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浙江省绍兴市越城区元培中学2024--2025学年下学期七年级期末教学质量调测数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分．）
1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．已知二元一次方程，用关于的代数式表示，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，分别在边，上，连结，，若，则下列结论中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，将图形平移到图形，下列平移方法正确的是（　　）
A．将图形先向下平移5格，再向左平移2格
B．将图形先向下平移4格，再向左平移3格
C．将图形先向下平移3格，再向左平移5格
D．将图形先向下平移5格，再向左平移3格
7．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．下面四个备选答案所提供的整式中，表示图中阴影部分面积的是（　　）
A． B． C． D．
9．有研究显示，中学生每日食物摄取量应保持均衡，才能更好地生长发育．若用扇形统计图表示图中，，，，各类食物摄取量所占的比例，则表示食物的圆心角度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图1，已知长方形纸片，将纸片沿折叠，点分别落在点，的位置，与交于点，再沿折叠成图2，若，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有7小题，每小题3分，共21分．请将本题答案用签字笔或钢笔写在答题卡对应答题区域内．）
11．当　 　时，分式的值是零．
12．计算的结果为　 　．
13．若是二元一次方程（为常数）的一个解，则　 　．
14．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为　 　．
15．如图，CD平分∠ACB，DE∥AC．若∠1＝35°，则∠2＝　 　度．
16．若，．则　 　．
17．如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则　 　．
三、解答题（本题共有7小题，共49分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．）
18．解答下列各题：
（1）解分式方程：．
（2）先化简，再求值：，其中．
19．因式分解：
（1）．
（2）．
20．为增强学生体质，丰富课余生活，某校开设了“A．篮球飞人；B．排球英雄；C．足球小将；D．乒乓飞舞”四门体育类拓展课程．要求学生全员参加且每人只能参加其中一项．为初步估计学生的报名情况，校体育教研组随机调查了部分学生，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数．
（2）求在扇形统计图中“B．排球英雄”课程所对应的扇形圆心角的度数，并把条形统计图补充完整．
（3）若学校共有900名学生，请根据以上信息估计报名参加“A．篮球飞人”课程的学生人数．
21．对于一个几何图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如由图1，我们可以得到等式：
解答下列问题：
（1）由图2可以得到：_____．
（2）利用图2所得到的等式解答下列问题．
①若实数，，满足：，．求的值．
②若实数，，满足：，．求的值．
22．某地积极推进实施垃圾分类投放的举措．居民需要将垃圾分为“可回收垃圾”“易腐垃圾”“有害垃圾”“其他垃圾”四类进行分类投放．某小区为了鼓励小区居民积极参与垃圾分类，决定设立垃圾正确投放积分奖励机制．规则如下表：
垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾
每公斤获得积分（分）
积分可以兑换部分商品，具体细则如下表：
物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张
积分数
已知公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可以获得积分；公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可获得积分．
（1）求，的值．
（2）小敏家一季度共有公斤可回收垃圾，公斤易腐垃圾，公斤有害垃圾．小敏妈妈决定将这一季度获得的所有积分都兑换成“垃圾袋”和“小区临时停车券”这两类物品，请你运用所学的数学知识推理得到具体的兑换方案．
23．【问题提出】已知多项式有一个因式为，求的值．
【问题解决】小敏经过思考，提供两种解决思路．
思路一：设，
则，
比较系数得，
解得，
．
思路二：设（为一个整式），
由于上式是一个恒等式，为方便计算，我们不妨取，
代入可得：，故．
【模仿运用】已知多项式可因式分解为，求和的值．
【迁移解决】已知多项式有两个因式分别是和，求和的值．
24．将分别含有和角的两块直角三角板的最长边部分重叠地摆放在一起，边在直线上，点在直线上，且，与交于点，，．
（1）填空：如图1，_____．
（2）如图2，将直角三角板沿射线方向平移，当点恰好落在直线上时，求的度数．
（3）如图3，将直角三角板沿射线方向平移到的位置，若点是的中点，且，求平移的距离．
（4）将直角三角板沿直线平移，在平移过程中，始终保持两直角三角板的直角顶点在直线的两侧，则当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、，含项，次数为2，A错误；
B、，化简为，符合二元一次方程定义，B正确；
C、，分母含未知数，属于分式方程，C错误；
D、，仅含一个未知数且次数为2，D错误．
故答案为：B．
【分析】根据二元一次方程的条件：①含有两个未知数；②未知数的次数为1；③整式方程，逐一分析即可．
2．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：，
，
故答案为：C．
【分析】根据分式有意义条件：分母不为0，求解即可．
3．【答案】B
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：原方程为．
移项：得．
系数化为1：得．
故答案为：B．
【分析】通过移项和系数化为，用表示即可．
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A正确；
B、，B不正确；
C、，C不正确；
D、，D不正确；
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的乘法法则可判断A；根据幂的乘方可判断B；根据合并同类项法则可判断C；根据积的乘方可判断D．
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-证明问题；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据内错角相等，两直线平行得到，再根据两直线平行，内错角相等、同位角相等、同旁内角互补证出即可．
6．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由图可得将图形平移到图形，可以是将图形先向下平移5格，再向左平移3格，
故答案为：D．
【分析】根据图形平移的性质写出即可．
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：依题意，得： ，
故答案为：A.
