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浙江省湖州市吴兴区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．要使二次根式在实数范围内有意义，则x的值可以取（　　）
A．0 B．3 C．2 D．
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：依题意，∵二次根式在实数范围内有意义
∴
∴
观察A、B、C、D四个选项，唯有3满足
故选：B
【分析】
二次根式有意义的条件即被开方数为非负数.
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：选项A：，被开方数5是质数，无平方因数，无法化简，符合最简二次根式条件，是最简二次根式；
选项B：，可分解为，含平方因数4，故不是最简二次根式；
选项C：，可化简为，被开方数为完全平方，故不是最简二次根式；
选项D：，可化简为2，故不是最简二次根式．
故选：A．
【分析】
最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母．
3．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【分析】
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
4．用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设（　　）
A．不平行于 B．平行于 C．不垂直于 D．不垂直于
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设不平行于，
故选：A．
【分析】
根据反证法是一种间接证明的方法，其步骤为：先提出一个与命题的结论相反的假设，然后通过推理，推出矛盾，从而证明原命题成立。在本题中，原命题结论是a与b平行，那么其否定就是a不平行于
b。
5．已知点，，在函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点，，在函数的图象上，
∴，，，
∵，
∴．
故选：D．
【分析】
反比例函数的性质，即对于反比例函数，当时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限，且在每一个象限内，y都随x的增大而增大．
6．把方程的左边配方后可得方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
.
故选：.
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程，核心步骤是“移项、配方（加一次项系数一半的平方)".先移项得；再配方：两边同时加，得，即.
7．在温度不变的条件下，某研究小组将等量的理想气体分别充入不同体积的容器中，并记录了当时容器内的气体的压强，部分实验数据如下表：
体积 2
压强 120 80 60 40
以下关系式中，最适合作为气体的压强关于容器体积的函数表达式的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据表中数据可知，理想气体压强与体积成反比，
设，把点代入，
得，
∴，
故这个函数的解析式为，
故选：C．
【分析】
反比例函数的实际应用，观察表格知，再利用双曲线上点的坐标特征把点代入函数解析式求出k值即可．
8．如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接、，
∵是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，
垂直平分，垂直平分，
，，
∵，都在对角线上，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，且，，
，
故选：D．
【分析】
先由平行四边形的性质知，再由轴对称的性质知，即可证明四边形AECF是平行四边形，即有，即，再由平行四边形的邻角互补可得．
9．某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（　　）
A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分
B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分
C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高
D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、．
根据题意：算术平均数为87分，故，故A错误；
加权平均数为86分，故，
将加权平均方程两边乘以100，得：
将算术平均方程两边乘以20，得：
两式相减，得：
，
即，故C正确；
根据已知条件无法判断B、D．
故选：C．
【分析】
A、由算术平均值可得未设置权值前小明五项得分的总和为435分；
B、．
10．如图，已知四边形纸片，E，F，G，H是四条边上的中点，连结，分别过点H，F作于点I，于点J，沿，，将四边形纸片剪成四个小四边形纸片，记为①，②，③，④，将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边形纸片 (①沿方向平移，④和②分别绕点H和点G旋转)．若，，，则四边形的周长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；平移的性质；旋转的性质；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：如图，
由题可知，，，
设，则，
，
矩形周长为．
故选：B．
【分析】
