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浙江嘉兴海宁市王国维初级中学集团2024-2025学年八年级下学期期末模拟数学试卷
一、选择题（每小题有4个选项，其中有旦只有一个正确，每小题3分；共30分）
1．下列函数中，是反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程时，原方程应变形为（　　）
A． B． C． D．
4．用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（　　）
A． B． C． D．
5．某快递员十二月份送餐统计数据如下表：
送餐距离 小于等于3公里 大于3公里
占比
送餐费 4元单 6元单
则该快递员十二月份平均每单送餐费是（　　）
A．元 B．元 C．5元 D．元
6．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出人相补法．如图，在中，分别取的中点，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形，若，则的面积是（　　）
A．60 B．48 C．36 D．24
7．甲乙丙三人用同一张矩形纸张接力进行如图所示的操作：甲任意画一个△ABC，折叠纸张使得点A与点C重合，折痕与AC边交于点O；乙再折出射线BO，点E在线段BO延长线上；丙再折叠纸张使得OB落在OE上，点B对应点为点D，连接AD、DC；则下列说法错误的是（　　）
A．四边形为平行四边形
B．中，若，则四边形为矩形
C．若，则四边形为正方形
D．若射线平分，则四边形为菱形
8．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，根据题意可列方程为（　　）
A． B． C． D．
9．已知点，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为（　　）
A．5 B．2 C．2 D．3
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．若式子有意义，则x的取值范围是　 　 ．
12．已知一个多边形的内角和是外角和的2倍．那么这个多边形的边数为　 　．
13．若数据1，1，3，，2的平均数是2，则中位数是　 　．
14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　 　．
15．如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为　 　．
16．如图，点是平行四边形内一点，与轴平行，与轴平行，，，的面积等于3．若反比例函数的图象经过、两点．则　 　；　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17~22每题6分，第23，24题每题8分，共52分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解方程：
（1）；
（2）．
19．如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连结，交于点，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，求的度数．
20．小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对这两名同学进行了5次测试，两人5次测试的成绩（满分10分）如下：小聪：8，8，7，8，9；小明：10，9，7，5，9
（1）填写下表：
　 平均数 众数 中位数 方差
小聪 8 　 8 0.4
小明 8 9 　 3.2
（2）根据上面的计算，老师选择小聪代表班级参赛，理由是什么？
（3）如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的方差_____．（填“变大”、“变小”或“不变”）
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）直接写出不等式的解．
（3）点为反比例函数图象上的任意一点，若，直接写出点的坐标．
22．如图，已知四边形是菱形，延长到点E使，延长到点F使，连接，，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若平分，菱形的边长为4，求矩形的面积．
23．根据以下销售情况，解决销售任务．
　 销售情况
　 公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，它们的销售情况如下：
店面 甲店 乙店
日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出30件，每件盈利30元．
市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天各多售出2件
惰况设置 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元（a，b均为整数）．
任务解决
任务1 甲店销售的衬衫，每件利润为_____元（用含的代数式表示）． 乙店销售的衬衫，每天的销售量为_____（用含的代数式表示）．
任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利．
任务3 当时，请分别求出甲、乙两店每件衬衫下降各多少元，甲、乙两店一天的盈利之和为2200元．
24．如图，已知矩形纸片，，，点在上，且．将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交边于点，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求与的长．
（3）当是以为腰的等腰三角形时，直接写出，之间应满足的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，故此选项不符合题意；
B、符合反比例函数的定义，故此选项符合题意；
C、是一次函数，不是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、是二次函数，不是反比例函数，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】形如“(k是常数，且k≠0)”的函数就是反比例函数，反比例函数也可以写成y=kx-1或xy=k(k为常数，且k≠0)的形式，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.
与
不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
B.
，故不符合题意；
C.
，故不符合题意；
D.
，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的加减、乘除分别计算，再判断即可.
3．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程：．
移常数项：将移到右边，得．
配方：方程两边同时加一次项系数一半的平方得：
化简：左边写成完全平方形式，右边合并常数，得：
因此，原方程变形为．
故答案为：C.
【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，且二次项系数为1，故利用配方法求解时，首先将常数项移到方程的右边，然后方程的两边都加上一次项系数一半的平方“4”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
4．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在中，若，则”，
第一步应是假设，
故答案为：A．
【分析】反证法的步骤是：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立.要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须全部否定，据此解答即可.
