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浙江省杭州市萧山区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，直线、相交于点，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
2．红细胞的平均直径是0.000008米．数据0.000008用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列调查中，适合用全面调查方式的是（　　）
A．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命
B．乘坐飞机前对乘客的安检
C．环保部门检测某条河道的水质
D．了解我区初中生每天完成回家作业所需的时间
4．若分式 的值为0，则x的值为
A．3 B． C．3或 D．0
5．下列运算正确的是（　　）
A．aa2=a2 B．（ab）3=ab3 C．（a2）3=a6 D．a10÷a2=a5
6．下列多项式可以用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
7．下列图形中，由，能得到的是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值（　　）
A． B． C． D．
9．已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（　　）
A． B． C． D．
10．我国古代数学名著九章算术中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍．设未知数，，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．因式分解　 　.
12．已知方程 ，用含 的代数式表示 ，则　 　.
13．如图，三角形是由三角形沿射线方向平移得到的，若，则　 　．
14．一次考试中某道单选题的作答情况如图所示，由统计图可得选B的人数是　 　．
15．生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式分解结果为当时，，，此时可得到数字密码将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码，则　 　．
16．在一个边长为的正方形内放置两个形状和大小相同的长方形，若两个长方形重叠部分的面积为，正方形内未被两个长方形盖住部分的面积之和为（阴影部分的面积之和），若，则被放置的长方形的周长是　 　．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．化简：
（1）；
（2）．
18．计算：
（1）；
（2）．
19．解方程（组）：
（1）；
（2）．
20．为了解某区七年级男生的身体素质情况，随机抽取了名男生进行短跑测试，将测试成绩(精确到秒)绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图(每组不含前一个边界值，含后一个边界值)．
名男生短跑成绩的频数表
组别(秒) 频数 频率
合计
名男生短跑成绩的频数直方图
根据表中提供的信息解答下列问题：
（1）频数表中，___________，___________，___________．
（2）把频数直方图补充完整．
（3）若该区七年级共有名男生，请估计短跑成绩小于或等于秒的人数．
21．如图，在四边形中，，分别是边，上的点，连接，过点作，垂足为．已知，．
（1）说明的理由；
（2）说明的理由．
22．已知，，分别求和的值．
23．用如图（1）中的长方形和正方形木板作侧面和底面，做如图（2）的无盖竖式和有盖横式两种木箱，现在仓库里有块正方形木板和块长方形木板．
（1）当，，恰好将库存木板用完，则两种木箱各做了多少个？
（2）当时，且，恰好要将库存木板用完，求整数的值．
24．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题：
（1）分别求出，（可用含有，的代数式表示）；
（2）你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：直线、相交于点，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据对顶角相等求解即可．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000008用科学记数法可表示为．
故答案为：A．
【分析】根据科学记数法的表示形式：，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，写出即可．
3．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、检测灯管寿命需进行破坏性测试，采用抽样调查，A错误；
B、飞机安检涉及安全，必须对每位乘客逐一检查，确保无遗漏，采用全面调查，B正确；
C、河道水质检测范围广，采用抽样调查，C错误；
D、初中生群体庞大，全面调查耗时耗力，采用抽样调查，D错误；
故答案为：B.
【分析】根据全面调查和抽样调查的定义逐一判断即可.
4．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】由分式的值为零的条件得x-3=0，且x+3≠0，
解得x=3.
故答案为：A.
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、aa2=a3，A错误；
B、（ab）3=a3b3，B错误；
C、（a2）3=a6，C正确；
D、a10÷a2=a10-2=a8，D错误，
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则可判断A；根据积的乘方运算法则可判断B；根据幂的乘方运算法则可判断C；根据同底数幂的除法法则可判断D．
6．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、中两平方项均为正，无法用平方差公式分解，A错误；
B、中可变形为，符合平方差公式，可分解为，B正确；
C、中两平方项均为负，无法分解，C错误；
D、为完全平方式，可分解为，不适用平方差公式，D错误．
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式，多项式为两个平方项的差，逐一判断即可．
7．【答案】C
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：A、由，不能得到，A错误；
B、由，不能得到，B错误；
C、由，得，
由于，
由能得到，C正确；
D、由，不能得到，D错误．
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质逐一分析即可．
8．【答案】C
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程，得：
解得
故答案为：C．
【分析】将解代入方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可．
9．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设另一个一次多项式为，
∴，
∵能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，
∴，
∴，
∴，
∴另一个一次多项式为，
故答案为：D.
【分析】设另一个一次多项式为，根据因式分解后与原式系数对应相等，求解即可．
10．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由方程，可知慢马的速度为里/天，规定时间为x天．依题意，得
，
由①，得，
将③代入②，得
，
化简后得：
即．
故答案为：D．
【分析】根据路程相等，建立关于x，y的方程，求解即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据提公因式法提出a，分解因式即可．
12．【答案】
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】3x-y=5，得y=3x 5.
