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广东省梅州市平远县2024-2025学年上学期九年级数学期末质量监测试题
一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，用5个相同的小正方体搭成立体图形，从上面看到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据题意，从上面看到的形状是：
故选：A．
【分析】本题以由小正方体搭成的立体图形为背景，考查了从不同方向观察几何体，特别是俯视图的识别。根据立体图形的摆放位置，确定从上面观察时各小正方体的投影位置，选出对应的俯视图。
2．下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（　　）
A．菱形的对角线相等
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个角相等
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，A不符合题意．
B、矩形的对角线相等且平分，不一定互相垂直，B不符合题意．
C、菱形的四个角不一定相等，C不符合题意．
D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质结合题意对选项逐一分析即可求解。
3．小明准备完成题目：解一元二次方程．若“□”表示一个数字，且方程有实数根，则“□”的值可能为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有实数根，
∴
∴□ ≤4
则 □ 可能为4
故答案为：A
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式：，则一元二次方程有两个不相等的实数根；，则一元二次方程有两个相等的实数根；，则一元二次方程无实数根；，则一元二次方程有实数根；根据此可得 □的范围，得出结论。
4．在反比例函数 的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＞0 C．k≥1 D．k＜1
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据题意，在反比例函数 图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，
即可得k﹣1＞0，
解得k＞1．
故选：A．
【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得k﹣1＞0，解可得k的取值范围．
5．将标有“最”“美”“宁”“夏”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出两个球，则摸到的球上的汉字可以组成“宁夏”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意画如下树状图：
共有12种情况，其中2种符合题意，
∴摸到的球上的汉字可以组成“宁夏”的概率是：，
故选：C．
【分析】本题考查随机事件的概率计算，重点是通过树状图列举所有等可能结果。从四个小球中随机摸出两个，需考虑摸取的顺序不影响最终组成的汉字，用树状图依次列出第一次摸球和第二次摸球的所有可能情况，统计出总结果数为12种，再找出能组成“宁夏”的特定结果（“宁”和“夏”、“夏”和“宁”）共2种，最后根据概率公式“特定结果数÷总结果数”计算概率。
6．如图，在的正方形网格中，的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：依题意如图所示：
故答案为：B
【分析】根据正切定义即可求出答案.
7．如图，是边边上的两点，且，若，则与的周长之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：∵
∴，
又∵，
∴
∵
∴与周长之比为，
故选：C．
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，核心是平行判定相似以及面积比与周长比的关系。由DE∥BC，结合公共角∠A，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”判定△ADE∽△ABC；相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，已知面积比为1：9，可求出相似比为1：3，进而得到周长之比。
8．要得到抛物线，可以将抛物线（　　）
A．向右平移个单位，再向下平移个单位
B．向左平移个单位，再向下平移个单位
C．向左平移个单位，再向上平移个单位
D．向右平移个单位，再向上平移个单位
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：与相比较横坐标减，
是向右平移个单位，
与相比较函数值减，
是向下平移个单位，
故抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到，
故答案为：A
【分析】根据二次函数的平移变换结合题意得到与相比较横坐标减，是向右平移个单位；与相比较函数值减，是向下平移个单位，进而即可求解。
9．在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，则点的坐标为（　　）
A． B．或
C．或 D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵以点为位似中心，把缩小为原来的，点的坐标为，
∴当在原点的同侧时，点的坐标为，
即点的坐标为，
∴当在原点的两侧时，点的坐标为，
即点的坐标为，
∴点的坐标为或，
故选．
【分析】本题考查位似图形的性质，核心是位似中心为原点时对应点的坐标变换规律。以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标比等于位似比，缩小为原来的意味着位似比为或（位似图形可在原点同侧或异侧）；点A(4，2)，当位似比为时，A'坐标为(4×， 2×)=(2，1)；当位似比为时，A'坐标为(4×(-)， 2×(-))=(-2，-1)，由此得到点A'的两个可能坐标。
10．如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点E，交于点M，连接，
∵菱形中，，，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
根据垂线段最短，此时最短，即最小，
∵菱形的边长为6，
∴，
∴．
∴的最小值是．
故选：D．
【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质及垂线段最短，核心是转化线段和求最小值。菱形ABCD中，边长为6，∠ABC=120°，可推出∠DAB=60°，结合AB=AD，判定△ADB为等边三角形，因此MB=MD，将MA+MB+MD转化为MA+2MD；过D作DE⊥AB交AC于M，根据垂线段最短，此时DE为最短路径，在Rt△ADE中，AE=3（等边三角形中线），AD=6，用勾股定理求出DE=3，则2DE=6，即为MA+MB+MD的最小值。
二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分．
11．已知a，b，c，d是成比例线段，且，，，那么　 　．
【答案】6
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴，
∵，，，
∴，
解得：．
故答案为：6．
【分析】利用比例线段的性质可得，再将数据代入可得，最后求出d的值即可.
