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湖南省岳阳市平江县2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．BC=1，AC=2，AB= B．BC：AC：AB=3：4：5
C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
2．在平面直角坐标系中，点 在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列说法错误的是（　　）
A．角平分线上的点到角的两边的距离相等
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．菱形的对角线相等
D．平行四边形是中心对称图形
5．一个班有40名学生，在一次身体素质测试中，将全班学生的测试结果分为优秀、合格、不合格．测试结果达到优秀的有18人，合格的有17人，则在这次测试中，测试结果不合格的频率是（　　）
A．0.125 B．0.30 C．0.45 D．1.25
6．若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，两个灯笼的位置的坐标分别是，将点向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点的位置描述正确是（　　）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
8．甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距；②甲车的平均速度是，乙车的平均速度是；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在追上乙车．正确的有（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
9．如图，在中，，将经点顺时针旋转得到，连接，则的长为（　　）
A．5 B．8 C．10 D．12
10．如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（　　）
A． B． C．0 D．1
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，则点M的坐标是　 　．
12．如图1是我国古建筑墙上常用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个内角的度数是　 　．
13．如图，在中，D是的中点，，，则的长是　 　．
14．将直线向下平移2个单位，所得直线的表达式是　 　．
15．函数 中，自变量x的取值范围是　 　．
16．如图，直线 y＝kx+b（k≠0）经过点 A（﹣3，2），则关于 x 的不等式 kx+b＜2 解集是　 　．
17．如图，把正方形AOBC 放在直角坐标系内，对角线AB、OC相交于点D．点C的坐标是（-4，4），将正方形AOBC沿x轴向右平移，当点D落在直线y=-2x+4上时，线段AD扫过的面积为　 　 ．
18．一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点．则点D的坐标为　 　．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求线段的长．
20．图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的与之间的对应数据：
个 1 2 3 4
6 8.4 10.8 13.2
（1）依据小亮测量的数据，写出与之间的函数表达式，并说明理由；
（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？
21．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C. D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E.
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB=60°，AD=2时，求EA的长．
22．某校对八年级学生进行了一次视力调查，绘制出频数分布表和频数直方图的一部分如下：
视力 频数（人数） 频率
4 0.08
8 0.16
12 0.24
0.4
6
请根据图表信息回答下列问题：
（1）在频数分布表中，的值为　 　，的值为　 　；
（2）将频数直方图补充完整；
（3）甲同学说：“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”，问甲同学的视力情况在哪个范围内？
（4）若视力在4.9以上（含4.9）均属正常，求视力正常的人数占被调查人数的百分比．
23．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长．
24．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
课题 测量学校旗杆的高度
成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX
工具 皮尺等
测量示意图 图①图② 说明： 线段表示学校旗杆，垂直地面于点B． 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度；第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出的长度．
测量数据 测量项目 数值（单位：米）
图①中的长度 2
图②中的长度 8
… …
图③
（1）根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆的高度．
（2）如图③，某同学进行第三次操作：沿射线方向前行至点F处，再次将绳子拉直，此时测得绳子末端E到地面的距离，得到的长度为2米，则该同学所站位置F与旗杆底端B的距离为_______米．（结果保留根号）
25．综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接．
（1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①______°；
②线段，，之间的数量关系为______．
【深入探究】
如图2，将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接，．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示．
（2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长．
26．如图，已知的顶点为坐标原点，顶点在轴的负半轴上且，点，连接并延长交轴于点．
（1）求直线的解析式；
（2）若点从出发以个单位/秒的速度沿轴向右运动，同时点从出发，以个单位/秒的速度沿轴向左运动，过点，分别作轴的垂线交射线和射线于点，，试猜想四边形的形状(点，重合除外)，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，四边形能为正方形吗？如果能，请求出所有满足条件的点运动的时间；如果不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、当BC=1，AC=2，AB= 时，满足BC2+AB2=1+3=4=AC2，所以△ABC为直角三角形；
B、当BC：AC：AB=3：4：5时，设BC=3x，AC=4x，AB=5x，满足BC2+AC2=AB2，所以△ABC为直角三角形；
C、当∠A+∠B=∠C时，且∠A+∠B+∠C=90°，所以∠C=90°，所以△ABC为直角三角形；
D、当∠A：∠B：∠C=3：4：5时，可设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，由三角形内角和定理可得3x+4x+5x=180，解得x=15°，所以∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，所以△ABC为锐角三角形，
故选D．
【分析】根据勾股定理的逆定理可判定A、B，由三角形内角和可判定C、D，可得出答案．
2．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点（1，2）所在的象限是第一象限.
故答案为：A.
【分析】由点A的横纵坐标的符号，可判断出点A所在的象限.