【分析】由题意可得相等关系“甲的钱+乙的钱的一半=50；乙的钱+甲所有钱的=50”，根据相等关系即可列方程组.
8．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：图中阴影部分面积为：，或或，
故答案为：D．
【分析】根据图形列式表示出该阴影部分的面积，再运用单项式乘多项式和多项式乘多项式的乘法法则进行化简、计算即可．
9．【答案】C
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C．
【分析】根据食物的摄取量占总摄取量的百分比，再乘以360°即可．
10．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∵长方形，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据图2可得，
∴
故答案为：B．
【分析】根据折叠的性质和平角得到∠EFB，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，进而求出，最后根据折叠的性质和角的关系求解即可．
11．【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值是零，
∴，且，
∴且，
故答案为：．
【分析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0，列式求解即可．
12．【答案】
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据单项式除以单项式的运算法则计算求解即可．
13．【答案】
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程（为常数）的一个解，
∴，
解得：
故答案为：．
【分析】将代入，求解即可．
14．【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据分式的基本性质，将分子、分母同乘10即可．
15．【答案】70
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB，∠1＝35°，
∴∠ACB=2∠1=70°，
∵DE∥AC．
∴∠2=∠ACB=70°．
故答案为：70.
【分析】先根据角平分线的定义得到∠ACB，再根据两直线平行，同位角相等求解即可.
16．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：将，两式相加，
可得：，
即：，
解得：，
故答案为：．
【分析】先将两式相加，再利用完全平方公式求解即可．
17．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点作，如图所示，
，
，
，，
，
又平分，
，
，
：：，，
，
，
故答案为：．
【分析】过点作，先根据平行的传递性和两直线平行，内错角相等求出∠PHA，再利用角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠AFH，进而根据角的关系求出∠QCH，最后根据三角形的内角和定理计算即可．
18．【答案】（1）解：去分母得：，
移项得-x=-19，
解得：，
经检验，是原分式方程的解
（2）解：，
，
，
当时，原式
【知识点】解分式方程；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先去分母，移项，系数化为1求出x，最后检验即可．
（2）先利用多项式乘多项式和单项式乘多项式法则化简，再合并同类项，最后将代入计算即可．
（1）解：对分式方程去分母，等号两边同时乘，
得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解．
（2）解：，
，
，
当时，原式．
19．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提公因式，再根据平方差公式因式分解即可；
（2）根据完全平方公式因式分解即可．
（1）解：
（2）解：．
20．【答案】（1）解：（人），
∴本次调查的学生人数为人
（2）解：课程的人数为（人），
∴课程所对圆心角的度数为，
补全图形如下，
（3）解：（人），
∴报名“篮球飞人”课程的学生大约有人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据总人数=D项目的人数÷D百分比求解即可；
（2）先计算出B课程的人数，再根据B课程的人数÷总人数×360°计算圆心角度数，最后补全条形统计图即可；
（3）先求出样本中篮球飞人百分比，再用百分比乘总体数量求解即可．
（1）解：（人），
∴本次调查的学生人数为人；
（2）解：课程的人数为（人），
∴课程所对圆心角的度数为，
补全图形如下，
（3）解：（人），
∴报名“篮球飞人”课程的学生大约有人．
21．【答案】（1）
（2）解：①由图2得，
∵，，
，，
∴．
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
又，
∴，
∴
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）由图知，．
故答案为：.