故答案为：y=3x 5.
【分析】利用等式的性质，两边同时加y减5即可得到3x-5=y，再互换位置即可得到：y=3x-5.
13．【答案】
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：将沿射线方向平移得到，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据平移的性质得出，再利用，求出的长即可．
14．【答案】4
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：根据题意总人数为：（人），
则选B的人数是：（人）
故答案为：4．
【分析】先根据统计图中，选择D的人数为10人，占总人数的，求出总人数，再用总人数乘以选择B的百分比计算求解即可．
15．【答案】30
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：由题意得，当时可以得到密码，
则多项式分解的结果为，
展开后为：=，
则m=5，n=6，
∴mn=30；
故答案为：30.
【分析】根据题意可推出多项式因式分解的结果，即可知m，n的值，即可计算答案.
16．【答案】
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设长方形的长是，宽是，
正方形的边长为，
，，
，
两个长方形覆盖的面积为，
，
两个长方形覆盖的面积为，
，
即，
，
，
，
，
，
长方形的周长的，
故答案为：．
【分析】设长方形的长是，宽是，表示出覆盖的面积和未覆盖的面积，再利用正方形的面积列出等式，求解即可．
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式展开，再合并同类项即可；
（2）先根据多项式乘多项式展开，再合并同类项即可．
（1）
；
（2）
．
18．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）先通分，再进行同分母的加法运算，最后化简分式即可；
（2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，最后化简分式即可．
（1）解：原式
；
（2）原式
．
19．【答案】（1）解：，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
故原方程组的解为
（2）解：去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据加减消元法先求出y，再求出x即可；
（2）先去分母将原方程化为整式方程，再求出，检验即可．
（1）解：，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
故原方程组的解为；
（2）原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
20．【答案】（1）50；20；0.1.
（2）补全图形如下：
（3）解人，
答：估计短跑成绩小于或等于秒的人数约为人
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】解：（1），，
，
故答案为：、、；
【分析】（1）根据题意总人数是200，根据频数=总数×频率；则a=200×0.25； b=总人数减去其他组的频数； c=b÷总人数
（2）根据所求a、b的值即可补全图形；
（3）样本中短跑成绩小于或等于13.5秒频率是0.1+0.25=0.35，总人数乘以该频率得到 100m短跑成绩小于或等于13.5秒的人数．
（1）解：，，，
故答案为：、、；
（2）补全图形如下：
（3）人，
答：估计短跑成绩小于或等于秒的人数约为人．
21．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
（2）解：延长交的延长线于点，如图，
，
，
，
，
，
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）先根据内错角相等，两直线平行证出，进而得到，再利用同旁内角互补，两直线平行证出即可；
（2）先根据两直线平行，内错角相等得到，再根据垂直的定义证出即可．
（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）如图，延长交的延长线于点，
，
，
，
，
，
．
22．【答案】解：，
，
，
，
，
解得：，
，
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】先将两边同时平方，再利用完全平方公式展开，进而代值计算求出的值即可；再计算的值后求得其平方根即可．
23．【答案】（1）解：设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个，
根据题意得：，
解得：．
答：无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个
（2）解：设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个，
根据题意得：，
，
，
解得：，
又，均为正整数，
可以为，
．
答：的值为．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个，根据制作的两种木箱正好使用个正方形木板和个长方形木板，列出关于，的二元一次方程组，求解即可；
（2）设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个，根据两种木箱每个均需使用个长方形木板，可找出，进而列出关于的一元一次不等式组，求出的取值范围，进而求解即可．
（1）解：设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个，
根据题意得：，
解得：．
答：无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个；
（2）设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个，
根据题意得：，
，
，
解得：，
又，均为正整数，
可以为，
．
答：的值为．
24．【答案】（1）解：设甲什锦糖由相同质量的A，两种糖果混合，设质量各为千克，
则售价为：元千克，
乙什锦糖由总价相同的A、两种糖果混合，设总价各为元，
则售价为：元千克，
答：甲、乙两种什锦糖的售价应为元千克，元千克
（2）解：购买乙种什锦糖较便宜，理由如下：
．
，，，
．
甲的售价高于乙的售价，
购买乙种什锦糖较便宜
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）设质量各为千克，根据单价=总价÷总量求出甲的售价，设总价各为元，求出乙的售价即可；
（2）利用作差法求出，再根据非负数的意义判断比较大小即可．
（1）解：设甲什锦糖由相同质量的A，两种糖果混合，设质量各为千克，
则售价为：元千克，
乙什锦糖由总价相同的A、两种糖果混合，设总价各为元，
则售价为：元千克，
答：甲、乙两种什锦糖的售价应为元千克，元千克．
（2）解：购买乙种什锦糖较便宜，理由如下：
．
，，，
．
甲的售价高于乙的售价，
购买乙种什锦糖较便宜．
1 / 1浙江省杭州市萧山区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，直线、相交于点，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：直线、相交于点，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据对顶角相等求解即可．
2．红细胞的平均直径是0.000008米．数据0.000008用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000008用科学记数法可表示为．
故答案为：A．
【分析】根据科学记数法的表示形式：，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，写出即可．
3．下列调查中，适合用全面调查方式的是（　　）
A．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命
B．乘坐飞机前对乘客的安检
C．环保部门检测某条河道的水质
D．了解我区初中生每天完成回家作业所需的时间
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、检测灯管寿命需进行破坏性测试，采用抽样调查，A错误；
B、飞机安检涉及安全，必须对每位乘客逐一检查，确保无遗漏，采用全面调查，B正确；
C、河道水质检测范围广，采用抽样调查，C错误；
D、初中生群体庞大，全面调查耗时耗力，采用抽样调查，D错误；
故答案为：B.