由旋转和平移的性质可得，，，，则四边形ILMN是矩形，此时可设，则，，再利用整式的加减运算求出周长即可．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．当时，二次根式的值为　 　．
【答案】
【知识点】求二次根式的值
【解析】【解答】解：当时，，
故答案为：．
【分析】把代入二次根式计算即可．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，轴于点，若的面积是，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积是，
∴，
故答案为：．
【分析】
反比例函数值的几何意义，即双曲线上的点与坐标轴和原点围成的直角三角形的面积等于K的绝对值的一半．
13．要推荐选手参加跳绳比赛，现有甲、乙两位选手每人10次跳绳的成绩，经分析，得出平均数，方差．若考虑成绩的稳定性，应推荐去参加比赛的选手是　 　．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵平均数，方差，
∴乙选手的跳绳成绩更稳定，
∴考虑跳绳稳定性，应推荐去参加比赛的选手是乙，
故答案为：乙．
【分析】
方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小．
14．如图，在中，对角线，交于点O，，若，，则的长是　 　．
【答案】20
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，对角线，交于点O，，
，，
，，
，
∴，
∴，
故答案为：20．
【分析】
先由平行四边形的对角线互相平分可得OD＝6，再利用勾股定理可得OA＝10，则AC等于OA的2倍．
15．已知两个关于x的一元二次方程：(b，c均为常数)，．其中，方程的一个根是，方程有两个相等的实数根，则b的值是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意，∵方程的一个根是，
∴，
∴，
∵方程有两个相等的实数根，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
先由一元二次方程根的概念可得，再由一元二次方程根的判别式可得，即可得关于b的方程并求解即可．
16．如图，已知矩形和正方形共用对角线，与交于点，与交于点，若正方形的面积比矩形的面积大，的周长与的周长之和是，则的长是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，设，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵四边形DEBF是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
如图，分别设，，，则由矩形和正方形的性质可证，则，即的周长与的周长之和可转化为矩形的一组邻边与正方形的一组邻边的和，即；再由正方形和长方形面积公式结合已知可得；再由勾股定理可得，则利用完全平方公式结合等量代换可得关于c的方程并求解即可．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】二次根式的混合运算，即、．
18．对于解方程，小刚的做法如下：
解：等号右边提取公因式，得，步骤 等号两边同时除以，得，步骤 移项，得，步骤 合并同类项，得．步骤
已知小刚在解方程的过程中出现了错误，请指出他开始出错的步骤，并给出正确且完整的解答过程．
【答案】解：小刚开始出错的步骤是步骤．
正确且完整的解答过程如下：
移项，得，
因式分解，得，
即，
或，
，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
因式分解法解一元二次方程，若方程两边都能分解因式，且分解因式后有公因式，先移项，再提公因式从而化一元二次方程为两个一元一次方程并求解即可．
19．近年来，某市全面开展素质教育，坚持“五育并举”，强化体育锻炼促进学生身心健康全面发展，各校纷纷响应号召，积极开展阳光体育运动．某校将举行阳光跳绳比赛，每班推荐一位学生参赛，八年级（1）班将在甲、乙两位学生中推荐一位参赛．该班级对甲、乙两位同学连续7天一分钟跳绳成绩进行了收集、整理，并绘制了折线统计图：
（1）老师从“平均数”“中位数”“众数”三个角度对两位学生的跳绳成绩进行了分析，并制作了以下统计表，请分别求出表中a，b，c的值．
学生 平均数 中位数 众数
甲 a 160 c
乙 164 b 160
（2）若从甲、乙两位学生中推荐一位参加阳光跳绳比赛，你会推荐谁参加比赛？请给出一条推荐理由．
【答案】（1），，
（2）解：我会推荐甲学生参加比赛．
推荐理由是：甲、乙两位学生的中位数相等，但甲的平均数略高，从统计图中可以直观看出甲的稳定性和趋势更好．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】
（1）
解：平均数，
对乙数据按大小排列：140，158，160，160，170，180，180，
所以中位数；
由表格可知甲的众数；
【分析】
（1）平均数是一组数据中所有数据的和与数据个数的商；中位数是把一组数据按照从小到大的顺序排列后，最中间的一个数据或最中间两个数据的平均值；众数指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是多个；
（2）由于甲乙两位同学的中位数相等，但甲同学的平均值较高，故选择甲．
（1）解：平均数，
对乙数据按大小排列：140，158，160，160，170，180，180，
所以中位数；
由表格可知甲的众数；
（2）解：我会推荐甲学生参加比赛．
推荐理由是：甲、乙两位学生的中位数相等，但甲的平均数略高，从统计图中可以直观看出甲的稳定性和趋势更好．
20．如图，在中，D，E，F分别是边的中点，连结，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）连结，若四边形是菱形，，，求的长．