【分析】（1）根据大正方形面积等于六个小正方形面积之和列出等式即可；
（2）①根据（1）的结论代值计算即可；
②先将用幂的形式表示出来，再结合（1）的结论求解即可．
（1）解：由图知，．
（2）解：①由图2得，
∵，，
，，
∴．
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
又，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：根据题意得：，
解得：；
（2）解：共有积分为：，设兑换垃圾袋s卷，5元话费券t张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张，
∴由题意得：
化简得：，
∵s，t，m，n都为非负整数，15，20，10均为5的倍数，
∴
∴原式化为：，
∴；或，
有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】（1）根据公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可以获得积分；公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可获得积分列出方程组，求解即可；
（2）根据积分情况列出方程，再根据s，t，m，n都为非负整数，讨论求解即可．
（1）解：根据题意得：，
解得：；
（2）解：共有积分为：，
设兑换垃圾袋s卷，5元话费券t张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张，
∴由题意得：
化简得：，
∵s，t，m，n都为非负整数，15，20，10均为5的倍数，
∴
∴原式化为：，
∴；或，
有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张．
23．【答案】[模仿运用]解：∵，
，
∴；
[迁移解决]解：已知多项式有两个因式分别是和，
∴时，，
当时，，
解得：，
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【分析】[模仿运用]根据按多项式乘多项式展开，再系数对应相等求解即可；
[迁移解决]将和代入多项式，得到二元一次方程组，求解即可．
24．【答案】（1）
（2）解：由（1）知：，∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：∵点是的中点，∴，
设，则，
∵将沿射线的方向平移到'的位置，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即平移的距离是；
（4）或
【知识点】三角形内角和定理；平移的性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
（4）当时，如图所示，
由（1）知：，
∴，
∴
当时，如图所示，
∵，
∴点，重合，
∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴
综上所述，当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，度数为或．
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补得到∠NAC，进而得到∠BAN，再根据两直线平行，同位角相等和三角形内角和定理求出即可；
（2）先根据三角形内角和定理求出，再根据直角和平角的定义求解即可；
（3）设，则，先根据平移的性质得，由再根据线段关系求解即可；
（4）分或两种情况讨论即可．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
（2）由（1）知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）∵点是的中点，
∴，
设，则，
∵将沿射线的方向平移到'的位置，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即平移的距离是；
（4）当时，如图，
由（1）知：，
∴，
∴
当时，如图，
∵，
∴点，重合，
∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴
综上所述，当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，度数为或．
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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分．）
1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、，含项，次数为2，A错误；
B、，化简为，符合二元一次方程定义，B正确；
C、，分母含未知数，属于分式方程，C错误；
D、，仅含一个未知数且次数为2，D错误．
故答案为：B．
【分析】根据二元一次方程的条件：①含有两个未知数；②未知数的次数为1；③整式方程，逐一分析即可．
2．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：，
，
故答案为：C．
【分析】根据分式有意义条件：分母不为0，求解即可．
3．已知二元一次方程，用关于的代数式表示，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：原方程为．
移项：得．
系数化为1：得．
故答案为：B．
【分析】通过移项和系数化为，用表示即可．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A正确；
B、，B不正确；
C、，C不正确；
D、，D不正确；
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的乘法法则可判断A；根据幂的乘方可判断B；根据合并同类项法则可判断C；根据积的乘方可判断D．
5．如图，在中，，分别在边，上，连结，，若，则下列结论中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-证明问题；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据内错角相等，两直线平行得到，再根据两直线平行，内错角相等、同位角相等、同旁内角互补证出即可．
6．如图，将图形平移到图形，下列平移方法正确的是（　　）
A．将图形先向下平移5格，再向左平移2格
B．将图形先向下平移4格，再向左平移3格
C．将图形先向下平移3格，再向左平移5格
D．将图形先向下平移5格，再向左平移3格
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由图可得将图形平移到图形，可以是将图形先向下平移5格，再向左平移3格，
故答案为：D．
【分析】根据图形平移的性质写出即可．
7．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：依题意，得： ，
故答案为：A.
【分析】由题意可得相等关系“甲的钱+乙的钱的一半=50；乙的钱+甲所有钱的=50”，根据相等关系即可列方程组.