12．如图，已知边长为的正方形二维码，若想估算出二维码黑色部分的面积，在正方形区域内随机取100个点，有70个点在黑色部分．则黑色部分的面积约为　 　．
【答案】17.5
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解∶黑色部分的面积约为，
故答案为∶17.5．
【分析】本题考查利用频率估计概率的实际应用，核心是用样本频率估算图形面积比。正方形的面积可直接计算为5×5=25cm2，随机取点时，落在黑色部分的频率近似等于黑色部分面积与正方形面积的比值；已知取100个点有70个在黑色部分，频率为，用正方形面积乘以该频率，即可估算出黑色部分的面积。
13．若抛物线的顶点在直线上，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：抛物线的顶点为，
把代入得到，
故答案为：
【分析】本题考查二次函数的顶点坐标与一次函数的交点问题，核心是求出顶点坐标并代入直线解析式。二次函数顶点式 的顶点坐标为(h，k)，本题中抛物线 对应的h=-1、k=a，因此顶点坐标为(-1，a)；由于顶点在直线y=2x上，将顶点坐标代入直线解析式，得到a=2×(-1)，计算得出a的值。
14．已知是关于的一元二次方程的两个根，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程的两个根，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，核心是利用两根之和求出方程中的未知系数。对于一元二次方程 （a≠0），两根之和 ；本题中方程的两个根为和，先计算两根之和为1，再结合方程中b=-1，列出等式，求解得到a的值。
15．如图，在边长为4的正方形中，点分别是边的中点，连接，点分别是的中点，连接，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设交于点，
∵正方形，边长为4，
∴，
∵点分别是边的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∵点分别是的中点，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，核心是通过多步推理求出线段长度。首先利用正方形边长为4及中点条件，得出AF=DE=2，证明△ABF≌△DAE，推出AE⊥BF；用勾股定理求出AE=BF=2，再通过三角形面积公式求出AE与BF交点M到A的距离AM，进而得到FM的长度；结合G、H为AE、BF中点，求出MG和HM的长度，最后在Rt△GMH中，用勾股定理计算GH的长度。
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．已知方程的一个根为2，求的值．
【答案】解：∵方程的一个根为2
即
解得，，
∴m的值为3或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解的定义及解法，核心是利用方程的解代入求解未知参数。方程的根满足代入方程后等式成立，将x=2代入原方程，得到，化简后得到关于m的一元二次方程，再利用因式分解法将方程化为(m-3)(m+1)=0，求解得到m的两个值。
17．某班同学们上体育课．在阳光下，甲、乙两名同学分别直立站在点C、D的位置，此时，乙影子的顶端恰好与甲影子的顶端重合（如图）．甲的身高为1.8m，乙的身高为1.5m，甲的影长为6m，求甲、乙两名同学之间的距离．
【答案】解：，
，
，
，，，
，
解得，
，
答：甲、乙两名同学之间的距离为．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】本题考查相似三角形的实际应用，核心是利用平行关系判定相似并列出比例式。甲乙两名同学均直立于地面，因此DE∥BC（DE为乙的身高，BC为甲的身高），结合公共角∠A，判定△ADE∽△ACB；根据相似三角形对应边成比例，列出，设CD=x（甲乙间距），则AD=6 - x，代入已知数据1.5、1.8、6，得到，解方程求出x的值。
18．已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，其中．
（1）求抛物线的对称轴．
（2）二次函数有最大值还是最小值？请求出这个最值．
【答案】（1）解：已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，
则抛物线开口向上，，
由，则，
则抛物线的表达式为：，
则抛物线的对称轴为直线；
（2）解：，抛物线有最小值，
当时，，
即二次函数有最小值，这个最小值为1．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据在对称轴右侧呈上升趋势得到，进而即可求解；
（2）根据二次函数的图象与性质得到抛物线有最小值，进而即可求解。
（1）解：已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，
则抛物线开口向上，，
由，则，
则抛物线的表达式为：，
则抛物线的对称轴为直线；
（2）解：，抛物线有最小值，
当时，，
即二次函数有最小值，这个最小值为1．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明∵四边形是平行四边形，∴．
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴四边形是矩形，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得，进而利用等角对等边得到，然后根据菱形的判定定理可得结论；
