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第2节　常用逻辑用语
[课程标准要求]
1.通过对典型的数学命题的推理,理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系以及数学定义与充要条件的关系.2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定、使用全称量词对存在量词命题进行否定.
夯实·必备知识
知识梳理
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q,则p是q的 条件,q是p的 条件.
充分
必要
充分不必要
必要不充分
充要
2.全称量词与存在量词
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ”表示.
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号
“ ”表示.


3.全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x,p(x)成立 存在M中的元素x,p(x)成立
简记 x∈M,p(x)
否定 x∈M,﹁p(x)
x∈M,p(x)
x∈M,﹁p(x)
释疑
·
一般命题的否定通常是保留条件否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.
重要结论
1.充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.
(1)若p是q的充分条件,则A B;
(2)若p是q的充分不必要条件,则A B;
(3)若p是q的必要不充分条件,则B A;
(4)若p是q的充要条件,则A=B.
2.命题p与p的否定的真假性相反.
基础自测
1.(人教A版必修第一册P23习题1.4 T6改编)在△ABC中,“△ABC为直角三角形”是“AB2+BC2=AC2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
B
【解析】 在△ABC中,若△ABC为直角三角形,∠B=90°不一定成立,所以AB2+BC2=AC2不一定成立.若AB2+BC2=AC2,则∠B=90°,即△ABC为直角三角形.综上,“△ABC为直角三角形”是“AB2+BC2=AC2”的必要不充分条件.故选B.
2.命题“一次函数都是单调函数”的否定是(　　)
A.一次函数都不是单调函数
B.非一次函数都不是单调函数
C.有些一次函数是单调函数
D.有些一次函数不是单调函数
D
【解析】 命题的否定只对结论进行否定,“都是”的否定是“不都是”,即“有些”.故选D.
3.(人教A版必修第一册P35复习参考题1 T6改编)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的有(　　)
C
B.所有的正方形都是矩形
C. x∈R,x2+2x+2≤0
D.至少有一个实数x,使x3+1=0
4.(人教A版必修第一册P23习题1.4 T4改编)已知A=(-∞,a],B=(-∞,5),且x∈A是x∈B的充分不必要条件,则a的取值范围为　 .
(-∞,5)
5.(人教B版必修第一册P28练习B T4改编)若“ x∈[-1,2],x2-m≤1”为真命题,则实数m的最小值为　　　　.
3
【解析】 因为“ x∈[-1,2],x2-m≤1”为真命题,
所以m≥x2-1对x∈[-1,2]恒成立,即m≥(x2-1)max=3.
提升·关键能力
充分、必要条件的判断
考点1
1.(2026·广东茂名模拟)设集合A={x|-5x+6<0},B={x|x>-2},则x∈A是x∈B的
(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A
2.设a,b∈R,则“a2+a=b2+b”是“a=b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
B
【解析】 由a2+a=b2+b,得a2-b2+a-b=(a-b)(a+b+1)=0,则a=b或a+b+1=0,所以“a2+a=b2+b”不是“a=b”的充分条件;
反过来,a=b能推出a2+a=b2+b,“a2+a=b2+b”是“a=b”的必要条件.
所以“a2+a=b2+b”是“a=b”的必要不充分条件.故选B.
3.(2026·福建三明模拟)已知a,b∈R,则“|a|+|b|≤1”是“a2+b2≤1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A
法二　在平面直角坐标系中分别作出|a|+|b|≤1(正方形边界及内部)与a2+b2≤1
(圆边界及内部)表示的几何图形如图所示,易知|a|+|b|≤1成立时,a2+b2≤1成立,但a2+b2≤1成立时,|a|+|b|≤1却不一定成立.故选A.
题后悟通
·
判断充分、必要条件的两种方法
(1)定义法:根据p q,q p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断.特别地,若两集合涉及两个变量,且两变量之间有明显的几何意义,可以利用数形结合思想判断.
