资源简介

广东省广州市五校（省实、执信、广雅、二中、六中）2024~2025学年高一下学期期末联考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 若， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意，得，
当时，，故C正确、D错误；
当时，，，
但当时，上述关系不成立，故A、B错误.
故答案为：C.
【分析】先求出集合，N，再利用集合的运算判断即可.
2．若复数，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：依题意，
，
则，解得，
所以，实数a的值为.
故答案为：A.
【分析】利用复数的除法运算法则和纯虚数的定义，从而列式求解得出满足要求的实数a的值.
3．如图，向量 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由图可知：
则，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据图象得出，再利用向量的减法运算法则和平面向量基本定理，从而找出正确的选项.
4．已知函数，若， 且，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为函数，
由，得，
由，得，
因此，
则，，
解得，故A、B错误；
因为，故C正确、D错误.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件结合对数的运算法则，从而可得的值，再利用得出a，b的不等关系，则判断出选项A和选项B；利用基本不等式求最值的方法，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
5．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.所取的2道题都是同一类题的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设4道甲类题为，2道乙类题为，
则共有15种情况，
令事件表示所取的2道题都是同一类题，
所以共有7种情况，
则.
故答案为：D.
【分析】根据题意，先求出样本空间，令事件表示所取的2道题都是同一类题，再求出事件的所有情况，再由古典概率公式得出所取的2道题都是同一类题的概率.
6．如图，正三棱柱 的各棱长均为1，的中点为D，上有两个动点，且 则下列结论中错误的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．平面
D．的面积与的面积相等
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；三角形中的几何计算；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A：因为，点为的中点，所以，
由正三棱柱，得平面平面，
又因为平面平面，平面，
因为平面，所以，故A正确；
对于B：由平面，则为点到平面的距离，
因为，
所以，，
则，故B正确；
对于C：因为正三棱柱，平面平面，又因为平面，
所以平面，故C正确；
对于D：取的中点为，连接，
由，，
则，，，
所以，故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据面面垂直的性质定理得出线线垂直，则判断出选项A；利用线面垂直得出为点到平面的距离，再利用中点的性质和勾股定理以及三角形的面积公式、三棱锥体积公式，则判断出选项B；由正三棱柱的结构特征得出面面平行，再利用面面平行的性质定理得出线面平行，则判断出选项C；利用中点的性质和勾股定理以及三角形的面积公式，则判断出选项D，从而找出结论错误的选项.
7．已知，是单位向量， 0．若向量满足||＝1，则||的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由题意，如图：
∵||＝||＝1，且，
∴设，，．
∴．
∵，∴，
则（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．
∴的最大值．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件建立平面直角坐标系，从而设出点的坐标，再利用向量运算的坐标表示和向量的模的坐标表示以及圆的几何性质求最值的方法，从而得出的最大值．
8．甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，并约定规则如下：在每个回合中，若发球方赢球，则得1分，并且下一回合继续由其发球；若发球方输球，则双方均不得分，且下一回合交换发球权；比赛持续三回合后结束，若最终甲乙得分相同，则为平局.已知在每回合中，甲获胜的概率均为 ，各回合比赛结果相互独立，第一回合由甲发球.则甲乙两人在比赛中平局的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：设“第回合甲胜”，
则，
设事件“甲乙两人平局”，
依题意，甲乙两人在比赛中平局只有与两种情况，
则，
因此
.
故答案为：D
【分析】根据已知条件把所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用对立事件求概率公式、互斥事件加法求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而得出甲、乙两人在比赛中平局的概率.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．以下选项正确的是（ ）
A．
B．事件与事件互为对立事件，则事件与事件一定互斥
C．事件与事件相互独立，则事件与事件一定互斥
D．“掷2次硬币出现1个正面”的概率与“掷4次硬币出现2个正面”的概率不相等
【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；互斥事件与对立事件；相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：对于A：因为，故A正确；
对于B：由事件A与事件B互为对立事件，
则，
所以事件与事件一定互斥，故B正确；
对于C：抛一枚骰子，令事件，事件，
则，，
所以，事件与事件相互独立，但事件与事件不互斥，故C错误；
对于D：因为“掷2次硬币出现1个正面”的概率为，
“掷4次硬币出现2个正面”的概率为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据平均数公式和求和公式，则可判断选项A；根据对立事件的定义和互斥事件的定义，则判断出选项B；举反例结合独立事件定义和互斥事件定义，则判断出选项C；分别求“掷2次硬币出现1个正面”的概率与“掷4次硬币出现2个正面”的概率，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．已知矩形，，沿BD将折起成若点在平面上的射影落在内部（含边界），则在翻折过程中，下列选项正确的是（ ）
A．四面体的外接球表面积为5π
B．四面体的体积的最大值为
C．四面体的体积的最小值为
D．四面体的4个面中最多有3个直角三角形
【答案】A,B,C
【知识点】棱锥的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：在矩形中，过作于，交于，
则，，.