3．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项中的图形不是中心对称图形，不满足要求，不符合题意；
B选项中的图形不是中心对称图形，不满足要求，不符合题意；
C选项中的图形不是中心对称图形，不满足要求，不符合题意；
D选项中的图形是中心对称图形，满足要求，符合题意．
故答案为：D．
【分析】中心对称图形的定义为：在平面内，将一个图形绕某个点旋转后，旋转得到的图形能够和原来的图形重合，这样的图形就叫做中心对称图形，据此逐项分析判断即可得到结果。
4．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴选项A正确；
∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴选项B正确；
∵菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等，
∴选项C不正确；
∵平行四边形是中心对称图形，
∴选项D正确．
故选：C．
【分析】A：根据角平分线的性质，可得角平分线上的点到角的两边的距离相等．
B：根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
C：根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等．
D：根据中心对称图形的性质，可得常见的中心对称图形有：平行四边形、圆形、正方形、长方形，据此判断即可．（1）此题主要考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个角的平分线把这个角分成两个大小相同的角．（2）此题还考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）此题还考查了直角三角形斜边上的中线，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（4）此题还考查了中心对称图形，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
5．【答案】A
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：不合格人数为：40-18-17=5（人），所以不合格的频率是：5÷40=0.125.
故答案为：A.
【分析】由总人数和优秀，合格人数求出不合格人数，然后根据频率定义列式求出不合格的频率即可。
6．【答案】C
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】∵一次函数的解析式为，
∴函数值y随x的增大而减小，
∵-2<1<3，
∴，
故答案为：C.
【分析】先判断出函数值y随x的增大而减小，再结合-2<1<3，可得，从而得解.
7．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵将向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，
∴，
∵，
∴点关于y轴对称，
故选B．
【分析】
先按照平移的规则计算得到点的坐标，再结合关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标保持不变，即可得到结论．
8．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象知：
①A，B两城相距，故此项正确；
②甲车的平均速度是，乙车的平均速度是，故此项错误；
③乙车先出发，才到达B城，甲车后出发，就到达B城，故此项错误；
④两车在时，行驶路程一样，即甲车在追上乙车，故此项正确．
综上，①④说法正确，
故选：D．
【分析】
结合图像对各个选项逐一分析判断.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将经点顺时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：A
【分析】根据旋转性质可得，则，再根据勾股定理即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】探索规律-点的坐标规律；探索规律-函数上点的规律；中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加，
∴，
∴，
∴，而即，
∵，
当时，，即，
∵关于点中心对称的点为，
即当时，，
∴，
故选：D．
【分析】
观察点的坐标特征，由于点A1和A19的横坐标和的2倍恰好是2，即这两点关于点中心对称 ，则其纵坐标的和为0，即y1+y19=0，同理有：y2+y18=0、y3+y17=0、y4+y16=0、y9+y11=0，即所求代数式可转化为y10+y20，再由函数图象上点的坐标特征知、，则由中心对称的性质可得，即原式的值等于1．
11．【答案】(-5，3)
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为5
∴，
∵点M在第二象限
∴x=-5，y=3
∴M（-5，3）
故答案为：（-5，3）．
【分析】
由于点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值、点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，再由第二象限点坐标的特征即（-，+）即可．
12．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正八边形的外角和为，
∴正八边形的每一个外角为，
∴正八边形的每一个内角为，
故答案为：．
【分析】
根据正多边形内角和外角的相关计算，任意多边形的外角和都为，正八边形的8个外角都相等，由此可以逐步计算得到正八边形每个内角的度数.
13．【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D是Rt△ABC斜边AC的中点，AC=6，
∴BD=CD=AD=AC=3，
∵∠BDC=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC=BD=3，
故答案为：3.
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BD=CD=AD=3，再根据∠BDC=60°得△BCD是等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得出BC的长.