（2）先根据菱形的性质和勾股定理求得，，再证明四边形是矩形，利用矩形的对角线相等得到．
（1）证明∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴四边形是矩形，
∴．
20． “综合与实践”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中四大领域之一，武侯区某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习．设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格：
项目 选择人数 频率
A．制作视力表 4
B．猜想、证明与拓广
C．池塘里有多少条鱼 20 0.5
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：　 　，　 　，　 　；
（2）该校共有500名九年级学生，请估计选择“B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数；
（3）本次调查中，选择“A．制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率．
【答案】（1）0.1；16；0.4
（2）解：（人），
答：B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数有200人；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的情况，恰好选到一名女生和一名男生的有6种，
所以恰好选到一名女生和一名男生的概率=
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）调查的学生人数为（人），
【分析】（1）利用表格中C的人数除以频率可得调查的学生人数，再根据A项目的人数除以调查的学生人数求得a的值，用调查的学生人数分别减去A、C项目的人数，即可求得b的值，用b的值除以调查的学生人数即可得到c的值；
（2）根据样本估计总体即可求解；
（3）画出树状图得到共有12种等可能的情况，恰好选到一名女生和一名男生的有6种，利用概率公式即可求解.
21．如图①是放置在水平桌面上的台灯的截面示意图，台灯底座的高为，长度均为的连杆与始终在同一平面上．
（1）转动连杆，使成平角，，如图②，求连杆端点离桌面的高度是多少？
（2）将图②中的连杆绕点顺时针旋转，使，再将连杆绕点逆时针旋转，使，如图③，此时连杆端点离桌面的高度又是多少？（结果精确到，参考数据：）
【答案】（1）解：过点作，垂足，如图所示：
在中，，，
，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
，
答：D离桌面的高度为．
（2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足，过作垂足为交于点．如图所示：
根据作图可知，四边形和四边形为矩形，
∴，，，
由题意可得：，
∴，
∴，
在中，，
，
解得：，
在中，，
，
解得：，
，
答：此时离桌面的高度约为．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作，垂足，根据直角三角形结合含30°角的直角三角形的性质得到，再根据矩形的判定与性质得到，从而即可求解；
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足，过作垂足为交于点，根据作图结合矩形的性质得到，，，进而根据题意得到，解直角三角形求出DM和CH，从而即可求解。
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．综合与实践
在一次综合实践活动课上，郑老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“励志”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点；
第3步：过点折叠正方形纸片，使折痕．
【过程思考】
（1）结合“励志”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论；
【拓展提升】
（2）如图2，将矩形纸片对折，使点和点重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点折叠矩形纸片，使折痕，若点为边的三等分点，请求出的值．
【答案】解：（1）点是边的三等分点，证明如下：
由第1步的操作可知分别是的中点，
是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为边的三等分点．
（2）由折叠得，，
点为边的三等分点，
，
设，则，
，，
，
由折叠性质得，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
由勾股定理得，，
设，则，
，
，
又，
，
又，
，
，即，
，
，
．
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)本题考查正方形的折叠性质与相似三角形，核心是通过相似比推出线段比例。由折叠知E是AB中点，正方形中AB∥CD，因此△AEG∽△CDG，相似比为AE：CD=1：2，故AG：CG=1：2，进而AG：AC=1：3；又MN∥BC，判定△AMG∽△ABC，相似比为AG：AC=1：3，因此AM：AB=1：3，证明M是AB的三等分点。