【答案】（1）证明：，E，F分别是边的中点，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，
，
，E分别是边的中点，
，，
，
是边的中点，
，，
在中，，，
，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】直接应用三角形中位线定理可得四边形BEFD的两组对边分别平行即可；
由菱形的性质结合中点的概念可得BA＝BC，再由等腰三角形三线合一可得，，再由勾股定理可得AB，再利用三角形中位线定理即可求得EF．
（1）证明：，E，F分别是边的中点，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，
，
，E分别是边的中点，
，，
，
是边的中点，
，，
在中，，，
，
21．淘宝、唯品会、京东、美团等公司的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，某市一家小型快递公司今年4月和6月完成投递的快递总件数分别为10万件和万件．
（1）求该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率．
（2）已知该快递公司投递业务员平均每人每月最多可投递快递万件，若以今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率作为6月至7月投递快递总件数的月增长率，那么该公司现有的31名快递投递业务员能否完成今年7月的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名投递业务员？(假设增加的业务员与现有的业务员投递效率相等)
【答案】（1）解：设该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为x，
由题意得：，
解得，（不符合题意，舍去），
答：该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为；
（2）解：7月投递快递总件数为：（万件），
，
该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，
设增加m名投递业务员，
由题意得：，
解得：，
是正整数，
的最小值为3，
答：至少需要增加3名投递业务员．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】
（1）平均增长（下降）率问题常列方程，其中分别代表起始数据、终止数据和平均增长（下降）率，注意求平均增长率用“+”，反之用“-”；
（2）先由（1）的结果求出7月份的快递总数，再由题意列不等式并求出m的最小整数解即可．
（1）解：设该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为x，
由题意得：，
解得，（不符合题意，舍去），
答：该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为；
（2）解：7月投递快递总件数为：（万件），
，
该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，
设增加m名投递业务员，
由题意得：，
解得：，
是正整数，
的最小值为3，
答：至少需要增加3名投递业务员．
22．已知反比例函数的图象和的图象在同一平面直角坐标系中．
（1）反比例函数图象上有一点 ．
①若直线经过点A，求此时k的值；
②若点也在反比例函数图象上，且，直接写出t的取值范围．
（2）当时，函数的最小值为a，函数的最大值为，求此时k和a的值．
【答案】（1）解：①将代入，得，即，
再将点A代入中，
∴，
②或
（2）解：当时，当时，函数的最小值为a，
故，
当时，当时，函数的最大值为，
故，
解方程组，
解得 ．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】
（1）
②如图，
由图可知，当时，则或；
【分析】
（1）①先利用直线上点的坐标特征求出点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
②先由①的结果知，再画出函数草图，则在每一个分支上y都随x的增大而减小，即当时或；
（2）由于，则由反比例函数的图象与性质结合题意知，当时有最小值，且有最大值，则可联立得关于a、k的方程组并求解即可．
（1）解：①将代入，得，
即，
再将点A代入中，
∴，
②如图，
由图可知，当时，则或；
（2）解：当时，当时，函数的最小值为a，
故，
当时，当时，函数的最大值为，
故，
解方程组，
解得 ．
23．定义：如果一个四边形有两条邻边相等，且这两条边所夹角的对角是直角，那么我们把这样的四边形称为“等对直四边形”，把夹角所对的直角称为“对直角”．
（1）如图，在四边形中，若，，，，请判断四边形是否为“等对直四边形”？并说明理由．
（2）如图，若四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，，，对角线恰好平分四边形中的一个内角，求此时的长．
（3）如图，若四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，，，，求此时对角线的长．
【答案】（1）解：四边形是“等对直四边形”，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是“等对直四边形”；
（2）解：第一种情况：平分，∵四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
如图，过作于点，
则四边形是平行四边形，
设的长为，则，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
即的长为；
第二种情况：平分，
同理可证，
如图，过作于点，
则四边形是平行四边形，
设的长为x，则，
∵，，
∴，，
∴，
解得，
