ =A,故B错误;
由(A△B)∪C={1,4,5},(A△B)∩C={4},得(A△B)△C={1,5},由B∪C={2,3,4,5},
B∩C={4},得B△C={2,3,5},所以A∪(B△C)={1,2,3,5},A∩(B△C)={2,3},则A△(B△C)={1,5},所以(A△B)△C=A△(B△C),故C错误;
当N= 时,结合选项B知,M△N=M,故D错误.故选A.
解题策略
·
(1)求解与集合新定义有关的创新问题,应准确分析新定义的特点以及要求,结合所学相应数学知识求解.
(2)涉及与集合新运算或新性质问题有关的计算,应深刻理解所给定义的运算法则和运算性质.按照此集合新运算规则,结合已知的集合运算法则和集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)进行逻辑推理和计算.
[针对训练] (多选题)设S为实数集R的非空子集.若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集.下列命题正确的是(　 　)
A.自然数集N为封闭集
B.整数集Z为封闭集
BCD
D.若S为封闭集,则一定有0∈S
教考衔接1　容斥问题
[教材母题] (人教A版必修第一册P15阅读与思考、P35 T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人 只参加游泳一项比赛的有多少人
【解】 法一　利用容斥定理
设集合A={x|x是参加游泳比赛的学生},B={x|x是参加田径比赛的学生},
C={x|x是参加球类比赛的学生},
由题意,得card(A∪B∪C)=28,card(A)=15,card(B)=8,card(C)=14,
card(A∩B)=3,card(A∩C)=3,card(A∩B∩C)=0,
所以28=15+8+14-3-3-card(B∩C)+0,
则card(B∩C)=3,card(B∪C)=card(B)+card(C)-card(B∩C)=8+14-3=19.
设U=A∪B∪C,所以card( U(B∪C))=card(U)-card(B∪C)=28-19=9,
所以同时参加田径和球类比赛的有3人,
只参加游泳一项比赛的有9人.
法二　利用Venn图
如图.
设同时参加田径和球类比赛的有x人,则
28=15+8+14-3-3-x,
所以x=3,
即同时参加田径和球类比赛的有3人,
而只参加游泳一项比赛的有15-3-3=9(人).
名师解读
·
集合运算问题中,经常涉及满足特定条件的两个或多个部分有限集合的元素个数的计算问题,由于用Venn图表示两个或多个集合的交集、并集、
补集具有直观性,因此常借助Venn图解决集合问题.一般地,用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.
两个或多个集合的运算问题常见的解法如下:
(1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
名师解读
·
(2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).
[对接高考] (2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)
A.62% B.56%
C.46% D.42%
C
【解析】 用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图,设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x,则96%=60%+82%-x,解得x=46%.
故选C.

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