14．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：由题意得将直线向下平移2个单位，所得直线的表达式是，
故答案为：
【分析】根据两个一次函数平行结合题意即可求解。
15．【答案】x≥3
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案是：x≥3．
【分析】根据二次根式 有意义的条件是a≥0，即可求解．
16．【答案】x＞﹣3
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由图中可以看出，当x＞﹣3时，kx+b＜2，
故答案为：x＞﹣3．
【分析】
由于直线呈下降趋势，即y随x的增大而减小，则当x＞﹣3时kx+b＜2．
17．【答案】6
【知识点】正方形的性质；平移的性质；三角形的中位线定理；一次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：∵四边形AOBC为正方形，对角线AB、OC相交于点D，
又∵点C(-4，4)，
∴点D(-2，2)，
如图所示，DE=2，
设正方形AOBC沿x轴向右平移，当点D落在直线y=-2x+4上的点为D ，
则点D 的纵坐标为2，将纵坐标代入y=-2x+4，得 2=-2x+4，
解得x=1，
∴DD =1-(-2)=3
由图知，线段AD扫过的面积应为平行四边形AA D D的面积，
∴S平行四边形AA D D=DD DE=3×2=6．
故答案为6．
【分析】
设平移后点A、D的对应点分别为A`、D`，先由正方形的性质结合中点坐标公式可得点D的坐标，再由平移的性质可得四边形ADD`A`为平行四边形，即线段AD扫过的面积应为平行四边形ADD`A`的面积，则过点D作x轴的垂线段DE，由正方形的性质结合中位线定理可得DE等于AC的一半等于2，再由平移知D`与D的纵坐标相等，则可利用直线上点的坐标特征得出D`的横坐标，即DD`的长度可得，再利用平行四边形的面积求解即可．
18．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当时，，
点A的坐标为，
；
当时，，
解得：，
点B的坐标为，
过点C作轴于点E，如图所示．
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
点C的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入
得：，
解得：，
直线的解析式为
当时，，
解得：，
点D的坐标为，
故答案为：．
【分析】
由于AB垂直BC且AB＝BC，则可过点C作x轴的垂线段CE，再利用一线三垂直全等模型可证明，再利用直线上点的坐标特征可分别得点A、B的坐标，即OA、OB长度可得，再利用全等的性质可得CE＝OB、BE＝AO，即点E的坐标可得，再利用待定系数法可得直线AC的解析式，再利用直线上点的坐标特征令y＝0求出对应的自变量x的值，即点D坐标可得．
19．【答案】（1）解：选择①，
证明：因为，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形；
选择②，
证明：因为，，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形.
（2）解：由（1）得，
因为，，由勾股定理，得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）选择①或②，结合两组对边相互平行，对边平行且相等，进而证得四边形为平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质，得出，结合勾股定理，即可求解.
（1）解：选择①，
证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
选择②，
证明：∵，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：由（1）得，
∵，，
∴．
20．【答案】（1）
（2）解：根据题意，得，解得，
∴碗的数量最多为10个．
【知识点】一元一次不等式的应用；列一次函数关系式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】
（1）
解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加，
∴，
检验∶当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴；
【分析】
（1）观察表格知，只放一只碗时高度为6厘米，即当时；接下来每增加一只碗高度增加2.4厘米，则由题意可列出函数关系式，再整理即可；
（2）由题意列不等式并求出满足条件的自变量x的最大整数解即可．
（1）解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加，
∴，
检验∶当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴；
（2）解：根据题意，得，
解得，
∴碗的数量最多为10个．
21．【答案】 证明（1）∵CE∥BD　　DE∥AC
∴四边形ODEC是平行四边形
又∵菱形ABCD
∴AC⊥BD
∴∠DOC=90°
∴四边形ODEC是矩形
（2）∵Rt△AOD中，∠ADO=60°
∴∠OAD=30°
∴OD=AD=
∴AO==3
∴AC=6
∵四边形ODEC是矩形
∴EC=OD=　　∠ACE=90°
∴AE==

【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形ODEC是平行四边形，结合菱形的性质可知菱形的对角线互相垂直，因此可得∠DOC=90°，最后根据矩形的定义，即可判定四边形ODEC是矩形。
（2）结合含30°角的直角三角形的性质与勾股定理，计算出线段EA的长度即可.
22．【答案】（1）20；0.12
（2）解：如图所示，
（3）解：；，
中位数落在第3组内，
即甲同学的视力情况在范围内；
（4）解：视力正常的人数占被调查人数的百分比是．
【知识点】频数（率）分布直方图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：抽取的总人数是：（人，
则（人，
，
故答案为：50，0.12．
【分析】（1）视力在的频数与频率可得总人数，用总人数乘以0.4可得a值，用1减去其他范围内的频率可得b值.
（2）补全图形即可.
（3）根据中位数的定义即可求出答案.
（4）用视力在4.9以上（含的人数除以总人数即可求出答案.
23．【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵
∴
∴
又∵，
∴点在的角平分线上
∴平分
（2）解：∵
∴
又∵，，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据题目给出的条件，先推导出，由此可得；再结合已知的，，根据角平分线的判定定理，就可以完成证明；
（2）先证明，推导得出，变形后可得，最后把已知条件代入式子，就能得到最终结果．
24．【答案】（1）解：设学校旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
答：学校旗杆的高度为15米；
（2）
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】
（2）
解：如图（3），过点作，交的延长线于点，
则米，
（米），
由（1）可知，（米），
在中，由勾股定理得：（米），
∴米，
即该同学所站位置与旗杆底端的距离为米，
故答案为：．
【分析】
（1）设学校旗杆的高度为米，那么绳子的长度就是米。在直角三角形中，根据勾股定理列出关于x的方程，求解方程就能得到旗杆的高度；
（2）过点作，交的延长线于点，此时可得米，因此米。结合第(1)问的结论可知米，在直角三角形中，利用勾股定理计算出的长度，也就是BF的长度，即可得到最终结论.
