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第5节　二次函数与一元二次
方程、不等式
[课程标准要求]
1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.2.了解一元二次不等式的现实意义.3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合或区间表示一元二次不等式的解集.4.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应的函数、方程的联系.
夯实·必备知识
知识梳理
1.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)、不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解的对应关系
方程的判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数
的图象
{x|xx2}
2.分式不等式的解法
基础自测
1.(人教A版必修第一册P53练习 T1改编)不等式-3x2-2x+1<0的解集为
(　　)
C
D
A.{x|01}
B.{x|0C.{x|-1D.{x|x<0}
法二　原不等式等价于|x+1|<|x-1|,两边平方可得x2+2x+1D
3.关于x的不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a的值为(　　)
4.(人教A版必修第一册P58复习参考题2 T6改编)若不等式kx2+(k-6)x+2>0的解集为实数集R,则实数k的取值范围是(　　)
A.[2,18] B.(-18,-2)
C.(2,18) D.(0,2)
C
-14
提升·关键能力
一元二次不等式的解法(多维探究)
考点1
角度1　不含参数的不等式的解法
C
A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2}
C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1}
CD
(2)(多选题)下列不等式的解集是空集的是(　 　)
A.x2-x+1>0 B.-2x2+x+1>0
C.2x-x2>5 D.x2+x<-2
真题研析
·
本例中的(1)源于人教B版必修第一册第二章的2.2.3一元二次不等式的解法中的例3,主要考查分式不等式的解法.分式不等式的求解,一般等价转化为整式不等式(组)求解.
A
A.[-3,1)∪[2,+∞)
B.(-∞,-3]∪(1,2]
C.[-3,1)∪(1,2]
D.(-∞,-3]∪[2,+∞)
解题策略
·
(2)含有绝对值的不等式问题,求解的主要方法是去掉绝对值符号分类讨论转化为不等式组.
(3)若一元二次不等式对应的一元二次方程的判别式大于0或小于0恒成立,则一元二次不等式的解集为R或空集.
角度2　含参数的一元二次不等式的解法
[例2] 解关于x的不等式ax2+(2a-1)x-2<0.
解题策略
·
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法
(1)当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正数的形式.
(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.
(3)确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.
[针对训练] 当0C
三个“二次”关系的应用
考点2
[例3] (多选题)已知关于x的不等式(x+2)(x-4)+a<0(a<0)的解集是(x1,x2)(x1A.x1+x2=2 B.x1x2<-8
C.-26
ABD
解题策略
·
(1)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点,也是相应一元二次不等式的解集的非无穷大端点对应的值.
(2)给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的图象开口方向及与x轴的交点的横坐标,可以利用根或根与系数的关系求待定系数.
[针对训练] (多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>3},则下列说法正确的是(　 　)
A.a<0
B.ax+c>0的解集为{x|x>6}
C.8a+4b+3c<0
AD
与一元二次不等式有关的恒(能)成立问题(变式探究)
考点3
A.(-3,0) B.(-3,0]
C.[-3,0] D.[-3,0)
B
A
解题策略
·
一元二次不等式恒(能)成立问题的求解方法
(1)一元二次不等式在R上恒成立的条件
不等式类型 恒成立条件
ax2+bx+c>0 a>0,Δ<0
ax2+bx+c≥0 a>0,Δ≤0
ax2+bx+c<0 a<0,Δ<0
ax2+bx+c≤0 a<0,Δ≤0
解题策略
·
(2)一元二次不等式在给定区间上成立的条件:
①若f(x)>0在集合A中恒成立,则集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或取值范围).
②函数值域转化法.若已知函数f(x)的值域为[m,n],则
f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a,即m≥a;
f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a,即n≤a;
f(x)≥a能成立 f(x)max≥a,即n≥a;
f(x)≤a能成立 f(x)min≤a,即m≤a.
(3)参数区间确定的不等式恒(能)成立问题,需要考虑变换主元,即给定谁的取值范围,谁就是主元,求谁的取值范围,谁就是参数.
[针对训练] 已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意的x∈[m,m+1] 都有f(x)<0,则实数m的取值范围为 　　　　.

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