5．【答案】A
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：该快递员十二月份平均每单送餐费是：（元），
故答案为：A．
【分析】平均每单送餐费等于两种距离的送餐费分别乘以其占比，再将结果相加即可.
6．【答案】B
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：点，分别为，的中点，
是的中位线，，
，
在和中，
，
，
∴，
长方形的面积为：，
的面积是48，
故答案为：B．
【分析】根据中点定义得出AD=BD，由三角形中位线等于第三边的一半得出BC=2DE=12，然后根据“AAS”判断出△AFD≌△BGD，由全等三角形的对应边相等得出GB=AF=4，从而根据长方形面积计算公式算出长方形BCHG的面积，从而即可得出△ABC的面积.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：A、根据题意得：，
∴四边形为平行四边形，故此选项正确，不符合题意；
B、中，若，则，
由选项A得四边形为平行四边形，
∴四边形为矩形，故此选项正确，不符合题意；
C、∵，
∴ 四边形为矩形，故此选项错误，符合题意；
D、∵射线平分，
∴，
由选项A得四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，据此可判断A选项；由三角形内角和定理推出∠B=90°，由有一个内角为直角的平行四边形是矩形得四边形ABCD是矩形，据此可判断B选项；由对角线相等的平行四边形是矩形可判断C选项；由角平分线的定义及平行线的性质可推出∠ABO=∠CBO=∠ADB，由等角对等边得出AB=AD，从而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，据此可判断D选项.
8．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每天遗忘的百分比为，
则，
故答案为：D．
【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、当和同号时，反比例函数在各自象限内随的增大而减小，此时确实导致，但当为负数、为正数时，成立，但为负数，为正数，此时，故此选项不一定成立，不符合题意；
B、由，而，显然仅当时，，故此选项错误，不符合题意；
C、 由，得，，因此，故此选项正确，符合题意；
D、由，代入，得（仅当时，等号成立），故此选项错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】反比例函数图象两支分布在第一、三象限，在每一个象限内，函数值y随x的增大而减小，只有当x1＜x2＜0，后0＜x1＜x2时， y1＞y2，据此可判断A选项；将点A的坐标反比例函数表示出y1，再将x1=kx2代入可得；将点B的坐标反比例函数表示出y2，进而求出，通过比较可得仅当k=1时，y1=ky2，据此可判断B选项；
将点A、B的坐标分别反比例函数表示出y1与y2，由x1+x2=0得x1=-x2，从而用-x2替换x1，再求出y1与y2的和即可判断C选项；将点A、B的坐标分别反比例函数表示出y1与y2，求出y1与y2的乘积后代入x1x2=k可得y1y2=k，通过观察得出仅当k=1时，k2=k，据此可判断D选项.
10．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，
∴CD=AB=3，AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADC=∠DCH=60°，
∵DH⊥BC，
∴∠DHC=90°，
∴∠CDH=90°-∠DCH=30°，
在Rt△DCH中，CH=CD=，
∴DH=，
∴，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴EF=BC，EF∥BC
∴AD=EF，AD∥EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AF∥DE，AF=DE=1，
∵AF⊥BE，
∴DE⊥BE，
∴，
故答案为：D．
【分析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，由平行四边形的性质得CD=AB=3，AD∥BC，AD=BC，由二直线平行，内错角相等得∠ADC=∠DCH=60°，根据含30°角直角三角形的性质求出CH=CD=，进而利用勾股定理算出DH、BD；由平行四边形的对边平行且相等得出EF=BC，EF∥BC，根据等量代换得出AD=EF，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出AD∥EF，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ADEF是平行四边形，由平行四边形的对边相等且平行得出AF∥DE，AF=DE=1，由平行线的性质推出DE⊥BE，最后在Rt△BDE中，利用勾股定理算出BE即可.
11．【答案】x≥﹣2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x+2≥0，
解得：x≥﹣2．
故答案是：x≥﹣2．
【分析】根据二次根式的性质和，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
12．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为，
依题意得，
解得，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【分析】先设这个多边形的边数为n，得出该多边形的内角和为，结合所有多边形外加和都等于360°，从而根据多边形的内角和是外角和的2倍，列方程求解即可．
13．【答案】2
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得，
将这组数据从小到大排列：1，1，2，3，3，
则中位数为2．
故答案为：2．
【分析】根据平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数列出方程，求解得出x的值，从而得到这组数据，进而根据将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，求解即可.
14．【答案】且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母a的不等式组，求解即可得出a的取值范围.