(2)本题考查矩形的折叠性质、相似三角形与勾股定理，核心是设未知数建立方程求解比例。设AM=a，由三等分点知AB=3a，AE=BE=a，ME=；折叠得EG=BE=a，用勾股定理求出MG==a；设AD=BC=x，四边形MBCN为矩形，CN=MB=2a，GN=x - a；证明△EMG∽△GNC，列出比例式，代入数据解得x=a，因此。
23．在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限内的图象上．
（1）已知点在反比例函数第一象限内的图象上，且点在点的下方，延长与轴交于点．
①如图1，如果，，且平分，求的面积；
②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值；
（2）已知点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，连接，请问是否存在点，使得？如果存在，求点的坐标（用表示）；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：①当时，，
如图，过点作轴于点，
则，
，
，
平分，，，
，
在和中，
，
的面积为；
②如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
直线的表达式为，直线的表达式为，
设，则，
点是线段的中点，
（2）解：点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得；理由如下：
设，
点在直线上，则直线的解析式为
点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，
，
当点在线段上时，过点作于点，如图，
则
，，
点是的中点，
的纵坐标为
化简得，，
，
又点不与点重合，
此时不存在点，使得；
当点在线段的延长线上时，过点作于点，如图，
同理可得：当点在线段的延长线上时，不存在点，使得；
综上所述，点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】(1)①本题考查角平分线的性质与全等三角形，核心是利用全等求面积。m=2时，反比例函数为，过B作BE⊥x轴，S△OBE=1；OB平分∠AOC，BA⊥OA，BE⊥OE，因此BA=BE；用HL证明Rt△OBA≌Rt△OBE，全等三角形面积相等，故S△OAB=S△OBE=1。
②本题考查反比例函数与一次函数的系数关系，核心是利用中点坐标推导参数关系。设A(a， )、B(b， )，由直线表达式得、；B是AC中点，C在x轴上（纵坐标为0），由中点纵坐标性质得，解得b=2a；代入的表达式，计算得。
(2)本题考查等腰三角形与反比例函数的综合，核心是通过坐标关系判断是否存在。设A(a， )，直线OA的解析式为，设D(t， )，则E(t， )；过A作AF⊥DE，若AD=AE，则F是DE中点，F的纵坐标为，且F的纵坐标等于A的纵坐标，化简得(t - a)2=0，即t=a，与D不与A重合矛盾，故不存在这样的点E。
（1）解：（1）①当时，，
如图，过点作轴于点，
则，
，
，
平分，，，
，
在和中，
，
的面积为；
②如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
直线的表达式为，直线的表达式为，
设，则，
点是线段的中点，
（2）点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得；理由如下：
设，
点在直线上，则直线的解析式为
点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，
，
当点在线段上时，过点作于点，如图，
则
，，
点是的中点，
的纵坐标为
化简得，，
，
又点不与点重合，
此时不存在点，使得；
当点在线段的延长线上时，过点作于点，如图，
同理可得：当点在线段的延长线上时，不存在点，使得；
综上所述，点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得．
1 / 1广东省梅州市平远县2024-2025学年上学期九年级数学期末质量监测试题
一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，用5个相同的小正方体搭成立体图形，从上面看到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（　　）
A．菱形的对角线相等
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个角相等
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
3．小明准备完成题目：解一元二次方程．若“□”表示一个数字，且方程有实数根，则“□”的值可能为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．在反比例函数 的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＞0 C．k≥1 D．k＜1