8．下面四个备选答案所提供的整式中，表示图中阴影部分面积的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：图中阴影部分面积为：，或或，
故答案为：D．
【分析】根据图形列式表示出该阴影部分的面积，再运用单项式乘多项式和多项式乘多项式的乘法法则进行化简、计算即可．
9．有研究显示，中学生每日食物摄取量应保持均衡，才能更好地生长发育．若用扇形统计图表示图中，，，，各类食物摄取量所占的比例，则表示食物的圆心角度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C．
【分析】根据食物的摄取量占总摄取量的百分比，再乘以360°即可．
10．如图1，已知长方形纸片，将纸片沿折叠，点分别落在点，的位置，与交于点，再沿折叠成图2，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∵长方形，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据图2可得，
∴
故答案为：B．
【分析】根据折叠的性质和平角得到∠EFB，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，进而求出，最后根据折叠的性质和角的关系求解即可．
二、填空题（本题有7小题，每小题3分，共21分．请将本题答案用签字笔或钢笔写在答题卡对应答题区域内．）
11．当　 　时，分式的值是零．
【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值是零，
∴，且，
∴且，
故答案为：．
【分析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0，列式求解即可．
12．计算的结果为　 　．
【答案】
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据单项式除以单项式的运算法则计算求解即可．
13．若是二元一次方程（为常数）的一个解，则　 　．
【答案】
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程（为常数）的一个解，
∴，
解得：
故答案为：．
【分析】将代入，求解即可．
14．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为　 　．
【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据分式的基本性质，将分子、分母同乘10即可．
15．如图，CD平分∠ACB，DE∥AC．若∠1＝35°，则∠2＝　 　度．
【答案】70
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB，∠1＝35°，
∴∠ACB=2∠1=70°，
∵DE∥AC．
∴∠2=∠ACB=70°．
故答案为：70.
【分析】先根据角平分线的定义得到∠ACB，再根据两直线平行，同位角相等求解即可.
16．若，．则　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：将，两式相加，
可得：，
即：，
解得：，
故答案为：．
【分析】先将两式相加，再利用完全平方公式求解即可．
17．如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点作，如图所示，
，
，
，，
，
又平分，
，
，
：：，，
，
，
故答案为：．
【分析】过点作，先根据平行的传递性和两直线平行，内错角相等求出∠PHA，再利用角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠AFH，进而根据角的关系求出∠QCH，最后根据三角形的内角和定理计算即可．
三、解答题（本题共有7小题，共49分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．）
18．解答下列各题：
（1）解分式方程：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：去分母得：，
移项得-x=-19，
解得：，
经检验，是原分式方程的解
（2）解：，
，
，
当时，原式
【知识点】解分式方程；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先去分母，移项，系数化为1求出x，最后检验即可．
（2）先利用多项式乘多项式和单项式乘多项式法则化简，再合并同类项，最后将代入计算即可．
（1）解：对分式方程去分母，等号两边同时乘，
得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解．
（2）解：，
，
，
当时，原式．
19．因式分解：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提公因式，再根据平方差公式因式分解即可；
（2）根据完全平方公式因式分解即可．
（1）解：
（2）解：．
20．为增强学生体质，丰富课余生活，某校开设了“A．篮球飞人；B．排球英雄；C．足球小将；D．乒乓飞舞”四门体育类拓展课程．要求学生全员参加且每人只能参加其中一项．为初步估计学生的报名情况，校体育教研组随机调查了部分学生，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数．
（2）求在扇形统计图中“B．排球英雄”课程所对应的扇形圆心角的度数，并把条形统计图补充完整．
（3）若学校共有900名学生，请根据以上信息估计报名参加“A．篮球飞人”课程的学生人数．
【答案】（1）解：（人），
∴本次调查的学生人数为人
（2）解：课程的人数为（人），
∴课程所对圆心角的度数为，
补全图形如下，
（3）解：（人），
∴报名“篮球飞人”课程的学生大约有人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据总人数=D项目的人数÷D百分比求解即可；
（2）先计算出B课程的人数，再根据B课程的人数÷总人数×360°计算圆心角度数，最后补全条形统计图即可；
（3）先求出样本中篮球飞人百分比，再用百分比乘总体数量求解即可．
（1）解：（人），
∴本次调查的学生人数为人；
（2）解：课程的人数为（人），
∴课程所对圆心角的度数为，
补全图形如下，
（3）解：（人），
∴报名“篮球飞人”课程的学生大约有人．
21．对于一个几何图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如由图1，我们可以得到等式：
解答下列问题：
（1）由图2可以得到：_____．
（2）利用图2所得到的等式解答下列问题．
①若实数，，满足：，．求的值．
②若实数，，满足：，．求的值．
【答案】（1）
（2）解：①由图2得，
∵，，
，，
∴．
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
又，
∴，
∴
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）由图知，．
故答案为：.