15．【答案】
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
点是的中点，
、、三点在同一直线上，
，
，，
，，
，点O是BD的中点，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】连接AC，先由菱形对角线互相垂直平分得出A、O、C三点在同一直线上，AC⊥BD，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得AC=2OM=4，由中点定义得出则OB=OD=BD=8，在Rt△OBC中，利用勾股定理算出BC，由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠MAC=∠OBC，由等角的同名三角函数值相等及正弦函数的定义可求出MC的长.
16．【答案】；9
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，
四边形是平行四边形，
，
，
轴，
，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
的纵坐标为，
设，则，
反比例函数的图象经过、两点，
，
解得，
．
故答案为：；9．
【分析】过点A作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，由平行四边形性质得OA∥BC，OA=BC，由二直线平行，内错角相等得∠AOM=∠CNM，由二直线平行，同位角相等得∠CBD=∠CNM，则∠AOM=∠CBD，从而由“AAS”可证△AOM≌△CBD，由全等三角形的对应边相等得出，利用三角形面积公式建立方程求出AE的长，由邻补角求出∠ADE=45°，则△ADE是等腰直角三角形，得出DE=AE，根据勾股定理即可得出的值；设，则，根据反比例函数图象上任意一点横纵坐标的乘积都等于比例系数得出关于m的方程，解方程求得m，进一步求得k的值．
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质化简各个二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式的性质：和，先化简各个二次根式，再计算加减法运算即可.
（1）解：
（2）
18．【答案】（1）解：
∴
∴
解得：．
（2）解：
或
解得：．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）方程左边是一个式子的完全平方，右边是一个正数，故利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：
解得：．
（2）
或
解得：．
19．【答案】（1）证明：∵在中，
∴，
∵点E，F分别在的延长线上，且，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴AF∥CE
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等得到，由等量减等量差相等及线段构成推出AE=CF，从而根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出结论；
（2）由平行四边形对角相等得∠B=∠D=55°，由平行四边形对边平行得AF∥CE，由二直线平行，同位角相等得∠BAF=∠E=55°，从而根据三角形内角和定理求出∠AHB的度数.
（1）证明：∵在中，
∴，
∵点E，F分别在的延长线上，且，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：小聪5次成绩为，，，，，
故众数为：8，
小明5次成绩从小到大排列为：5，7，9，9，10，
故中位数为：9
填表如下：
平均数 众数 中位数 方差
小聪 8 8 8 0.4
小明 8 9 9 3.2
（2）解：小聪和小明的平均成绩相同，但小聪的方差比小明的小，成绩更稳定，故选则小聪参赛；
（3）变小
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（3）解：如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的平均数仍为8分，
方差变为：，
故答案为：变小．
【分析】（1）在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2）平均数、众数、中位数都是反应数据集中趋势的量，平均数越大，表示出成绩越好，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，作为参赛选手，肯定是推荐成绩好且稳定的选手，据此作答即可；
（3）方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此计算出新方差，与原方差比较大小即可．
（1）解：小聪5次成绩为，，，，，
故众数为：8，
小明5次成绩从小到大排列为：5，7，9，9，10，
故中位数为：9
填表如下：
　 平均数 众数 中位数 方差
小聪 8 8 8 0.4
小明 8 9 9 3.2
（2）解：小聪和小明的平均成绩相同，但小聪的方差比小明的小，成绩更稳定，故选则小聪参赛；
（3）解：如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的平均数仍为8分，
方差变为：，
故答案为：变小．
21．【答案】（1）解：把点代入，得
，
即反比例函数的解析式为；
（2）解： 不等式的解集为：或；
（3）解：点P的坐标为：或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；数形结合
【解析】【解答】（2）解：把点代入，得，
∴，
∵，
∴不等式的解集为或；
（3）解： 把点代入直线得：，
直线，
把代入得：，
即点的坐标为：，
，
，
，
，
当点的纵坐标为3时，则，解得，
当点的纵坐标为时，则，解得，
点的坐标为或．
【分析】（1）把点代入，求出k的值，即可反比例函数的解析式；
（2）把点(-1，n)代入（1）所求反比例函数解析式求出n的值，得到点B的坐标，结合图象找出直线y=x+m的图象在反比例函数图象上方部分相应的自变量x的取值范围即可；
（3）把点A的坐标代入直线y=x+m算出m的值，即可得到直线AB的解析式，再令直线AB解析式中的y=0算出对应自变量x的值即可得到点C的坐标，然后根据三角形面积公式结合S△POC=3S△AOC列出方程，求出点P的纵坐标，进而将点P的纵坐标代入反比例函数解析式算出对应横坐标即可得到点P的坐标.