5．将标有“最”“美”“宁”“夏”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出两个球，则摸到的球上的汉字可以组成“宁夏”的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在的正方形网格中，的值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．如图，是边边上的两点，且，若，则与的周长之比为（　　）
A． B． C． D．
8．要得到抛物线，可以将抛物线（　　）
A．向右平移个单位，再向下平移个单位
B．向左平移个单位，再向下平移个单位
C．向左平移个单位，再向上平移个单位
D．向右平移个单位，再向上平移个单位
9．在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，则点的坐标为（　　）
A． B．或
C．或 D．
10．如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分．
11．已知a，b，c，d是成比例线段，且，，，那么　 　．
12．如图，已知边长为的正方形二维码，若想估算出二维码黑色部分的面积，在正方形区域内随机取100个点，有70个点在黑色部分．则黑色部分的面积约为　 　．
13．若抛物线的顶点在直线上，则的值为　 　．
14．已知是关于的一元二次方程的两个根，则的值为　 　．
15．如图，在边长为4的正方形中，点分别是边的中点，连接，点分别是的中点，连接，则的长为　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．已知方程的一个根为2，求的值．
17．某班同学们上体育课．在阳光下，甲、乙两名同学分别直立站在点C、D的位置，此时，乙影子的顶端恰好与甲影子的顶端重合（如图）．甲的身高为1.8m，乙的身高为1.5m，甲的影长为6m，求甲、乙两名同学之间的距离．
18．已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，其中．
（1）求抛物线的对称轴．
（2）二次函数有最大值还是最小值？请求出这个最值．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
20． “综合与实践”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中四大领域之一，武侯区某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习．设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格：
项目 选择人数 频率
A．制作视力表 4
B．猜想、证明与拓广
C．池塘里有多少条鱼 20 0.5
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：　 　，　 　，　 　；
（2）该校共有500名九年级学生，请估计选择“B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数；
（3）本次调查中，选择“A．制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率．
21．如图①是放置在水平桌面上的台灯的截面示意图，台灯底座的高为，长度均为的连杆与始终在同一平面上．
（1）转动连杆，使成平角，，如图②，求连杆端点离桌面的高度是多少？
（2）将图②中的连杆绕点顺时针旋转，使，再将连杆绕点逆时针旋转，使，如图③，此时连杆端点离桌面的高度又是多少？（结果精确到，参考数据：）
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．综合与实践
在一次综合实践活动课上，郑老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“励志”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点；
第3步：过点折叠正方形纸片，使折痕．
【过程思考】
（1）结合“励志”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论；
【拓展提升】
（2）如图2，将矩形纸片对折，使点和点重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点折叠矩形纸片，使折痕，若点为边的三等分点，请求出的值．
23．在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限内的图象上．
（1）已知点在反比例函数第一象限内的图象上，且点在点的下方，延长与轴交于点．
①如图1，如果，，且平分，求的面积；
②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值；
（2）已知点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，连接，请问是否存在点，使得？如果存在，求点的坐标（用表示）；如果不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据题意，从上面看到的形状是：
故选：A．
【分析】本题以由小正方体搭成的立体图形为背景，考查了从不同方向观察几何体，特别是俯视图的识别。根据立体图形的摆放位置，确定从上面观察时各小正方体的投影位置，选出对应的俯视图。