【分析】根据全面调查和抽样调查的定义逐一判断即可.
4．若分式 的值为0，则x的值为
A．3 B． C．3或 D．0
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】由分式的值为零的条件得x-3=0，且x+3≠0，
解得x=3.
故答案为：A.
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值.
5．下列运算正确的是（　　）
A．aa2=a2 B．（ab）3=ab3 C．（a2）3=a6 D．a10÷a2=a5
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、aa2=a3，A错误；
B、（ab）3=a3b3，B错误；
C、（a2）3=a6，C正确；
D、a10÷a2=a10-2=a8，D错误，
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则可判断A；根据积的乘方运算法则可判断B；根据幂的乘方运算法则可判断C；根据同底数幂的除法法则可判断D．
6．下列多项式可以用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、中两平方项均为正，无法用平方差公式分解，A错误；
B、中可变形为，符合平方差公式，可分解为，B正确；
C、中两平方项均为负，无法分解，C错误；
D、为完全平方式，可分解为，不适用平方差公式，D错误．
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式，多项式为两个平方项的差，逐一判断即可．
7．下列图形中，由，能得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：A、由，不能得到，A错误；
B、由，不能得到，B错误；
C、由，得，
由于，
由能得到，C正确；
D、由，不能得到，D错误．
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质逐一分析即可．
8．已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程，得：
解得
故答案为：C．
【分析】将解代入方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可．
9．已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设另一个一次多项式为，
∴，
∵能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，
∴，
∴，
∴，
∴另一个一次多项式为，
故答案为：D.
【分析】设另一个一次多项式为，根据因式分解后与原式系数对应相等，求解即可．
10．我国古代数学名著九章算术中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍．设未知数，，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由方程，可知慢马的速度为里/天，规定时间为x天．依题意，得
，
由①，得，
将③代入②，得
，
化简后得：
即．
故答案为：D．
【分析】根据路程相等，建立关于x，y的方程，求解即可．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．因式分解　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据提公因式法提出a，分解因式即可．
12．已知方程 ，用含 的代数式表示 ，则　 　.
【答案】
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】3x-y=5，得y=3x 5.
故答案为：y=3x 5.
【分析】利用等式的性质，两边同时加y减5即可得到3x-5=y，再互换位置即可得到：y=3x-5.
13．如图，三角形是由三角形沿射线方向平移得到的，若，则　 　．
【答案】
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：将沿射线方向平移得到，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据平移的性质得出，再利用，求出的长即可．
14．一次考试中某道单选题的作答情况如图所示，由统计图可得选B的人数是　 　．
【答案】4
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：根据题意总人数为：（人），
则选B的人数是：（人）
故答案为：4．
【分析】先根据统计图中，选择D的人数为10人，占总人数的，求出总人数，再用总人数乘以选择B的百分比计算求解即可．
15．生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式分解结果为当时，，，此时可得到数字密码将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码，则　 　．
【答案】30
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：由题意得，当时可以得到密码，
则多项式分解的结果为，
展开后为：=，
则m=5，n=6，
∴mn=30；
故答案为：30.
【分析】根据题意可推出多项式因式分解的结果，即可知m，n的值，即可计算答案.