（1）解：把点代入直线得：，
直线，
即一次函数的解析式为，
把点代入，得
，
即反比例函数的解析式为；
（2）解：把点代入，得，
∴，
∵，
∴不等式的解集为或；
（3）解：把代入得：，
即点的坐标为：，
，
，
，
，
当点的纵坐标为3时，则，解得，
当点的纵坐标为时，则，解得，
点的坐标为或．
22．【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵菱形的边长为4 ，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．

【知识点】等腰三角形的判定；菱形的性质；矩形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）利用对角线互相平分判定四边形BDEF为平行四边形，再结合菱形性质证明对角线相等，从而判定为矩形．
（2）利用平行线的性质和角平分线的定义证明为等腰三角形，求出DE的长，再利用勾股定理求出BD的长，最后计算矩形面积．
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵菱形的边长为4 ，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
23．【答案】任务1：，
解：任务2，当时，甲店每天的盈利为（元）；
当时，乙店每天的盈利为（元）；
任务3，，
，
两家分店一天的盈利和为2200元，
由题意得：，
，
解得：或（不合题意，舍去），
，
即甲、乙两店每件衬衫下降各10元，甲、乙两店一天的盈利之和为2200元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务1，甲店每件利润为元，乙店每天的销售量为件，
故答案为：，件；
【分析】任务1，由甲店每件衬衫的盈利为原来每件盈利减去降低的价格列式即可；由乙店每天的销售量等于原来每天的销售两加上因为降价而多销售的数量列式即可；
任务2：由盈利=每件盈利×销售量，分别列式计算即可；
任务3，先得出，由盈利=每件盈利×销售量及两家店一天的盈利和为2200元，列出一元二次方程，求解并判断出符合题意得a的值，进而再代入b=20-a算出b的值即可.
24．【答案】（1）证明： ∵四边形是矩形，，
∴，
由折叠知，，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：，，如图，过点E作于点M，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴折痕的长为；
（3）解：a与b之间应满足数量关系为：或.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（3）解：是以为腰的等腰三角形时，分两种情况：
当时，过点E作于点M，连接，如图所示，
由折叠可知：，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得；
当时，连接，交于点O，如图所示：
∴，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可知：垂直平分，
∴，
∵，
∴
∴，
在中，，
∴，
解得；
综上所述：当为等腰三角形时，或.
【分析】（1）由矩形性质得AD=BC=AE，∠B=∠EAC'=90°，由折叠得B'C'=BC，∠B'=∠B，则AE=B'C'，从而利用“HL”判断出Rt△AC'E≌Rt△B'EC'；
（2）过E作EM⊥CD于点M，由三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形EBCM是矩形，由矩形性质得BE=CM，BC=EM=6，由全等三角形的对应边相等及折叠可得AC'=BE=B'E，则由线段和差求出BE=2=B'E=AC'=CM，C'D=4，设CF=C'F=x，则DF=8-x，在Rt△DC'F中，利用勾股定理建立方程求出x的值，进而再根据线段和差算出FM，最后在Rt△EFM中，利用勾股定理算出EF即可；
（3）分两种情况讨论：当EC'=EF时，过点E作EM⊥CD于点M，连接EC，由折叠性质得EC'=EF=EC，CF=C'F，由线段和差表示出BE=a-b，由矩形对边相等及等腰三角形的三线合一得出C'F=CF=2CM=2a-2b，再由线段和差得DF=2b-a，DC'=2b-a，则△DC'F是等腰直角三角形，则， 从而代入求解即可得出a与b的关系；当EF=C'F时，连接CC'，交EF于点O，由折叠得EF=C'F=CF，由等边对等角及平行线的性质推出∠BEC=∠FCE=∠FEC，由轴对称性质得出CC'⊥EF，CO=C'O，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出BC=CO=b，则CC'=2CO=2b，在Rt△CDC'中，利用勾股定理建立方程即可求出a与b的关系，综上可得答案.
（1）证明： ∵四边形是矩形，，
∴，
由折叠知，，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：，，
如图，过点E作于点M，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴折痕的长为；
（3）解：是以为腰的等腰三角形时，分两种情况：
当时，过点E作于点M，连接，如图所示，
由折叠可知：，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得；
当时，连接，交于点O，如图所示：
∴，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可知：垂直平分，
∴，
∵，
∴
∴，
在中，，
∴，
解得；
综上所述：当为等腰三角形时，或.