2．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，A不符合题意．
B、矩形的对角线相等且平分，不一定互相垂直，B不符合题意．
C、菱形的四个角不一定相等，C不符合题意．
D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质结合题意对选项逐一分析即可求解。
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有实数根，
∴
∴□ ≤4
则 □ 可能为4
故答案为：A
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式：，则一元二次方程有两个不相等的实数根；，则一元二次方程有两个相等的实数根；，则一元二次方程无实数根；，则一元二次方程有实数根；根据此可得 □的范围，得出结论。
4．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据题意，在反比例函数 图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，
即可得k﹣1＞0，
解得k＞1．
故选：A．
【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得k﹣1＞0，解可得k的取值范围．
5．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意画如下树状图：
共有12种情况，其中2种符合题意，
∴摸到的球上的汉字可以组成“宁夏”的概率是：，
故选：C．
【分析】本题考查随机事件的概率计算，重点是通过树状图列举所有等可能结果。从四个小球中随机摸出两个，需考虑摸取的顺序不影响最终组成的汉字，用树状图依次列出第一次摸球和第二次摸球的所有可能情况，统计出总结果数为12种，再找出能组成“宁夏”的特定结果（“宁”和“夏”、“夏”和“宁”）共2种，最后根据概率公式“特定结果数÷总结果数”计算概率。
6．【答案】B
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：依题意如图所示：
故答案为：B
【分析】根据正切定义即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：∵
∴，
又∵，
∴
∵
∴与周长之比为，
故选：C．
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，核心是平行判定相似以及面积比与周长比的关系。由DE∥BC，结合公共角∠A，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”判定△ADE∽△ABC；相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，已知面积比为1：9，可求出相似比为1：3，进而得到周长之比。
8．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：与相比较横坐标减，
是向右平移个单位，
与相比较函数值减，
是向下平移个单位，
故抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到，
故答案为：A
【分析】根据二次函数的平移变换结合题意得到与相比较横坐标减，是向右平移个单位；与相比较函数值减，是向下平移个单位，进而即可求解。
9．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵以点为位似中心，把缩小为原来的，点的坐标为，
∴当在原点的同侧时，点的坐标为，
即点的坐标为，
∴当在原点的两侧时，点的坐标为，
即点的坐标为，
∴点的坐标为或，
故选．
【分析】本题考查位似图形的性质，核心是位似中心为原点时对应点的坐标变换规律。以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标比等于位似比，缩小为原来的意味着位似比为或（位似图形可在原点同侧或异侧）；点A(4，2)，当位似比为时，A'坐标为(4×， 2×)=(2，1)；当位似比为时，A'坐标为(4×(-)， 2×(-))=(-2，-1)，由此得到点A'的两个可能坐标。
10．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点E，交于点M，连接，
∵菱形中，，，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
根据垂线段最短，此时最短，即最小，
∵菱形的边长为6，
∴，
∴．
∴的最小值是．
故选：D．
【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质及垂线段最短，核心是转化线段和求最小值。菱形ABCD中，边长为6，∠ABC=120°，可推出∠DAB=60°，结合AB=AD，判定△ADB为等边三角形，因此MB=MD，将MA+MB+MD转化为MA+2MD；过D作DE⊥AB交AC于M，根据垂线段最短，此时DE为最短路径，在Rt△ADE中，AE=3（等边三角形中线），AD=6，用勾股定理求出DE=3，则2DE=6，即为MA+MB+MD的最小值。
11．【答案】6
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴，
∵，，，
∴，
解得：．
故答案为：6．
【分析】利用比例线段的性质可得，再将数据代入可得，最后求出d的值即可.
