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第3节　等式与不等式的性质
[课程标准要求]
1.梳理等式的性质.2.理解不等式的概念.3.掌握不等式的性质.
夯实·必备知识
知识梳理
1.两个实数大小比较的基本事实
a-b>0 a b(a,b∈R);
a-b=0 a b(a,b∈R);
a-b<0 a b(a,b∈R).
>
=
<
2.等式的性质
性质1　对称性:如果a=b,那么 ;
性质2　传递性:如果a=b,b=c,那么 ;
性质3　可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;
性质4　可乘性:如果a=b,那么ac=bc;
性质5　可除性:如果a=b,c≠0,那么 .
b=a
a=c
3.不等式的性质
性质1　对称性:a>b ;
性质2　传递性:a>b,b>c ;
性质3　可加性:a>b a+c>b+c;
性质4　可乘性:a>b,c>0 ;a>b,c<0 ;
性质5　同向可加性:a>b,c>d ;
性质6　同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0 ;
性质7　同正可乘方性:a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2).
ba>c
ac>bc
aca+c>b+d
ac>bd>0
重要结论
1.与倒数有关的结论:
重要结论
基础自测
1.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T3改编)设M=2a2+5a+4,N=(a+1)(a+3),则M与N的大小关系为(　　)
A.M>N B.M=N
C.MA
2.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T8改编)如果aC
3.已知x<-2,y>4,则x2+y的取值范围是(　　)
A.(8,+∞) B.[8,+∞)
C.[10,+∞) D.(10,+∞)
A
【解析】 因为x<-2,所以-x>2,
则x2=(-x)·(-x)>4.又y>4,所以x2+y>8.故选A.
(2,7)
提升·关键能力
比较数与式的大小
考点1
C
A.PC.P>Q D.不能确定
C
3.当m,n∈(-1,1)时,总有sin m-sin nA.m>n B.|m|<|n|
C.m|n|
C
题后悟通
·
比较大小的常用方法
(1)作差法:若待比较的式子为多项式(或变形后为多项式),常用作差比较法,一般作差后利用因式分解或配方等方法判断符号.
(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.
(3)构造函数法:当待比较的两个式子具有相同的特征或等价变形后具有相同的特征时,可利用构造函数的方法,结合函数的单调性比较大小.
利用不等式的性质判断不等关系
考点2
[例1] (多选题)已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,则下列结论正确的是
(　　 )
BC
解题策略
·
判断不等式是否成立的方法
判断不等式是否成立的方法包括代入具体数值检验、代数变形化简、比较两边差值、构造函数并分析函数性质,以及利用函数图象观察验证等.
[针对训练] 已知a,b∈R,则下列命题正确的是(　　)
A.若ab=1,则a+b≥2
D
利用不等式性质求代数式范围(变式探究)
考点3
[变式探究2] 已知027
解题策略
·
(1)已知x,y的范围,求由ax,by(ab≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时,可利用不等式的性质直接求解.
(2)已知a1x+b1y,a2x+b2y的范围,求解形如或可化为a3x+b3y(aibi≠0,i=1,2,3)的范围,可利用待定系数法与整体代换法求范围.

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