即的长为；
综上所述，的长为或；
（3）解：∵四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
过作于点，过作于点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（）先由四边形的内角和可得，再利用直角三角形两锐角互余可得，再由角的和差关系可得，再由等角对等边可得CD＝CB，则由定义可判定四边形ABCD为“等对直四边形”；
（）由“等对直四边形”的概念可知CD＝CB，由于DB不确定平分哪个角，故应分类讨论，即当DB平分时，如图可过点C作AD的垂线段CF，由等边对等角结合角平分线的概念可得，即CB平行AD，再由邻角互补可得CF平行AB，即可得四边形ABCF是矩形，则AF＝BC、CF＝AB，此时可设BC＝x，则DF可用含x的代数式表示，再应用勾股定理即可；同理当DB平分时，可过点C作AB的垂线段CE，即四边形ADCE是矩形，再设BC＝y，则BE可用含y的代数式表示，再应用勾股定理即可；
（）由于CB＝CD且DB、CD的长度已知，则可用勾股定理逆定理证得，此时可过点C作AB、AD的垂线段CE、CF，则四边形AECF是矩形，再利用旋转全等模型可证明，则CF＝CE，即四边形AECF是正方形，再由线段的和差关系可得DF＝2，即AF＝CF＝4，再利用勾股定理求出AC的长即可．
（1）解：四边形是“等对直四边形”，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是“等对直四边形”；
（2）解：第一种情况：平分，
∵四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
如图，过作于点，
则四边形是平行四边形，
设的长为，则，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
即的长为；
第二种情况：平分，
同理可证，
如图，过作于点，
则四边形是平行四边形，
设的长为x，则，
∵，，
∴，，
∴，
解得，
即的长为；
综上所述，的长为或；
（3）解：∵四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
过作于点，过作于点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
24．如图，四边形是正方形，，E，F，G分别是正方形的边，及对角线上的点，H是正方形内一点，满足四边形是正方形．
（1）如图1，若，求此时的长．
（2）如图2，连结，求证：．
（3）如图3，延长交射线于点J，取线段的中点K，连结．设，在范围内是否存在t的值，使是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：如图，过点G作于点P，
∵四边形、四边形均是正方形，
∴，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，过点G作于点P，过H作于点Q，
∵四边形、四边形均是正方形，
同理（1）可证，
∴，，
∵，
∴，即是的垂直平分线，
∴；
（3）解：如图，过H作于点Q，连结，
由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即H是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
，
当或或时，是等腰三角形，
情况1：，
，解得；
情况2：，
，解得或3；
情况3：，
，解得或；
，
故所有符合条件的t的值是或或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）由于四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，则可过点G作AD的垂线段GP，由一线三垂直全等模型可证，则，再利用正方形的性质结合直角三角形两锐角互余可证为等腰直角三角形，则DP＝PG＝1，即PF的长，再利用勾股定理求出FG即可；
（2）同理可过点H作AB的垂线段HQ，则，则，，则，即HQ垂直平分BE，则BH＝EH；
（3）由于EH＝BH，则过H作AB的垂线段HQ，由等腰三角形三线合一可得HQ是的中位线，即点H为EJ中点，则HK为的中位线，再由（2）知BE＝2AF、HQ＝AE，则BJ＝2AE，，则由勾股定理可分别表示出DE、EJ和DJ，再分类讨论即、或、或解关于t的方程并结合确定t的值即可．
（1）解：如图，过点G作于点P，
∵四边形、四边形均是正方形，
∴，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，过点G作于点P，过H作于点Q，
∵四边形、四边形均是正方形，
同理（1）可证，
∴，，
∵，
∴，即是的垂直平分线，
∴；
（3）解：如图，过H作于点Q，连结，
由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即H是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
，
当或或时，是等腰三角形，
情况1：，
，解得；
情况2：，
，解得或3；
情况3：，
，解得或；
，
故所有符合条件的t的值是或或．
1 / 1浙江省湖州市吴兴区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．要使二次根式在实数范围内有意义，则x的值可以取（　　）
A．0 B．3 C．2 D．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设（　　）
A．不平行于 B．平行于 C．不垂直于 D．不垂直于
5．已知点，，在函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
6．把方程的左边配方后可得方程（　　）
A． B．
C． D．