12．【答案】17.5
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解∶黑色部分的面积约为，
故答案为∶17.5．
【分析】本题考查利用频率估计概率的实际应用，核心是用样本频率估算图形面积比。正方形的面积可直接计算为5×5=25cm2，随机取点时，落在黑色部分的频率近似等于黑色部分面积与正方形面积的比值；已知取100个点有70个在黑色部分，频率为，用正方形面积乘以该频率，即可估算出黑色部分的面积。
13．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：抛物线的顶点为，
把代入得到，
故答案为：
【分析】本题考查二次函数的顶点坐标与一次函数的交点问题，核心是求出顶点坐标并代入直线解析式。二次函数顶点式 的顶点坐标为(h，k)，本题中抛物线 对应的h=-1、k=a，因此顶点坐标为(-1，a)；由于顶点在直线y=2x上，将顶点坐标代入直线解析式，得到a=2×(-1)，计算得出a的值。
14．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程的两个根，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，核心是利用两根之和求出方程中的未知系数。对于一元二次方程 （a≠0），两根之和 ；本题中方程的两个根为和，先计算两根之和为1，再结合方程中b=-1，列出等式，求解得到a的值。
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设交于点，
∵正方形，边长为4，
∴，
∵点分别是边的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∵点分别是的中点，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，核心是通过多步推理求出线段长度。首先利用正方形边长为4及中点条件，得出AF=DE=2，证明△ABF≌△DAE，推出AE⊥BF；用勾股定理求出AE=BF=2，再通过三角形面积公式求出AE与BF交点M到A的距离AM，进而得到FM的长度；结合G、H为AE、BF中点，求出MG和HM的长度，最后在Rt△GMH中，用勾股定理计算GH的长度。
16．【答案】解：∵方程的一个根为2
即
解得，，
∴m的值为3或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解的定义及解法，核心是利用方程的解代入求解未知参数。方程的根满足代入方程后等式成立，将x=2代入原方程，得到，化简后得到关于m的一元二次方程，再利用因式分解法将方程化为(m-3)(m+1)=0，求解得到m的两个值。
17．【答案】解：，
，
，
，，，
，
解得，
，
答：甲、乙两名同学之间的距离为．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】本题考查相似三角形的实际应用，核心是利用平行关系判定相似并列出比例式。甲乙两名同学均直立于地面，因此DE∥BC（DE为乙的身高，BC为甲的身高），结合公共角∠A，判定△ADE∽△ACB；根据相似三角形对应边成比例，列出，设CD=x（甲乙间距），则AD=6 - x，代入已知数据1.5、1.8、6，得到，解方程求出x的值。
18．【答案】（1）解：已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，
则抛物线开口向上，，
由，则，
则抛物线的表达式为：，
则抛物线的对称轴为直线；
（2）解：，抛物线有最小值，
当时，，
即二次函数有最小值，这个最小值为1．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据在对称轴右侧呈上升趋势得到，进而即可求解；
（2）根据二次函数的图象与性质得到抛物线有最小值，进而即可求解。
（1）解：已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，
则抛物线开口向上，，
由，则，
则抛物线的表达式为：，
则抛物线的对称轴为直线；
（2）解：，抛物线有最小值，
当时，，
即二次函数有最小值，这个最小值为1．
19．【答案】（1）证明∵四边形是平行四边形，∴．
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴四边形是矩形，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得，进而利用等角对等边得到，然后根据菱形的判定定理可得结论；
（2）先根据菱形的性质和勾股定理求得，，再证明四边形是矩形，利用矩形的对角线相等得到．
（1）证明∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴四边形是矩形，
∴．
20．【答案】（1）0.1；16；0.4
（2）解：（人），
答：B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数有200人；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的情况，恰好选到一名女生和一名男生的有6种，
所以恰好选到一名女生和一名男生的概率=
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）调查的学生人数为（人），
【分析】（1）利用表格中C的人数除以频率可得调查的学生人数，再根据A项目的人数除以调查的学生人数求得a的值，用调查的学生人数分别减去A、C项目的人数，即可求得b的值，用b的值除以调查的学生人数即可得到c的值；
（2）根据样本估计总体即可求解；
（3）画出树状图得到共有12种等可能的情况，恰好选到一名女生和一名男生的有6种，利用概率公式即可求解.