充分、必要条件的应用与探求(变式探究)
考点2
[例1] 已知集合A={x|x>a},B={x|x2-ax-3>0},若1∈A且1∈ RB成立,则能作为实数a取值的一个充分不必要条件是(　　)
A.[-2,1) B.(-2,1)
C.[-2,+∞) D.(-∞,1)
B
[变式探究] 例1中将条件“充分不必要条件” 改为“必要不充分条件”:已知集合A={x|x>a},B={x|x2-ax-3>0},若1∈A且1∈ RB成立,则能作为实数a取值的一个必要不充分条件是(　　)
A.[-2,1) B.(-2,1)
C.[-2,+∞) D.(-∞,0)
C
解题策略
·
根据充分、必要条件求解参数取值范围的方法
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
[针对训练] (1)已知a,b∈R,则使得a>b成立的一个必要不充分条件为(　　)
A.|a|>|b| B.a>b+1
C.a>b-1 D.2a>2b
C
【解析】 (1)当a>b时,|a|>|b|不一定成立,A不是必要条件,a>b+1不一定成立,B不是必要条件,a>b-1成立,C是必要条件,2a>2b成立,D是必要条件.
反之,对于C,当a>b-1成立时,a>b不一定成立,比如2.9>3-1成立,但2.9>3 不成立,即C不是充分条件,符合题意.
对于D,若2a>2b成立,则a>b成立,即D是充分条件,则D是充要条件.故选C.
(2)已知集合A={x|x2<1},B={x|2aA
全称量词命题与存在量词命题(多维探究)
考点3
角度1　含量词命题的否定
[例2] 已知命题p: x∈R,tan x<π或ex+2≥π,则命题p的否定为(　　)
A. x∈R,tan x≥π或ex+2<π
B. x∈R,tan x<π且ex+2≥π
C. x∈R,tan x<π且ex+2≥π
D. x∈R,tan x≥π且ex+2<π
D
【解析】 因为命题p: x∈R,tan x<π或ex+2≥π是存在量词命题,根据全称量词命题与存在量词命题之间的关系,可知命题p的否定为 x∈R,tan x≥π且ex+2<π.故选D.
解题策略
·
一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到其量词的位置及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词,同时否定结论.
角度2　含量词命题真假的判断
[例3] (2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p: x∈R,|x+1|>1;命题q: x>0,x3=x,则
(　　)
A.p和q都是真命题
B.﹁p和q都是真命题
C.p和﹁q都是真命题
D.﹁p和﹁q都是真命题
B
【解析】 对于p,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题,﹁p是真命题.对于q,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题,﹁q是假命题.综上,﹁p和q都是真命题.故选B.
解题策略
·
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要确定一个全称量词命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称量词命题是假命题.
(2)要确定一个存在量词命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即可;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立,则该存在量词命题是假命题.
角度3　含量词命题的应用
[例4] (2026·云南曲靖模拟)已知命题“ x∈(0,+∞),2x2-ax+1<0”为假命题,则实数a的取值范围是(　　)
A
解题策略
·
由命题真假求参数的取值范围:一是直接由命题的含义,利用命题特征恰当转化后求参数的取值范围;二是利用等价命题,即p与﹁p的关系,转化成由﹁p 的真假求参数的取值范围.
[针对训练]
1.(角度1)(2026·四川绵阳模拟)命题“ x∈R,1A. x∈R,1B. x R,1C. x∈R,f(x)≤1或f(x)>2
D. x∈R,f(x)≤1或f(x)>2
C
【解析】 由于存在量词命题的否定是全称量词命题,
则命题“ x∈R,12”.
故选C.
2.(角度2)(2026·河北唐山模拟)已知命题p: x∈R,x2>0;命题q: x>0,ln x<0,则(　　)
A.p和q都是真命题
B.p是假命题,q是真命题
C.p是真命题,q是假命题
D.p和q都是假命题
B
3.(角度3)(2026·河南南阳模拟)已知a∈R,若“ x∈R,a=2x+1”为假命题,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,1] D.[1,+∞)
C
【解析】 命题“ x∈R,a=2x+1”是存在量词命题,其否定为全称量词命题“ x∈R,a≠2x+1”,而函数y=2x+1的值域为(1,+∞),
由“ x∈R,a=2x+1”为假命题,得“ x∈R,a≠2x+1”为真命题,则a≤1,
所以a的取值范围是(-∞,1].故选C.

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