对于A，取中点，则，点为四面体的外接球球心，
所以，该球的表面积为，故A正确；
对于B、C，在四面体中，，
因为平面，则平面，
又因为平面内，所以平面平面，
由点在平面上的射影落在内部（含边界），得在平面上的射影落在线段上，
令点到平面的距离为，
当在平面上的射影与点重合时，；
当在平面上的射影与点重合时，，
则，
所以四面体的体积，故B、C正确；
对于D，在四面体中，都是直角三角形，
当在平面上的射影与点重合时，，
此时，则，
所以也都是直角三角形，
因此四面体的4个面都是直角三角形，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】先确定球心位置和半径，再利用球的表面积公式判断出选项A；根据射影定义求出点到平面的距离的最值，再结合三棱锥的体积公式判断出选项B和选项C；利用直角三角形的结构特征和勾股定理，则判断出四面体的4个面都是直角三角形，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数 ，且当时有，则下列选项正确的是（ ）
A． B．的值域为
C．，则 D．，则
【答案】A,B,D
【知识点】函数的值域；奇偶性与单调性的综合；有理数指数幂的运算性质；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：对于A，
因为
，故A对；
对于B，因为，
又因为所以，则，
所以，则函数的值域为，故B对；
对于C，对于任意的，，则函数的定义域为，
所以，则函数为奇函数，
任取、，且，则，
所以
则，所以函数为上的增函数，且为奇函数，
由，可得，
则，解得，故C错；
对于D，因为，
当时，由，
整理可得，则，
所以，故D对.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件验证判断出选项A；先求出，再结合指数型函数的基本性质可得的值域，则可判断选项B；先判断出函数的单调性与奇偶性，再解不等式可判断选项C；当时，由化简得出，由此可得，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n =　 　.
【答案】13
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】(解法1)由分层抽样得 ，解得n＝13。
(解法2)从甲、乙、丙三个车间依次抽取a，b，c个样本，则120∶80∶60＝a∶b∶3?a＝6，b＝4，所以n＝a＋b＋c＝13。
【分析】利用已知条件结合分层抽样的两种方法，从而求出n的值。
13．函数的部分图象如图所示，则　 　.
【答案】6
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解；由图可知，
∴.
故答案为：6
【分析】利用函数的部分图象得出点A的坐标和点B的坐标，再利用向量的坐标表示和数量积的坐标表示，从而得出的值.
14．在大数据时代，由于整合不同来源的数据需要以及在数据量庞大的情况下为减少计算量，实际上在计算机中计算方差是使用递推方法进行计算的.先计算前面k个数据的平均数和方差， 再计算前面k+1个数据的平均数和方，计算可利用递推式：，则　 　.
【答案】
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为前个数据的方差为：，
又因为前个数据的平均数为：，
得，
则，
因为，
所以
结合题意，得，
则．
故答案为：.
【分析】由方差公式和平均数公式，从而得出，再利用已知条件得出，从而得出．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数
（1）若直线是函数图像的对称轴（其中是正实数），求的最小值；
（2）若锐角满足 求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意，则
，
令，
所以，
当时，，
所以的最小值为.
（2）解：由则，
所以，
由，则，
所以，则，
因为，所以，
又因为为锐角三角形，
所以，则，
所以，则，
所以，
则的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换对化简得，利用正弦型函数的对称性和赋值法，从而得出的最小值.
（2）由（1）结合，则赋值结合锐角三角形中角A的取值范围，从而得出角的值，由为锐角三角形和三角形内角和定理，从而求出角的取值范围，再结合正弦型函数求值域的方法，进而求出的取值范围.
（1）由题意有
，
令，所以，当时，，
所以的最小值为；
（2）由有，即，
由有：，所以，即，
又，所以，
又因为为锐角三角形，所以，即，
所以，所以，
所以，
所以的取值范围为.