21．【答案】（1）解：过点作，垂足，如图所示：
在中，，，
，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
，
答：D离桌面的高度为．
（2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足，过作垂足为交于点．如图所示：
根据作图可知，四边形和四边形为矩形，
∴，，，
由题意可得：，
∴，
∴，
在中，，
，
解得：，
在中，，
，
解得：，
，
答：此时离桌面的高度约为．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作，垂足，根据直角三角形结合含30°角的直角三角形的性质得到，再根据矩形的判定与性质得到，从而即可求解；
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足，过作垂足为交于点，根据作图结合矩形的性质得到，，，进而根据题意得到，解直角三角形求出DM和CH，从而即可求解。
22．【答案】解：（1）点是边的三等分点，证明如下：
由第1步的操作可知分别是的中点，
是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为边的三等分点．
（2）由折叠得，，
点为边的三等分点，
，
设，则，
，，
，
由折叠性质得，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
由勾股定理得，，
设，则，
，
，
又，
，
又，
，
，即，
，
，
．
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)本题考查正方形的折叠性质与相似三角形，核心是通过相似比推出线段比例。由折叠知E是AB中点，正方形中AB∥CD，因此△AEG∽△CDG，相似比为AE：CD=1：2，故AG：CG=1：2，进而AG：AC=1：3；又MN∥BC，判定△AMG∽△ABC，相似比为AG：AC=1：3，因此AM：AB=1：3，证明M是AB的三等分点。
(2)本题考查矩形的折叠性质、相似三角形与勾股定理，核心是设未知数建立方程求解比例。设AM=a，由三等分点知AB=3a，AE=BE=a，ME=；折叠得EG=BE=a，用勾股定理求出MG==a；设AD=BC=x，四边形MBCN为矩形，CN=MB=2a，GN=x - a；证明△EMG∽△GNC，列出比例式，代入数据解得x=a，因此。
23．【答案】（1）解：①当时，，
如图，过点作轴于点，
则，
，
，
平分，，，
，
在和中，
，
的面积为；
②如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
直线的表达式为，直线的表达式为，
设，则，
点是线段的中点，
（2）解：点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得；理由如下：
设，
点在直线上，则直线的解析式为
点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，
，
当点在线段上时，过点作于点，如图，
则
，，
点是的中点，
的纵坐标为
化简得，，
，
又点不与点重合，
此时不存在点，使得；
当点在线段的延长线上时，过点作于点，如图，
同理可得：当点在线段的延长线上时，不存在点，使得；
综上所述，点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】(1)①本题考查角平分线的性质与全等三角形，核心是利用全等求面积。m=2时，反比例函数为，过B作BE⊥x轴，S△OBE=1；OB平分∠AOC，BA⊥OA，BE⊥OE，因此BA=BE；用HL证明Rt△OBA≌Rt△OBE，全等三角形面积相等，故S△OAB=S△OBE=1。
②本题考查反比例函数与一次函数的系数关系，核心是利用中点坐标推导参数关系。设A(a， )、B(b， )，由直线表达式得、；B是AC中点，C在x轴上（纵坐标为0），由中点纵坐标性质得，解得b=2a；代入的表达式，计算得。
(2)本题考查等腰三角形与反比例函数的综合，核心是通过坐标关系判断是否存在。设A(a， )，直线OA的解析式为，设D(t， )，则E(t， )；过A作AF⊥DE，若AD=AE，则F是DE中点，F的纵坐标为，且F的纵坐标等于A的纵坐标，化简得(t - a)2=0，即t=a，与D不与A重合矛盾，故不存在这样的点E。
（1）解：（1）①当时，，
如图，过点作轴于点，
则，
，
，
平分，，，
，
在和中，
，
的面积为；
②如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
直线的表达式为，直线的表达式为，
设，则，
点是线段的中点，
（2）点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得；理由如下：
设，
点在直线上，则直线的解析式为
点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，
，
当点在线段上时，过点作于点，如图，
则
，，
点是的中点，
的纵坐标为
化简得，，
，
又点不与点重合，
此时不存在点，使得；
当点在线段的延长线上时，过点作于点，如图，
同理可得：当点在线段的延长线上时，不存在点，使得；
综上所述，点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得．
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