【分析】（1）根据大正方形面积等于六个小正方形面积之和列出等式即可；
（2）①根据（1）的结论代值计算即可；
②先将用幂的形式表示出来，再结合（1）的结论求解即可．
（1）解：由图知，．
（2）解：①由图2得，
∵，，
，，
∴．
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
又，
∴，
∴．
22．某地积极推进实施垃圾分类投放的举措．居民需要将垃圾分为“可回收垃圾”“易腐垃圾”“有害垃圾”“其他垃圾”四类进行分类投放．某小区为了鼓励小区居民积极参与垃圾分类，决定设立垃圾正确投放积分奖励机制．规则如下表：
垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾
每公斤获得积分（分）
积分可以兑换部分商品，具体细则如下表：
物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张
积分数
已知公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可以获得积分；公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可获得积分．
（1）求，的值．
（2）小敏家一季度共有公斤可回收垃圾，公斤易腐垃圾，公斤有害垃圾．小敏妈妈决定将这一季度获得的所有积分都兑换成“垃圾袋”和“小区临时停车券”这两类物品，请你运用所学的数学知识推理得到具体的兑换方案．
【答案】（1）解：根据题意得：，
解得：；
（2）解：共有积分为：，设兑换垃圾袋s卷，5元话费券t张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张，
∴由题意得：
化简得：，
∵s，t，m，n都为非负整数，15，20，10均为5的倍数，
∴
∴原式化为：，
∴；或，
有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】（1）根据公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可以获得积分；公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可获得积分列出方程组，求解即可；
（2）根据积分情况列出方程，再根据s，t，m，n都为非负整数，讨论求解即可．
（1）解：根据题意得：，
解得：；
（2）解：共有积分为：，
设兑换垃圾袋s卷，5元话费券t张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张，
∴由题意得：
化简得：，
∵s，t，m，n都为非负整数，15，20，10均为5的倍数，
∴
∴原式化为：，
∴；或，
有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张．
23．【问题提出】已知多项式有一个因式为，求的值．
【问题解决】小敏经过思考，提供两种解决思路．
思路一：设，
则，
比较系数得，
解得，
．
思路二：设（为一个整式），
由于上式是一个恒等式，为方便计算，我们不妨取，
代入可得：，故．
【模仿运用】已知多项式可因式分解为，求和的值．
【迁移解决】已知多项式有两个因式分别是和，求和的值．
【答案】[模仿运用]解：∵，
，
∴；
[迁移解决]解：已知多项式有两个因式分别是和，
∴时，，
当时，，
解得：，
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【分析】[模仿运用]根据按多项式乘多项式展开，再系数对应相等求解即可；
[迁移解决]将和代入多项式，得到二元一次方程组，求解即可．
24．将分别含有和角的两块直角三角板的最长边部分重叠地摆放在一起，边在直线上，点在直线上，且，与交于点，，．
（1）填空：如图1，_____．
（2）如图2，将直角三角板沿射线方向平移，当点恰好落在直线上时，求的度数．
（3）如图3，将直角三角板沿射线方向平移到的位置，若点是的中点，且，求平移的距离．
（4）将直角三角板沿直线平移，在平移过程中，始终保持两直角三角板的直角顶点在直线的两侧，则当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出的度数．
【答案】（1）
（2）解：由（1）知：，∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：∵点是的中点，∴，
设，则，
∵将沿射线的方向平移到'的位置，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即平移的距离是；
（4）或
【知识点】三角形内角和定理；平移的性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
（4）当时，如图所示，
由（1）知：，
∴，
∴
当时，如图所示，
∵，
∴点，重合，
∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴
综上所述，当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，度数为或．
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补得到∠NAC，进而得到∠BAN，再根据两直线平行，同位角相等和三角形内角和定理求出即可；
（2）先根据三角形内角和定理求出，再根据直角和平角的定义求解即可；
（3）设，则，先根据平移的性质得，由再根据线段关系求解即可；
（4）分或两种情况讨论即可．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
（2）由（1）知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）∵点是的中点，
∴，
设，则，
∵将沿射线的方向平移到'的位置，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即平移的距离是；
（4）当时，如图，
由（1）知：，
∴，
∴
当时，如图，
∵，
∴点，重合，
∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴
综上所述，当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，度数为或．
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