1 / 1浙江嘉兴海宁市王国维初级中学集团2024-2025学年八年级下学期期末模拟数学试卷
一、选择题（每小题有4个选项，其中有旦只有一个正确，每小题3分；共30分）
1．下列函数中，是反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，故此选项不符合题意；
B、符合反比例函数的定义，故此选项符合题意；
C、是一次函数，不是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、是二次函数，不是反比例函数，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】形如“(k是常数，且k≠0)”的函数就是反比例函数，反比例函数也可以写成y=kx-1或xy=k(k为常数，且k≠0)的形式，据此逐一判断得出答案.
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.
与
不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
B.
，故不符合题意；
C.
，故不符合题意；
D.
，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的加减、乘除分别计算，再判断即可.
3．用配方法解方程时，原方程应变形为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程：．
移常数项：将移到右边，得．
配方：方程两边同时加一次项系数一半的平方得：
化简：左边写成完全平方形式，右边合并常数，得：
因此，原方程变形为．
故答案为：C.
【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，且二次项系数为1，故利用配方法求解时，首先将常数项移到方程的右边，然后方程的两边都加上一次项系数一半的平方“4”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
4．用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在中，若，则”，
第一步应是假设，
故答案为：A．
【分析】反证法的步骤是：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立.要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须全部否定，据此解答即可.
5．某快递员十二月份送餐统计数据如下表：
送餐距离 小于等于3公里 大于3公里
占比
送餐费 4元单 6元单
则该快递员十二月份平均每单送餐费是（　　）
A．元 B．元 C．5元 D．元
【答案】A
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：该快递员十二月份平均每单送餐费是：（元），
故答案为：A．
【分析】平均每单送餐费等于两种距离的送餐费分别乘以其占比，再将结果相加即可.
6．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出人相补法．如图，在中，分别取的中点，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形，若，则的面积是（　　）
A．60 B．48 C．36 D．24
【答案】B
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：点，分别为，的中点，
是的中位线，，
，
在和中，
，
，
∴，
长方形的面积为：，
的面积是48，
故答案为：B．
【分析】根据中点定义得出AD=BD，由三角形中位线等于第三边的一半得出BC=2DE=12，然后根据“AAS”判断出△AFD≌△BGD，由全等三角形的对应边相等得出GB=AF=4，从而根据长方形面积计算公式算出长方形BCHG的面积，从而即可得出△ABC的面积.
7．甲乙丙三人用同一张矩形纸张接力进行如图所示的操作：甲任意画一个△ABC，折叠纸张使得点A与点C重合，折痕与AC边交于点O；乙再折出射线BO，点E在线段BO延长线上；丙再折叠纸张使得OB落在OE上，点B对应点为点D，连接AD、DC；则下列说法错误的是（　　）
A．四边形为平行四边形
B．中，若，则四边形为矩形
C．若，则四边形为正方形
D．若射线平分，则四边形为菱形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：A、根据题意得：，
∴四边形为平行四边形，故此选项正确，不符合题意；
B、中，若，则，
由选项A得四边形为平行四边形，
∴四边形为矩形，故此选项正确，不符合题意；
C、∵，
∴ 四边形为矩形，故此选项错误，符合题意；
D、∵射线平分，
∴，
由选项A得四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，据此可判断A选项；由三角形内角和定理推出∠B=90°，由有一个内角为直角的平行四边形是矩形得四边形ABCD是矩形，据此可判断B选项；由对角线相等的平行四边形是矩形可判断C选项；由角平分线的定义及平行线的性质可推出∠ABO=∠CBO=∠ADB，由等角对等边得出AB=AD，从而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，据此可判断D选项.
8．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，根据题意可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每天遗忘的百分比为，
则，
故答案为：D．
【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程.
