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第4节　基本不等式
[课程标准要求]
夯实·必备知识
知识梳理
(1)基本不等式成立的条件: .
(2)等号成立的条件:当且仅当 时,等号成立.
(3) 叫做正数a,b的算术平均数, 叫做正数a,b的几何平均数.
a>0,b>0
a=b
2.基本不等式与最值
已知x,y都是正数.
(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy有最大值 (简记:和定积最大).
(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和 x+y有最小值 (简记:积定和最小).
重要结论
基础自测
1.下列函数中,y的最小值为4的是(　　)
B
D
C
4.(人教A版必修第一册P46例3改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是　　　　 m2.
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12
提升·关键能力
利用基本不等式求最值(多维探究)
考点1
角度1　配凑法求最值
A.最大值-1 B.最小值-1
C.最大值1 D.最小值1
A
解题策略
·
角度2　常值代换法求最值(变式探究)
A
解题策略
·
常值代换法主要解决以下最值问题
角度3　消元法
C
A.0 B.2 C.1 D.3
解题策略
·
已知条件中含多元变量或已知条件中同时包含二次与一次式,常利用代换消元变为单变量式子,对于有些高次多项式可以因式分解,然后再代入,达到消元的目的.
B
A.36 B.24 C.18 D.12
C
2.(角度3)已知x>0,y>0,且xy+x-2y=4,则2x+y的最小值为(　　)
A.4 B.5 C.7 D.9
利用基本不等式求参数的范围问题
考点2
C
解题策略
·
求参数的值或取值范围时,一般需要结合题目特征,分离参数,利用基本不等式确定等号成立的条件,从而得到参数的值或取值范围.
A
A.(-∞,-2) B.(-4,+∞)
C.(-2,+∞) D.(-∞,-4)
基本不等式的实际应用
考点3
[例5] 某工厂准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3 m,底面积为12 m2,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的背面靠墙,无须建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左、右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左、右两侧墙的长度均为x m(2≤x≤6).
(1)当左、右两侧墙的长度为多少时,甲工程队报价最低
解题策略
·
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)解决实际问题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(3)在应用基本不等式求函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数的单调性求解.
[针对训练] 某公益团队联系某运动会组委会举办一场纪念品展销会,并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查,当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时,销售量可达到(15-0.1x)万套,为配合这个活动,生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为50元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.约定不计其他成本,即销售每套纪念品的利润=售价-供货价格.
(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时,能获得的总利润是多少万元
(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时,单套的利润最大 最大利润是多少元
教考衔接2　柯西不等式
[教材母题] (人教A版必修第二册P37 T16)用向量方法证明:对于任意的a,b,c,
d∈R,恒有不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
名师解读
·
(1)教材母题中的不等式称为“二维形式的柯西不等式”,从代数角度看,它揭示了两组实数平方和之积与对应项乘积之和的平方之间的大小关系;从向量角度看,当且仅当两向量共线,即存在实数λ使(a,b)=λ(c,d) ,也就是ad=bc时,等号成立.该不等式的变式如下:
名师解读
·
(2)已知和式定值求积式最值,或者已知积式定值求和式最值,一般用基本不等式;已知和式定值,求和式(倒数和、平方和、根式和)的最值,或者已知积式(需要因式分解确定)定值,求另一个齐次积式定值,通常采用柯西不等式,即结构形式改变时用基本不等式,结构形式不变时用柯西不等式.
[对接高考] (2019·全国Ⅲ卷)设x,y,z∈R,且x+y+z=1.
(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值.
微点提能1　基本不等式链与三元基本不等式
知识链接
题型演绎
题型一　基本不等式链
[典例1] (多选题)设正实数a,b满足a+b=1,则(　 　)
ACD
方法技巧
·
当已知条件中涉及两正变量的和求解与两变量有关的最值问题,首先考虑使用基本不等式链,使用基本不等式链时要向符合“不等式链”的特征形式的方向变形.
题型二　三元基本不等式
[典例2] (多选题)下列不等式成立的有(　 　)
AC
方法技巧
·
[拓展演练] 如图,取边长为0.5 m的正方形硬纸板,在其四个角各剪去一个小正方形,再折成一个无盖纸盒.如果要使制作的盒子容积最大,那么剪去的小正方形的边长为　　　　 m.

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