7．在温度不变的条件下，某研究小组将等量的理想气体分别充入不同体积的容器中，并记录了当时容器内的气体的压强，部分实验数据如下表：
体积 2
压强 120 80 60 40
以下关系式中，最适合作为气体的压强关于容器体积的函数表达式的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（　　）
A． B．
C． D．
9．某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（　　）
A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分
B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分
C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高
D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高
10．如图，已知四边形纸片，E，F，G，H是四条边上的中点，连结，分别过点H，F作于点I，于点J，沿，，将四边形纸片剪成四个小四边形纸片，记为①，②，③，④，将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边形纸片 (①沿方向平移，④和②分别绕点H和点G旋转)．若，，，则四边形的周长是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．当时，二次根式的值为　 　．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，轴于点，若的面积是，则的值是　 　．
13．要推荐选手参加跳绳比赛，现有甲、乙两位选手每人10次跳绳的成绩，经分析，得出平均数，方差．若考虑成绩的稳定性，应推荐去参加比赛的选手是　 　．（填“甲”或“乙”）
14．如图，在中，对角线，交于点O，，若，，则的长是　 　．
15．已知两个关于x的一元二次方程：(b，c均为常数)，．其中，方程的一个根是，方程有两个相等的实数根，则b的值是　 　．
16．如图，已知矩形和正方形共用对角线，与交于点，与交于点，若正方形的面积比矩形的面积大，的周长与的周长之和是，则的长是　 　．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：
18．对于解方程，小刚的做法如下：
解：等号右边提取公因式，得，步骤 等号两边同时除以，得，步骤 移项，得，步骤 合并同类项，得．步骤
已知小刚在解方程的过程中出现了错误，请指出他开始出错的步骤，并给出正确且完整的解答过程．
19．近年来，某市全面开展素质教育，坚持“五育并举”，强化体育锻炼促进学生身心健康全面发展，各校纷纷响应号召，积极开展阳光体育运动．某校将举行阳光跳绳比赛，每班推荐一位学生参赛，八年级（1）班将在甲、乙两位学生中推荐一位参赛．该班级对甲、乙两位同学连续7天一分钟跳绳成绩进行了收集、整理，并绘制了折线统计图：
（1）老师从“平均数”“中位数”“众数”三个角度对两位学生的跳绳成绩进行了分析，并制作了以下统计表，请分别求出表中a，b，c的值．
学生 平均数 中位数 众数
甲 a 160 c
乙 164 b 160
（2）若从甲、乙两位学生中推荐一位参加阳光跳绳比赛，你会推荐谁参加比赛？请给出一条推荐理由．
20．如图，在中，D，E，F分别是边的中点，连结，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）连结，若四边形是菱形，，，求的长．
21．淘宝、唯品会、京东、美团等公司的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，某市一家小型快递公司今年4月和6月完成投递的快递总件数分别为10万件和万件．
（1）求该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率．
（2）已知该快递公司投递业务员平均每人每月最多可投递快递万件，若以今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率作为6月至7月投递快递总件数的月增长率，那么该公司现有的31名快递投递业务员能否完成今年7月的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名投递业务员？(假设增加的业务员与现有的业务员投递效率相等)
22．已知反比例函数的图象和的图象在同一平面直角坐标系中．
（1）反比例函数图象上有一点 ．
①若直线经过点A，求此时k的值；
②若点也在反比例函数图象上，且，直接写出t的取值范围．
（2）当时，函数的最小值为a，函数的最大值为，求此时k和a的值．
23．定义：如果一个四边形有两条邻边相等，且这两条边所夹角的对角是直角，那么我们把这样的四边形称为“等对直四边形”，把夹角所对的直角称为“对直角”．
（1）如图，在四边形中，若，，，，请判断四边形是否为“等对直四边形”？并说明理由．
（2）如图，若四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，，，对角线恰好平分四边形中的一个内角，求此时的长．
（3）如图，若四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，，，，求此时对角线的长．
24．如图，四边形是正方形，，E，F，G分别是正方形的边，及对角线上的点，H是正方形内一点，满足四边形是正方形．
（1）如图1，若，求此时的长．
（2）如图2，连结，求证：．
（3）如图3，延长交射线于点J，取线段的中点K，连结．设，在范围内是否存在t的值，使是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：依题意，∵二次根式在实数范围内有意义
∴
∴
观察A、B、C、D四个选项，唯有3满足
故选：B
【分析】
二次根式有意义的条件即被开方数为非负数.