9．已知点，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、当和同号时，反比例函数在各自象限内随的增大而减小，此时确实导致，但当为负数、为正数时，成立，但为负数，为正数，此时，故此选项不一定成立，不符合题意；
B、由，而，显然仅当时，，故此选项错误，不符合题意；
C、 由，得，，因此，故此选项正确，符合题意；
D、由，代入，得（仅当时，等号成立），故此选项错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】反比例函数图象两支分布在第一、三象限，在每一个象限内，函数值y随x的增大而减小，只有当x1＜x2＜0，后0＜x1＜x2时， y1＞y2，据此可判断A选项；将点A的坐标反比例函数表示出y1，再将x1=kx2代入可得；将点B的坐标反比例函数表示出y2，进而求出，通过比较可得仅当k=1时，y1=ky2，据此可判断B选项；
将点A、B的坐标分别反比例函数表示出y1与y2，由x1+x2=0得x1=-x2，从而用-x2替换x1，再求出y1与y2的和即可判断C选项；将点A、B的坐标分别反比例函数表示出y1与y2，求出y1与y2的乘积后代入x1x2=k可得y1y2=k，通过观察得出仅当k=1时，k2=k，据此可判断D选项.
10．如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为（　　）
A．5 B．2 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，
∴CD=AB=3，AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADC=∠DCH=60°，
∵DH⊥BC，
∴∠DHC=90°，
∴∠CDH=90°-∠DCH=30°，
在Rt△DCH中，CH=CD=，
∴DH=，
∴，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴EF=BC，EF∥BC
∴AD=EF，AD∥EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AF∥DE，AF=DE=1，
∵AF⊥BE，
∴DE⊥BE，
∴，
故答案为：D．
【分析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，由平行四边形的性质得CD=AB=3，AD∥BC，AD=BC，由二直线平行，内错角相等得∠ADC=∠DCH=60°，根据含30°角直角三角形的性质求出CH=CD=，进而利用勾股定理算出DH、BD；由平行四边形的对边平行且相等得出EF=BC，EF∥BC，根据等量代换得出AD=EF，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出AD∥EF，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ADEF是平行四边形，由平行四边形的对边相等且平行得出AF∥DE，AF=DE=1，由平行线的性质推出DE⊥BE，最后在Rt△BDE中，利用勾股定理算出BE即可.
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．若式子有意义，则x的取值范围是　 　 ．
【答案】x≥﹣2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x+2≥0，
解得：x≥﹣2．
故答案是：x≥﹣2．
【分析】根据二次根式的性质和，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
12．已知一个多边形的内角和是外角和的2倍．那么这个多边形的边数为　 　．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为，
依题意得，
解得，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【分析】先设这个多边形的边数为n，得出该多边形的内角和为，结合所有多边形外加和都等于360°，从而根据多边形的内角和是外角和的2倍，列方程求解即可．
13．若数据1，1，3，，2的平均数是2，则中位数是　 　．
【答案】2
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得，
将这组数据从小到大排列：1，1，2，3，3，
则中位数为2．
故答案为：2．
【分析】根据平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数列出方程，求解得出x的值，从而得到这组数据，进而根据将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，求解即可.
14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母a的不等式组，求解即可得出a的取值范围.
15．如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
点是的中点，
、、三点在同一直线上，
，
，，
，，
，点O是BD的中点，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】连接AC，先由菱形对角线互相垂直平分得出A、O、C三点在同一直线上，AC⊥BD，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得AC=2OM=4，由中点定义得出则OB=OD=BD=8，在Rt△OBC中，利用勾股定理算出BC，由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠MAC=∠OBC，由等角的同名三角函数值相等及正弦函数的定义可求出MC的长.
16．如图，点是平行四边形内一点，与轴平行，与轴平行，，，的面积等于3．若反比例函数的图象经过、两点．则　 　；　 　．
【答案】；9
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，
四边形是平行四边形，
，
，
轴，
，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
的纵坐标为，
设，则，
反比例函数的图象经过、两点，
，
解得，
．
故答案为：；9．
【分析】过点A作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，由平行四边形性质得OA∥BC，OA=BC，由二直线平行，内错角相等得∠AOM=∠CNM，由二直线平行，同位角相等得∠CBD=∠CNM，则∠AOM=∠CBD，从而由“AAS”可证△AOM≌△CBD，由全等三角形的对应边相等得出，利用三角形面积公式建立方程求出AE的长，由邻补角求出∠ADE=45°，则△ADE是等腰直角三角形，得出DE=AE，根据勾股定理即可得出的值；设，则，根据反比例函数图象上任意一点横纵坐标的乘积都等于比例系数得出关于m的方程，解方程求得m，进一步求得k的值．
三、解答题（本题有8小题，第17~22每题6分，第23，24题每题8分，共52分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质化简各个二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式的性质：和，先化简各个二次根式，再计算加减法运算即可.