（1）解：设学校旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
答：学校旗杆的高度为15米；
（2）解：如图（3），过点作，交的延长线于点，
则米，
（米），
由（1）可知，（米），
在中，由勾股定理得：（米），
∴米，
即该同学所站位置与旗杆底端的距离为米，
故答案为：．
25．【答案】解：（1）①45；
②；
（2）AP=BE+DF正确，
理由：由（1）可知，∠EAF=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠B=90°，
由折叠的性质可知，∠ENF=∠C=90°=∠ANF，∠AME=∠B=90°，
∴△ANF是等腰直角三角形，∠NAP+∠APN=∠NAP+∠AEM=90°，
∴AN=FN，∠APN=∠AEM，
在△ANP和△FNE中，
，
∴△ANP≌△FNE（AAS），
∴AP=EF，
由（1）可知，，
∴AP=BE+DF；
（3）由（2）可知，△ANF是等腰直角三角形，∠NAP=∠NFE，
∴∠AFN=45°，
∴∠AFD=∠AFM=∠AFN+∠NFE=45°+∠NFE，
∵∠NFE=∠CFE，∠AFD+∠AFM+∠CFE=180°，
∴2（45°+∠NFE）+∠NFE=180°，
∴∠NFE=30°，
∴∠NAP=∠NFE=30°，
∴∠BAE=30°，
∴BE==，
∴CE=3-.
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）由折叠的性质可知，∠FAM=∠DAM，∠EAM=∠BAM，
∴∠FAE=∠FAM+∠EAM=∠DAM+∠BAM=（∠DAM+∠BAM）=∠DAB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴∠FAE=∠DAB=45°，
故答案为：45°：
②由折叠的性质可得：EM=EB，FD=FM，
∵ E，M，F三点共线，
∴EF=EM+FM=BE+DF，
故答案为：EF=BE+DF；
【分析】（1）①根据折叠的性质和由正方形的性质易得∠FAE=∠DAB即可得出答案；②根据折叠的性质即可得出答案；
（2）根据折叠和由正方形的性质易证△ANP≌△FNE，即可得出答案；
（3）由（2）可得△ANF是等腰直角三角形，∠NAP=∠NFE，进而求出，再由含角的性质以及勾股定理求解即可
26．【答案】（1）解：如图，设点.
∵点在轴的负半轴上且
且四边形ABCD是平行四边形
∴
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线AC的解析式为；
（2）答：四边形是矩形．理由如下：如图，
设直线的解析式为，过点，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
∵点从出发，以个单位/秒的速度沿轴向左运动，设运动时间为秒，
∴，则，
∴，则，
∵点从出发，以个单位/秒的速度沿轴向右运动，
∴，
∴，
由（1）知：直线AC的解析式为，
∴，则，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（3）答：四边形EPQF能为正方形．理由如下：
∵，，，
∴，
点在点的右侧时，
得：，
∵四边形EPQF能为正方形，
∴，
∴，
解得：；
点在点的左侧时，
得：，
∵四边形EPQF能为正方形，
∴，
∴，
解得：；
综上所述，四边形能为正方形；点的运动时间为秒或秒．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的判定；正方形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】（1）先由题意可得点C坐标，再由平行四边形的性质结合中点坐标公式可得点A的坐标，再利用待定系数法求出直线AC解析式即可；
（2）先利用待定系数法求出直线OA的解析式，则由直线上点的坐标特征可得t秒后点F的坐标为，即；同理可得点E的坐标为，即，再由题意可得，即四边形是矩形；
（3）若矩形EPQF是正方形，则有PQ＝FQ，此时可分两种情况讨论，即当点在点左侧时，则，或当点在点右侧时，则有，再分别解关于t的一元一次方程即可．
（1）解：如图，延长交y轴于点G，
∵的顶点为坐标原点，顶点在轴的负半轴上且，点，
∴，即轴，
∴，轴，
∴，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为；
（2）四边形是矩形．
证明：如图，
设直线的解析式为，过点，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
∵点从出发，以个单位/秒的速度沿轴向左运动，设运动时间为秒，
∴，则，
∴，则，
∵点从出发，以个单位/秒的速度沿轴向右运动，
∴，
∴，
由（1）知：直线AC的解析式为，
∴，则，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（3）四边形EPQF能为正方形．
理由：∵，，，
∴，
点在点的右侧时，
得：，
∵四边形EPQF能为正方形，
∴，
∴，
解得：；
点在点的左侧时，
得：，
∵四边形EPQF能为正方形，
∴，
∴，
解得：；
综上所述，四边形能为正方形；点的运动时间为秒或秒．
1 / 1湖南省岳阳市平江县2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．BC=1，AC=2，AB= B．BC：AC：AB=3：4：5
C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、当BC=1，AC=2，AB= 时，满足BC2+AB2=1+3=4=AC2，所以△ABC为直角三角形；
B、当BC：AC：AB=3：4：5时，设BC=3x，AC=4x，AB=5x，满足BC2+AC2=AB2，所以△ABC为直角三角形；
C、当∠A+∠B=∠C时，且∠A+∠B+∠C=90°，所以∠C=90°，所以△ABC为直角三角形；
D、当∠A：∠B：∠C=3：4：5时，可设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，由三角形内角和定理可得3x+4x+5x=180，解得x=15°，所以∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，所以△ABC为锐角三角形，
故选D．
【分析】根据勾股定理的逆定理可判定A、B，由三角形内角和可判定C、D，可得出答案．
2．在平面直角坐标系中，点 在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点（1，2）所在的象限是第一象限.