2．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：选项A：，被开方数5是质数，无平方因数，无法化简，符合最简二次根式条件，是最简二次根式；
选项B：，可分解为，含平方因数4，故不是最简二次根式；
选项C：，可化简为，被开方数为完全平方，故不是最简二次根式；
选项D：，可化简为2，故不是最简二次根式．
故选：A．
【分析】
最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母．
3．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【分析】
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
4．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设不平行于，
故选：A．
【分析】
根据反证法是一种间接证明的方法，其步骤为：先提出一个与命题的结论相反的假设，然后通过推理，推出矛盾，从而证明原命题成立。在本题中，原命题结论是a与b平行，那么其否定就是a不平行于
b。
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点，，在函数的图象上，
∴，，，
∵，
∴．
故选：D．
【分析】
反比例函数的性质，即对于反比例函数，当时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限，且在每一个象限内，y都随x的增大而增大．
6．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
.
故选：.
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程，核心步骤是“移项、配方（加一次项系数一半的平方)".先移项得；再配方：两边同时加，得，即.
7．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据表中数据可知，理想气体压强与体积成反比，
设，把点代入，
得，
∴，
故这个函数的解析式为，
故选：C．
【分析】
反比例函数的实际应用，观察表格知，再利用双曲线上点的坐标特征把点代入函数解析式求出k值即可．
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接、，
∵是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，
垂直平分，垂直平分，
，，
∵，都在对角线上，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，且，，
，
故选：D．
【分析】
先由平行四边形的性质知，再由轴对称的性质知，即可证明四边形AECF是平行四边形，即有，即，再由平行四边形的邻角互补可得．
9．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、．
根据题意：算术平均数为87分，故，故A错误；
加权平均数为86分，故，
将加权平均方程两边乘以100，得：
将算术平均方程两边乘以20，得：
两式相减，得：
，
即，故C正确；
根据已知条件无法判断B、D．
故选：C．
【分析】
A、由算术平均值可得未设置权值前小明五项得分的总和为435分；
B、．
10．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；平移的性质；旋转的性质；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：如图，
由题可知，，，
设，则，
，
矩形周长为．
故选：B．
【分析】
由旋转和平移的性质可得，，，，则四边形ILMN是矩形，此时可设，则，，再利用整式的加减运算求出周长即可．
11．【答案】
【知识点】求二次根式的值
【解析】【解答】解：当时，，
故答案为：．
【分析】把代入二次根式计算即可．
12．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积是，
∴，
故答案为：．
【分析】
反比例函数值的几何意义，即双曲线上的点与坐标轴和原点围成的直角三角形的面积等于K的绝对值的一半．
13．【答案】乙
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵平均数，方差，
∴乙选手的跳绳成绩更稳定，
∴考虑跳绳稳定性，应推荐去参加比赛的选手是乙，
故答案为：乙．
【分析】
方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小．
14．【答案】20
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，对角线，交于点O，，
，，
，，
，
∴，
∴，
故答案为：20．
【分析】
先由平行四边形的对角线互相平分可得OD＝6，再利用勾股定理可得OA＝10，则AC等于OA的2倍．
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意，∵方程的一个根是，
∴，
∴，
∵方程有两个相等的实数根，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
先由一元二次方程根的概念可得，再由一元二次方程根的判别式可得，即可得关于b的方程并求解即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，设，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵四边形DEBF是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