16．在一个边长为的正方形内放置两个形状和大小相同的长方形，若两个长方形重叠部分的面积为，正方形内未被两个长方形盖住部分的面积之和为（阴影部分的面积之和），若，则被放置的长方形的周长是　 　．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设长方形的长是，宽是，
正方形的边长为，
，，
，
两个长方形覆盖的面积为，
，
两个长方形覆盖的面积为，
，
即，
，
，
，
，
，
长方形的周长的，
故答案为：．
【分析】设长方形的长是，宽是，表示出覆盖的面积和未覆盖的面积，再利用正方形的面积列出等式，求解即可．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式展开，再合并同类项即可；
（2）先根据多项式乘多项式展开，再合并同类项即可．
（1）
；
（2）
．
18．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）先通分，再进行同分母的加法运算，最后化简分式即可；
（2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，最后化简分式即可．
（1）解：原式
；
（2）原式
．
19．解方程（组）：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
故原方程组的解为
（2）解：去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据加减消元法先求出y，再求出x即可；
（2）先去分母将原方程化为整式方程，再求出，检验即可．
（1）解：，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
故原方程组的解为；
（2）原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
20．为了解某区七年级男生的身体素质情况，随机抽取了名男生进行短跑测试，将测试成绩(精确到秒)绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图(每组不含前一个边界值，含后一个边界值)．
名男生短跑成绩的频数表
组别(秒) 频数 频率
合计
名男生短跑成绩的频数直方图
根据表中提供的信息解答下列问题：
（1）频数表中，___________，___________，___________．
（2）把频数直方图补充完整．
（3）若该区七年级共有名男生，请估计短跑成绩小于或等于秒的人数．
【答案】（1）50；20；0.1.
（2）补全图形如下：
（3）解人，
答：估计短跑成绩小于或等于秒的人数约为人
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】解：（1），，
，
故答案为：、、；
【分析】（1）根据题意总人数是200，根据频数=总数×频率；则a=200×0.25； b=总人数减去其他组的频数； c=b÷总人数
（2）根据所求a、b的值即可补全图形；
（3）样本中短跑成绩小于或等于13.5秒频率是0.1+0.25=0.35，总人数乘以该频率得到 100m短跑成绩小于或等于13.5秒的人数．
（1）解：，，，
故答案为：、、；
（2）补全图形如下：
（3）人，
答：估计短跑成绩小于或等于秒的人数约为人．
21．如图，在四边形中，，分别是边，上的点，连接，过点作，垂足为．已知，．
（1）说明的理由；
（2）说明的理由．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
（2）解：延长交的延长线于点，如图，
，
，
，
，
，
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）先根据内错角相等，两直线平行证出，进而得到，再利用同旁内角互补，两直线平行证出即可；
（2）先根据两直线平行，内错角相等得到，再根据垂直的定义证出即可．
（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）如图，延长交的延长线于点，
，
，
，
，
，
．
22．已知，，分别求和的值．
【答案】解：，
，
，
，
，
解得：，
，
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】先将两边同时平方，再利用完全平方公式展开，进而代值计算求出的值即可；再计算的值后求得其平方根即可．
23．用如图（1）中的长方形和正方形木板作侧面和底面，做如图（2）的无盖竖式和有盖横式两种木箱，现在仓库里有块正方形木板和块长方形木板．
（1）当，，恰好将库存木板用完，则两种木箱各做了多少个？
（2）当时，且，恰好要将库存木板用完，求整数的值．
【答案】（1）解：设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个，
根据题意得：，
解得：．
答：无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个
（2）解：设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个，
根据题意得：，
，
，
解得：，
又，均为正整数，
可以为，
．
答：的值为．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个，根据制作的两种木箱正好使用个正方形木板和个长方形木板，列出关于，的二元一次方程组，求解即可；
（2）设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个，根据两种木箱每个均需使用个长方形木板，可找出，进而列出关于的一元一次不等式组，求出的取值范围，进而求解即可．
（1）解：设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个，
根据题意得：，
解得：．
答：无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个；
（2）设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个，
根据题意得：，
，
，
解得：，
又，均为正整数，
可以为，
．
答：的值为．
24．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题：
（1）分别求出，（可用含有，的代数式表示）；
（2）你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？
【答案】（1）解：设甲什锦糖由相同质量的A，两种糖果混合，设质量各为千克，
则售价为：元千克，
乙什锦糖由总价相同的A、两种糖果混合，设总价各为元，
则售价为：元千克，
答：甲、乙两种什锦糖的售价应为元千克，元千克
（2）解：购买乙种什锦糖较便宜，理由如下：
．
，，，
．
甲的售价高于乙的售价，
购买乙种什锦糖较便宜
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）设质量各为千克，根据单价=总价÷总量求出甲的售价，设总价各为元，求出乙的售价即可；
（2）利用作差法求出，再根据非负数的意义判断比较大小即可．
（1）解：设甲什锦糖由相同质量的A，两种糖果混合，设质量各为千克，
则售价为：元千克，
乙什锦糖由总价相同的A、两种糖果混合，设总价各为元，
则售价为：元千克，
答：甲、乙两种什锦糖的售价应为元千克，元千克．
（2）解：购买乙种什锦糖较便宜，理由如下：
．
，，，
．
甲的售价高于乙的售价，
购买乙种什锦糖较便宜．
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