故答案为：A.
【分析】由点A的横纵坐标的符号，可判断出点A所在的象限.
3．下列图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项中的图形不是中心对称图形，不满足要求，不符合题意；
B选项中的图形不是中心对称图形，不满足要求，不符合题意；
C选项中的图形不是中心对称图形，不满足要求，不符合题意；
D选项中的图形是中心对称图形，满足要求，符合题意．
故答案为：D．
【分析】中心对称图形的定义为：在平面内，将一个图形绕某个点旋转后，旋转得到的图形能够和原来的图形重合，这样的图形就叫做中心对称图形，据此逐项分析判断即可得到结果。
4．下列说法错误的是（　　）
A．角平分线上的点到角的两边的距离相等
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．菱形的对角线相等
D．平行四边形是中心对称图形
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴选项A正确；
∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴选项B正确；
∵菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等，
∴选项C不正确；
∵平行四边形是中心对称图形，
∴选项D正确．
故选：C．
【分析】A：根据角平分线的性质，可得角平分线上的点到角的两边的距离相等．
B：根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
C：根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等．
D：根据中心对称图形的性质，可得常见的中心对称图形有：平行四边形、圆形、正方形、长方形，据此判断即可．（1）此题主要考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个角的平分线把这个角分成两个大小相同的角．（2）此题还考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）此题还考查了直角三角形斜边上的中线，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（4）此题还考查了中心对称图形，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
5．一个班有40名学生，在一次身体素质测试中，将全班学生的测试结果分为优秀、合格、不合格．测试结果达到优秀的有18人，合格的有17人，则在这次测试中，测试结果不合格的频率是（　　）
A．0.125 B．0.30 C．0.45 D．1.25
【答案】A
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：不合格人数为：40-18-17=5（人），所以不合格的频率是：5÷40=0.125.
故答案为：A.
【分析】由总人数和优秀，合格人数求出不合格人数，然后根据频率定义列式求出不合格的频率即可。
6．若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】∵一次函数的解析式为，
∴函数值y随x的增大而减小，
∵-2<1<3，
∴，
故答案为：C.
【分析】先判断出函数值y随x的增大而减小，再结合-2<1<3，可得，从而得解.
7．如图，两个灯笼的位置的坐标分别是，将点向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点的位置描述正确是（　　）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵将向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，
∴，
∵，
∴点关于y轴对称，
故选B．
【分析】
先按照平移的规则计算得到点的坐标，再结合关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标保持不变，即可得到结论．
8．甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距；②甲车的平均速度是，乙车的平均速度是；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在追上乙车．正确的有（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象知：
①A，B两城相距，故此项正确；
②甲车的平均速度是，乙车的平均速度是，故此项错误；
③乙车先出发，才到达B城，甲车后出发，就到达B城，故此项错误；
④两车在时，行驶路程一样，即甲车在追上乙车，故此项正确．
综上，①④说法正确，
故选：D．
【分析】
结合图像对各个选项逐一分析判断.
9．如图，在中，，将经点顺时针旋转得到，连接，则的长为（　　）
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将经点顺时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：A
【分析】根据旋转性质可得，则，再根据勾股定理即可求出答案.