如图，分别设，，，则由矩形和正方形的性质可证，则，即的周长与的周长之和可转化为矩形的一组邻边与正方形的一组邻边的和，即；再由正方形和长方形面积公式结合已知可得；再由勾股定理可得，则利用完全平方公式结合等量代换可得关于c的方程并求解即可．
17．【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】二次根式的混合运算，即、．
18．【答案】解：小刚开始出错的步骤是步骤．
正确且完整的解答过程如下：
移项，得，
因式分解，得，
即，
或，
，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
因式分解法解一元二次方程，若方程两边都能分解因式，且分解因式后有公因式，先移项，再提公因式从而化一元二次方程为两个一元一次方程并求解即可．
19．【答案】（1），，
（2）解：我会推荐甲学生参加比赛．
推荐理由是：甲、乙两位学生的中位数相等，但甲的平均数略高，从统计图中可以直观看出甲的稳定性和趋势更好．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】
（1）
解：平均数，
对乙数据按大小排列：140，158，160，160，170，180，180，
所以中位数；
由表格可知甲的众数；
【分析】
（1）平均数是一组数据中所有数据的和与数据个数的商；中位数是把一组数据按照从小到大的顺序排列后，最中间的一个数据或最中间两个数据的平均值；众数指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是多个；
（2）由于甲乙两位同学的中位数相等，但甲同学的平均值较高，故选择甲．
（1）解：平均数，
对乙数据按大小排列：140，158，160，160，170，180，180，
所以中位数；
由表格可知甲的众数；
（2）解：我会推荐甲学生参加比赛．
推荐理由是：甲、乙两位学生的中位数相等，但甲的平均数略高，从统计图中可以直观看出甲的稳定性和趋势更好．
20．【答案】（1）证明：，E，F分别是边的中点，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，
，
，E分别是边的中点，
，，
，
是边的中点，
，，
在中，，，
，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】直接应用三角形中位线定理可得四边形BEFD的两组对边分别平行即可；
由菱形的性质结合中点的概念可得BA＝BC，再由等腰三角形三线合一可得，，再由勾股定理可得AB，再利用三角形中位线定理即可求得EF．
（1）证明：，E，F分别是边的中点，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，
，
，E分别是边的中点，
，，
，
是边的中点，
，，
在中，，，
，
21．【答案】（1）解：设该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为x，
由题意得：，
解得，（不符合题意，舍去），
答：该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为；
（2）解：7月投递快递总件数为：（万件），
，
该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，
设增加m名投递业务员，
由题意得：，
解得：，
是正整数，
的最小值为3，
答：至少需要增加3名投递业务员．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】
（1）平均增长（下降）率问题常列方程，其中分别代表起始数据、终止数据和平均增长（下降）率，注意求平均增长率用“+”，反之用“-”；
（2）先由（1）的结果求出7月份的快递总数，再由题意列不等式并求出m的最小整数解即可．
（1）解：设该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为x，
由题意得：，
解得，（不符合题意，舍去），
答：该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为；
（2）解：7月投递快递总件数为：（万件），
，
该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，
设增加m名投递业务员，
由题意得：，
解得：，
是正整数，
的最小值为3，
答：至少需要增加3名投递业务员．
22．【答案】（1）解：①将代入，得，即，
再将点A代入中，
∴，
②或
（2）解：当时，当时，函数的最小值为a，
故，
当时，当时，函数的最大值为，
故，
解方程组，
解得 ．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】
（1）
②如图，
由图可知，当时，则或；
【分析】
（1）①先利用直线上点的坐标特征求出点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
②先由①的结果知，再画出函数草图，则在每一个分支上y都随x的增大而减小，即当时或；
（2）由于，则由反比例函数的图象与性质结合题意知，当时有最小值，且有最大值，则可联立得关于a、k的方程组并求解即可．
（1）解：①将代入，得，
即，
再将点A代入中，
∴，
②如图，
由图可知，当时，则或；
（2）解：当时，当时，函数的最小值为a，
故，