（1）解：
（2）
18．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
∴
∴
解得：．
（2）解：
或
解得：．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）方程左边是一个式子的完全平方，右边是一个正数，故利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：
解得：．
（2）
或
解得：．
19．如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连结，交于点，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵在中，
∴，
∵点E，F分别在的延长线上，且，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴AF∥CE
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等得到，由等量减等量差相等及线段构成推出AE=CF，从而根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出结论；
（2）由平行四边形对角相等得∠B=∠D=55°，由平行四边形对边平行得AF∥CE，由二直线平行，同位角相等得∠BAF=∠E=55°，从而根据三角形内角和定理求出∠AHB的度数.
（1）证明：∵在中，
∴，
∵点E，F分别在的延长线上，且，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
20．小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对这两名同学进行了5次测试，两人5次测试的成绩（满分10分）如下：小聪：8，8，7，8，9；小明：10，9，7，5，9
（1）填写下表：
　 平均数 众数 中位数 方差
小聪 8 　 8 0.4
小明 8 9 　 3.2
（2）根据上面的计算，老师选择小聪代表班级参赛，理由是什么？
（3）如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的方差_____．（填“变大”、“变小”或“不变”）
【答案】（1）解：小聪5次成绩为，，，，，
故众数为：8，
小明5次成绩从小到大排列为：5，7，9，9，10，
故中位数为：9
填表如下：
平均数 众数 中位数 方差
小聪 8 8 8 0.4
小明 8 9 9 3.2
（2）解：小聪和小明的平均成绩相同，但小聪的方差比小明的小，成绩更稳定，故选则小聪参赛；
（3）变小
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（3）解：如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的平均数仍为8分，
方差变为：，
故答案为：变小．
【分析】（1）在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2）平均数、众数、中位数都是反应数据集中趋势的量，平均数越大，表示出成绩越好，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，作为参赛选手，肯定是推荐成绩好且稳定的选手，据此作答即可；
（3）方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此计算出新方差，与原方差比较大小即可．
（1）解：小聪5次成绩为，，，，，
故众数为：8，
小明5次成绩从小到大排列为：5，7，9，9，10，
故中位数为：9
填表如下：
　 平均数 众数 中位数 方差
小聪 8 8 8 0.4
小明 8 9 9 3.2
（2）解：小聪和小明的平均成绩相同，但小聪的方差比小明的小，成绩更稳定，故选则小聪参赛；
（3）解：如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的平均数仍为8分，
方差变为：，
故答案为：变小．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）直接写出不等式的解．
（3）点为反比例函数图象上的任意一点，若，直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：把点代入，得
，
即反比例函数的解析式为；
（2）解： 不等式的解集为：或；
（3）解：点P的坐标为：或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；数形结合
【解析】【解答】（2）解：把点代入，得，
∴，
∵，
∴不等式的解集为或；
（3）解： 把点代入直线得：，
直线，
把代入得：，
即点的坐标为：，
，
，
，
，
当点的纵坐标为3时，则，解得，
当点的纵坐标为时，则，解得，
点的坐标为或．
【分析】（1）把点代入，求出k的值，即可反比例函数的解析式；
（2）把点(-1，n)代入（1）所求反比例函数解析式求出n的值，得到点B的坐标，结合图象找出直线y=x+m的图象在反比例函数图象上方部分相应的自变量x的取值范围即可；
（3）把点A的坐标代入直线y=x+m算出m的值，即可得到直线AB的解析式，再令直线AB解析式中的y=0算出对应自变量x的值即可得到点C的坐标，然后根据三角形面积公式结合S△POC=3S△AOC列出方程，求出点P的纵坐标，进而将点P的纵坐标代入反比例函数解析式算出对应横坐标即可得到点P的坐标.