10．如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【知识点】探索规律-点的坐标规律；探索规律-函数上点的规律；中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加，
∴，
∴，
∴，而即，
∵，
当时，，即，
∵关于点中心对称的点为，
即当时，，
∴，
故选：D．
【分析】
观察点的坐标特征，由于点A1和A19的横坐标和的2倍恰好是2，即这两点关于点中心对称 ，则其纵坐标的和为0，即y1+y19=0，同理有：y2+y18=0、y3+y17=0、y4+y16=0、y9+y11=0，即所求代数式可转化为y10+y20，再由函数图象上点的坐标特征知、，则由中心对称的性质可得，即原式的值等于1．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，则点M的坐标是　 　．
【答案】(-5，3)
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为5
∴，
∵点M在第二象限
∴x=-5，y=3
∴M（-5，3）
故答案为：（-5，3）．
【分析】
由于点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值、点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，再由第二象限点坐标的特征即（-，+）即可．
12．如图1是我国古建筑墙上常用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个内角的度数是　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正八边形的外角和为，
∴正八边形的每一个外角为，
∴正八边形的每一个内角为，
故答案为：．
【分析】
根据正多边形内角和外角的相关计算，任意多边形的外角和都为，正八边形的8个外角都相等，由此可以逐步计算得到正八边形每个内角的度数.
13．如图，在中，D是的中点，，，则的长是　 　．
【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D是Rt△ABC斜边AC的中点，AC=6，
∴BD=CD=AD=AC=3，
∵∠BDC=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC=BD=3，
故答案为：3.
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BD=CD=AD=3，再根据∠BDC=60°得△BCD是等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得出BC的长.
14．将直线向下平移2个单位，所得直线的表达式是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：由题意得将直线向下平移2个单位，所得直线的表达式是，
故答案为：
【分析】根据两个一次函数平行结合题意即可求解。
15．函数 中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x≥3
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案是：x≥3．
【分析】根据二次根式 有意义的条件是a≥0，即可求解．
16．如图，直线 y＝kx+b（k≠0）经过点 A（﹣3，2），则关于 x 的不等式 kx+b＜2 解集是　 　．
【答案】x＞﹣3
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由图中可以看出，当x＞﹣3时，kx+b＜2，
故答案为：x＞﹣3．
【分析】
由于直线呈下降趋势，即y随x的增大而减小，则当x＞﹣3时kx+b＜2．
17．如图，把正方形AOBC 放在直角坐标系内，对角线AB、OC相交于点D．点C的坐标是（-4，4），将正方形AOBC沿x轴向右平移，当点D落在直线y=-2x+4上时，线段AD扫过的面积为　 　 ．
【答案】6
【知识点】正方形的性质；平移的性质；三角形的中位线定理；一次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：∵四边形AOBC为正方形，对角线AB、OC相交于点D，
又∵点C(-4，4)，
∴点D(-2，2)，
如图所示，DE=2，
设正方形AOBC沿x轴向右平移，当点D落在直线y=-2x+4上的点为D ，
则点D 的纵坐标为2，将纵坐标代入y=-2x+4，得 2=-2x+4，
解得x=1，
∴DD =1-(-2)=3
由图知，线段AD扫过的面积应为平行四边形AA D D的面积，
∴S平行四边形AA D D=DD DE=3×2=6．
故答案为6．
【分析】
设平移后点A、D的对应点分别为A`、D`，先由正方形的性质结合中点坐标公式可得点D的坐标，再由平移的性质可得四边形ADD`A`为平行四边形，即线段AD扫过的面积应为平行四边形ADD`A`的面积，则过点D作x轴的垂线段DE，由正方形的性质结合中位线定理可得DE等于AC的一半等于2，再由平移知D`与D的纵坐标相等，则可利用直线上点的坐标特征得出D`的横坐标，即DD`的长度可得，再利用平行四边形的面积求解即可．
18．一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点．则点D的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当时，，
点A的坐标为，
；
当时，，
解得：，
点B的坐标为，
过点C作轴于点E，如图所示．
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
点C的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入
得：，
解得：，
直线的解析式为
当时，，
解得：，
点D的坐标为，
故答案为：．
【分析】
由于AB垂直BC且AB＝BC，则可过点C作x轴的垂线段CE，再利用一线三垂直全等模型可证明，再利用直线上点的坐标特征可分别得点A、B的坐标，即OA、OB长度可得，再利用全等的性质可得CE＝OB、BE＝AO，即点E的坐标可得，再利用待定系数法可得直线AC的解析式，再利用直线上点的坐标特征令y＝0求出对应的自变量x的值，即点D坐标可得．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求线段的长．
【答案】（1）解：选择①，
证明：因为，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形；
选择②，
证明：因为，，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形.
（2）解：由（1）得，
因为，，由勾股定理，得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）选择①或②，结合两组对边相互平行，对边平行且相等，进而证得四边形为平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质，得出，结合勾股定理，即可求解.