当时，当时，函数的最大值为，
故，
解方程组，
解得 ．
23．【答案】（1）解：四边形是“等对直四边形”，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是“等对直四边形”；
（2）解：第一种情况：平分，∵四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
如图，过作于点，
则四边形是平行四边形，
设的长为，则，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
即的长为；
第二种情况：平分，
同理可证，
如图，过作于点，
则四边形是平行四边形，
设的长为x，则，
∵，，
∴，，
∴，
解得，
即的长为；
综上所述，的长为或；
（3）解：∵四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
过作于点，过作于点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（）先由四边形的内角和可得，再利用直角三角形两锐角互余可得，再由角的和差关系可得，再由等角对等边可得CD＝CB，则由定义可判定四边形ABCD为“等对直四边形”；
（）由“等对直四边形”的概念可知CD＝CB，由于DB不确定平分哪个角，故应分类讨论，即当DB平分时，如图可过点C作AD的垂线段CF，由等边对等角结合角平分线的概念可得，即CB平行AD，再由邻角互补可得CF平行AB，即可得四边形ABCF是矩形，则AF＝BC、CF＝AB，此时可设BC＝x，则DF可用含x的代数式表示，再应用勾股定理即可；同理当DB平分时，可过点C作AB的垂线段CE，即四边形ADCE是矩形，再设BC＝y，则BE可用含y的代数式表示，再应用勾股定理即可；
（）由于CB＝CD且DB、CD的长度已知，则可用勾股定理逆定理证得，此时可过点C作AB、AD的垂线段CE、CF，则四边形AECF是矩形，再利用旋转全等模型可证明，则CF＝CE，即四边形AECF是正方形，再由线段的和差关系可得DF＝2，即AF＝CF＝4，再利用勾股定理求出AC的长即可．
（1）解：四边形是“等对直四边形”，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是“等对直四边形”；
（2）解：第一种情况：平分，
∵四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
如图，过作于点，
则四边形是平行四边形，
设的长为，则，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
即的长为；
第二种情况：平分，
同理可证，
如图，过作于点，
则四边形是平行四边形，
设的长为x，则，
∵，，
∴，，
∴，
解得，
即的长为；
综上所述，的长为或；
（3）解：∵四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
过作于点，过作于点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：如图，过点G作于点P，
∵四边形、四边形均是正方形，
∴，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，过点G作于点P，过H作于点Q，
∵四边形、四边形均是正方形，
同理（1）可证，
∴，，
∵，
∴，即是的垂直平分线，
∴；
（3）解：如图，过H作于点Q，连结，
由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即H是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
，
当或或时，是等腰三角形，
情况1：，
，解得；
情况2：，
，解得或3；
情况3：，
，解得或；
，
故所有符合条件的t的值是或或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）由于四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，则可过点G作AD的垂线段GP，由一线三垂直全等模型可证，则，再利用正方形的性质结合直角三角形两锐角互余可证为等腰直角三角形，则DP＝PG＝1，即PF的长，再利用勾股定理求出FG即可；
（2）同理可过点H作AB的垂线段HQ，则，则，，则，即HQ垂直平分BE，则BH＝EH；
（3）由于EH＝BH，则过H作AB的垂线段HQ，由等腰三角形三线合一可得HQ是的中位线，即点H为EJ中点，则HK为的中位线，再由（2）知BE＝2AF、HQ＝AE，则BJ＝2AE，，则由勾股定理可分别表示出DE、EJ和DJ，再分类讨论即、或、或解关于t的方程并结合确定t的值即可．
（1）解：如图，过点G作于点P，
∵四边形、四边形均是正方形，
∴，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，过点G作于点P，过H作于点Q，
∵四边形、四边形均是正方形，
同理（1）可证，
∴，，
∵，
∴，即是的垂直平分线，
∴；
（3）解：如图，过H作于点Q，连结，
由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即H是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
，
当或或时，是等腰三角形，
情况1：，
，解得；
情况2：，
，解得或3；
情况3：，
，解得或；
，
故所有符合条件的t的值是或或．
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