（1）解：把点代入直线得：，
直线，
即一次函数的解析式为，
把点代入，得
，
即反比例函数的解析式为；
（2）解：把点代入，得，
∴，
∵，
∴不等式的解集为或；
（3）解：把代入得：，
即点的坐标为：，
，
，
，
，
当点的纵坐标为3时，则，解得，
当点的纵坐标为时，则，解得，
点的坐标为或．
22．如图，已知四边形是菱形，延长到点E使，延长到点F使，连接，，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若平分，菱形的边长为4，求矩形的面积．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵菱形的边长为4 ，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．

【知识点】等腰三角形的判定；菱形的性质；矩形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）利用对角线互相平分判定四边形BDEF为平行四边形，再结合菱形性质证明对角线相等，从而判定为矩形．
（2）利用平行线的性质和角平分线的定义证明为等腰三角形，求出DE的长，再利用勾股定理求出BD的长，最后计算矩形面积．
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵菱形的边长为4 ，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
23．根据以下销售情况，解决销售任务．
　 销售情况
　 公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，它们的销售情况如下：
店面 甲店 乙店
日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出30件，每件盈利30元．
市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天各多售出2件
惰况设置 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元（a，b均为整数）．
任务解决
任务1 甲店销售的衬衫，每件利润为_____元（用含的代数式表示）． 乙店销售的衬衫，每天的销售量为_____（用含的代数式表示）．
任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利．
任务3 当时，请分别求出甲、乙两店每件衬衫下降各多少元，甲、乙两店一天的盈利之和为2200元．
【答案】任务1：，
解：任务2，当时，甲店每天的盈利为（元）；
当时，乙店每天的盈利为（元）；
任务3，，
，
两家分店一天的盈利和为2200元，
由题意得：，
，
解得：或（不合题意，舍去），
，
即甲、乙两店每件衬衫下降各10元，甲、乙两店一天的盈利之和为2200元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务1，甲店每件利润为元，乙店每天的销售量为件，
故答案为：，件；
【分析】任务1，由甲店每件衬衫的盈利为原来每件盈利减去降低的价格列式即可；由乙店每天的销售量等于原来每天的销售两加上因为降价而多销售的数量列式即可；
任务2：由盈利=每件盈利×销售量，分别列式计算即可；
任务3，先得出，由盈利=每件盈利×销售量及两家店一天的盈利和为2200元，列出一元二次方程，求解并判断出符合题意得a的值，进而再代入b=20-a算出b的值即可.
24．如图，已知矩形纸片，，，点在上，且．将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交边于点，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求与的长．
（3）当是以为腰的等腰三角形时，直接写出，之间应满足的数量关系．
【答案】（1）证明： ∵四边形是矩形，，
∴，
由折叠知，，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：，，如图，过点E作于点M，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴折痕的长为；
（3）解：a与b之间应满足数量关系为：或.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（3）解：是以为腰的等腰三角形时，分两种情况：
当时，过点E作于点M，连接，如图所示，
由折叠可知：，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得；
当时，连接，交于点O，如图所示：
∴，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可知：垂直平分，
∴，
∵，
∴
∴，
在中，，
∴，
解得；
综上所述：当为等腰三角形时，或.
【分析】（1）由矩形性质得AD=BC=AE，∠B=∠EAC'=90°，由折叠得B'C'=BC，∠B'=∠B，则AE=B'C'，从而利用“HL”判断出Rt△AC'E≌Rt△B'EC'；
（2）过E作EM⊥CD于点M，由三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形EBCM是矩形，由矩形性质得BE=CM，BC=EM=6，由全等三角形的对应边相等及折叠可得AC'=BE=B'E，则由线段和差求出BE=2=B'E=AC'=CM，C'D=4，设CF=C'F=x，则DF=8-x，在Rt△DC'F中，利用勾股定理建立方程求出x的值，进而再根据线段和差算出FM，最后在Rt△EFM中，利用勾股定理算出EF即可；
（3）分两种情况讨论：当EC'=EF时，过点E作EM⊥CD于点M，连接EC，由折叠性质得EC'=EF=EC，CF=C'F，由线段和差表示出BE=a-b，由矩形对边相等及等腰三角形的三线合一得出C'F=CF=2CM=2a-2b，再由线段和差得DF=2b-a，DC'=2b-a，则△DC'F是等腰直角三角形，则， 从而代入求解即可得出a与b的关系；当EF=C'F时，连接CC'，交EF于点O，由折叠得EF=C'F=CF，由等边对等角及平行线的性质推出∠BEC=∠FCE=∠FEC，由轴对称性质得出CC'⊥EF，CO=C'O，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出BC=CO=b，则CC'=2CO=2b，在Rt△CDC'中，利用勾股定理建立方程即可求出a与b的关系，综上可得答案.
（1）证明： ∵四边形是矩形，，
∴，
由折叠知，，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：，，
如图，过点E作于点M，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴折痕的长为；
（3）解：是以为腰的等腰三角形时，分两种情况：
当时，过点E作于点M，连接，如图所示，
由折叠可知：，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得；
当时，连接，交于点O，如图所示：
∴，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可知：垂直平分，
∴，
∵，
∴
∴，
在中，，
∴，
解得；
综上所述：当为等腰三角形时，或.
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