（1）解：选择①，
证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
选择②，
证明：∵，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：由（1）得，
∵，，
∴．
20．图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的与之间的对应数据：
个 1 2 3 4
6 8.4 10.8 13.2
（1）依据小亮测量的数据，写出与之间的函数表达式，并说明理由；
（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？
【答案】（1）
（2）解：根据题意，得，解得，
∴碗的数量最多为10个．
【知识点】一元一次不等式的应用；列一次函数关系式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】
（1）
解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加，
∴，
检验∶当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴；
【分析】
（1）观察表格知，只放一只碗时高度为6厘米，即当时；接下来每增加一只碗高度增加2.4厘米，则由题意可列出函数关系式，再整理即可；
（2）由题意列不等式并求出满足条件的自变量x的最大整数解即可．
（1）解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加，
∴，
检验∶当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴；
（2）解：根据题意，得，
解得，
∴碗的数量最多为10个．
21．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C. D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E.
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB=60°，AD=2时，求EA的长．
【答案】 证明（1）∵CE∥BD　　DE∥AC
∴四边形ODEC是平行四边形
又∵菱形ABCD
∴AC⊥BD
∴∠DOC=90°
∴四边形ODEC是矩形
（2）∵Rt△AOD中，∠ADO=60°
∴∠OAD=30°
∴OD=AD=
∴AO==3
∴AC=6
∵四边形ODEC是矩形
∴EC=OD=　　∠ACE=90°
∴AE==

【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形ODEC是平行四边形，结合菱形的性质可知菱形的对角线互相垂直，因此可得∠DOC=90°，最后根据矩形的定义，即可判定四边形ODEC是矩形。
（2）结合含30°角的直角三角形的性质与勾股定理，计算出线段EA的长度即可.
22．某校对八年级学生进行了一次视力调查，绘制出频数分布表和频数直方图的一部分如下：
视力 频数（人数） 频率
4 0.08
8 0.16
12 0.24
0.4
6
请根据图表信息回答下列问题：
（1）在频数分布表中，的值为　 　，的值为　 　；
（2）将频数直方图补充完整；
（3）甲同学说：“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”，问甲同学的视力情况在哪个范围内？
（4）若视力在4.9以上（含4.9）均属正常，求视力正常的人数占被调查人数的百分比．
【答案】（1）20；0.12
（2）解：如图所示，
（3）解：；，
中位数落在第3组内，
即甲同学的视力情况在范围内；
（4）解：视力正常的人数占被调查人数的百分比是．
【知识点】频数（率）分布直方图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：抽取的总人数是：（人，
则（人，
，
故答案为：50，0.12．
【分析】（1）视力在的频数与频率可得总人数，用总人数乘以0.4可得a值，用1减去其他范围内的频率可得b值.
（2）补全图形即可.
（3）根据中位数的定义即可求出答案.
（4）用视力在4.9以上（含的人数除以总人数即可求出答案.
23．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵
∴
∴
又∵，
∴点在的角平分线上
∴平分
（2）解：∵
∴
又∵，，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据题目给出的条件，先推导出，由此可得；再结合已知的，，根据角平分线的判定定理，就可以完成证明；
（2）先证明，推导得出，变形后可得，最后把已知条件代入式子，就能得到最终结果．
24．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
课题 测量学校旗杆的高度
成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX
工具 皮尺等
测量示意图 图①图② 说明： 线段表示学校旗杆，垂直地面于点B． 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度；第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出的长度．
测量数据 测量项目 数值（单位：米）
图①中的长度 2
图②中的长度 8
… …
图③
（1）根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆的高度．
（2）如图③，某同学进行第三次操作：沿射线方向前行至点F处，再次将绳子拉直，此时测得绳子末端E到地面的距离，得到的长度为2米，则该同学所站位置F与旗杆底端B的距离为_______米．（结果保留根号）
【答案】（1）解：设学校旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
答：学校旗杆的高度为15米；
（2）
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】
（2）
解：如图（3），过点作，交的延长线于点，
则米，
（米），
由（1）可知，（米），
在中，由勾股定理得：（米），
∴米，
即该同学所站位置与旗杆底端的距离为米，
故答案为：．
【分析】
（1）设学校旗杆的高度为米，那么绳子的长度就是米。在直角三角形中，根据勾股定理列出关于x的方程，求解方程就能得到旗杆的高度；
（2）过点作，交的延长线于点，此时可得米，因此米。结合第(1)问的结论可知米，在直角三角形中，利用勾股定理计算出的长度，也就是BF的长度，即可得到最终结论.
（1）解：设学校旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
答：学校旗杆的高度为15米；
（2）解：如图（3），过点作，交的延长线于点，
则米，
（米），
由（1）可知，（米），
在中，由勾股定理得：（米），
∴米，
即该同学所站位置与旗杆底端的距离为米，
故答案为：．
25．综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接．
（1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①______°；
②线段，，之间的数量关系为______．
【深入探究】
如图2，将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接，．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示．
（2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长．
【答案】解：（1）①45；
②；
（2）AP=BE+DF正确，
理由：由（1）可知，∠EAF=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠B=90°，
由折叠的性质可知，∠ENF=∠C=90°=∠ANF，∠AME=∠B=90°，
∴△ANF是等腰直角三角形，∠NAP+∠APN=∠NAP+∠AEM=90°，
∴AN=FN，∠APN=∠AEM，
在△ANP和△FNE中，
，
∴△ANP≌△FNE（AAS），
∴AP=EF，
由（1）可知，，
∴AP=BE+DF；
（3）由（2）可知，△ANF是等腰直角三角形，∠NAP=∠NFE，
∴∠AFN=45°，
∴∠AFD=∠AFM=∠AFN+∠NFE=45°+∠NFE，
∵∠NFE=∠CFE，∠AFD+∠AFM+∠CFE=180°，
∴2（45°+∠NFE）+∠NFE=180°，
∴∠NFE=30°，
∴∠NAP=∠NFE=30°，
∴∠BAE=30°，
∴BE==，
∴CE=3-.
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）由折叠的性质可知，∠FAM=∠DAM，∠EAM=∠BAM，
∴∠FAE=∠FAM+∠EAM=∠DAM+∠BAM=（∠DAM+∠BAM）=∠DAB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴∠FAE=∠DAB=45°，
故答案为：45°：
②由折叠的性质可得：EM=EB，FD=FM，
∵ E，M，F三点共线，
∴EF=EM+FM=BE+DF，
故答案为：EF=BE+DF；
【分析】（1）①根据折叠的性质和由正方形的性质易得∠FAE=∠DAB即可得出答案；②根据折叠的性质即可得出答案；
（2）根据折叠和由正方形的性质易证△ANP≌△FNE，即可得出答案；
（3）由（2）可得△ANF是等腰直角三角形，∠NAP=∠NFE，进而求出，再由含角的性质以及勾股定理求解即可
26．如图，已知的顶点为坐标原点，顶点在轴的负半轴上且，点，连接并延长交轴于点．
（1）求直线的解析式；
（2）若点从出发以个单位/秒的速度沿轴向右运动，同时点从出发，以个单位/秒的速度沿轴向左运动，过点，分别作轴的垂线交射线和射线于点，，试猜想四边形的形状(点，重合除外)，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，四边形能为正方形吗？如果能，请求出所有满足条件的点运动的时间；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：如图，设点.
∵点在轴的负半轴上且
且四边形ABCD是平行四边形
∴
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线AC的解析式为；
（2）答：四边形是矩形．理由如下：如图，
设直线的解析式为，过点，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
∵点从出发，以个单位/秒的速度沿轴向左运动，设运动时间为秒，
∴，则，
∴，则，
∵点从出发，以个单位/秒的速度沿轴向右运动，
∴，
∴，
由（1）知：直线AC的解析式为，
∴，则，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（3）答：四边形EPQF能为正方形．理由如下：
∵，，，
∴，
点在点的右侧时，
得：，
∵四边形EPQF能为正方形，
∴，
∴，
解得：；
点在点的左侧时，
得：，
∵四边形EPQF能为正方形，
∴，
∴，
解得：；
综上所述，四边形能为正方形；点的运动时间为秒或秒．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的判定；正方形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】（1）先由题意可得点C坐标，再由平行四边形的性质结合中点坐标公式可得点A的坐标，再利用待定系数法求出直线AC解析式即可；
（2）先利用待定系数法求出直线OA的解析式，则由直线上点的坐标特征可得t秒后点F的坐标为，即；同理可得点E的坐标为，即，再由题意可得，即四边形是矩形；
（3）若矩形EPQF是正方形，则有PQ＝FQ，此时可分两种情况讨论，即当点在点左侧时，则，或当点在点右侧时，则有，再分别解关于t的一元一次方程即可．
（1）解：如图，延长交y轴于点G，
∵的顶点为坐标原点，顶点在轴的负半轴上且，点，
∴，即轴，
∴，轴，
∴，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为；
（2）四边形是矩形．
证明：如图，
设直线的解析式为，过点，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
∵点从出发，以个单位/秒的速度沿轴向左运动，设运动时间为秒，
∴，则，
∴，则，
∵点从出发，以个单位/秒的速度沿轴向右运动，
∴，
∴，
由（1）知：直线AC的解析式为，
∴，则，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（3）四边形EPQF能为正方形．
理由：∵，，，
∴，
点在点的右侧时，
得：，
∵四边形EPQF能为正方形，
∴，
∴，
解得：；
点在点的左侧时，
得：，
∵四边形EPQF能为正方形，
∴，
∴，
解得：；
综上所述，四边形能为正方形；点的运动时间为秒或秒．
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