16．2025年4月15日~5月5日春季广交会期间，出口意向成交额249.5亿美元. “一带一路”共建国家成交占比过半，欧美传统市场成交实现增长.现从某出口贸易展馆随机抽取了100名观展人员，统计他们的观展时间（从进入至离开该展馆的时长，单位：分钟，取整数），将时间分成五组， 并绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中a的值；
（2）由频率分布直方图，试估计该样本数据的第75百分位数（保留一位小数）以及该样本数据的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）；
（3）展馆举办方为了进一步了解所抽取的100名观展人员对展品的评价，现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从参观时间在和内的观展人员中抽取5人，再从中随机挑出两人进行详细调研，求两人分别来自于观展时间在和的概率.
【答案】（1）解：由题意，则，
解得.
（2）解：设第75百分位数为，
则，
解得，
由
则估计出该样本数据的第75百分位数为，该样本数据的平均数为.
（3）解：由题意，
则的人数为：人，的人数为：人，
根据分层抽样，在应抽取：人，
在应抽取：人，
设抽取2人为，抽取3人为，
从5人中随机挑出两人进行详细调研，
则共有10种情况，
令事件表示两人分别来自于观展时间在和，
则共有6种情况，
所以.

【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形面积等于各小组的频率，再利用频率之和为1，从而得出实数a的值.
（2）根据频率分布直方图求百分位数的方法和频率分布直方图估计平均数的公式，从而估计出该样本数据的第75百分位数和该样本数据的平均数.
（3）先利用分层抽样计算出和应抽取的人数，再利用古典概率公式，从而得出两人分别来自于观展时间在和的概率.
（1）由题意有：，解得；
（2）设第75百分位数为，则，解得，
由，
所以估计该样本数据的第75百分位数为，该样本数据的平均数为；
（3）由题意有的人数为：人，的人数为：人，
根据分层抽样在应抽取：人，在应抽取：人，
设抽取2人为，抽取3人为，
从5人中随机挑出两人进行详细调研，则有共有10种情况，
令事件表示两人分别来自于观展时间在和，
则共有6种情况，所以.
17．如图， 是等边三角形， ， A，B，C三点共线，D是线段BC上的任意点 （不含端点）.
（1）求 的值；
（2）若 求的最小值.
【答案】（1）解：在中，，，
由正弦定理，，
得，
因此
.
（2）解：由，点D是线段BC上的任意点 （不含端点），
得，
则，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为9.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理和数量积的定义，再结合诱导公式和二倍角的正弦公式，从而得出的值.
（2）利用平面向量基本定理和已知条件，再利用基本不等式求最值的方法，从而求出的最小值.
（1）在中，，，
由正弦定理，得，
因此
.
（2）由，D是线段BC上的任意点 （不含端点），得，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为9.
18．在三棱柱中，，且D为BC的中点， 为的中点.
（1）若，求证：
（2）若，求直线与平面 所成角的正弦值
（3）若，求二面角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明：在三棱柱中，连接，
由分别为中点，得，
则四边形为平行四边形，所以，
由，得，
由，得，
则，
所以，
由，得，
又因为，平面，
所以平面，则平面.
（2）解：由（1）知，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面，
在平面内，
过作于点，平面平面，
因此平面，连接，
则是直线与平面所成角，
由，
得，
在中，，
在中，，
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：由（1）得，
因为，
则，
由（2）得，
过作平面于，连接，
由平面，得，
因为平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
则是二面角的平面角，
显然，当且仅当重合时取等号，
则，
所以，二面角的正弦值的最大值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）先判断出四边形为平行四边形，进而得出线线平行，再利用等腰三角形三线合一得出线线垂直，再由线线垂直证出线面垂直.
（2）先得出是直线与平面所成角，再解三角形即可.
（3） 由（1）（2）中信息，求出直角三角形领边上的高，再作平面于，利用定义法求出二面角正弦值的最大值.
（1）在三棱柱中，连接，由分别为中点，
得，则四边形为平行四边形，，
由，得，由，得，
则，于是，由，
得，而，平面，则平面，
所以平面.
（2）由（1）知，平面，所以平面，
而平面，则平面平面，
在平面内过作于点，平面平面，
因此平面，连接，是直线与平面所成角，
由，得，
在中，，在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由（1）得，又，
则，由（2）得，
过作平面于，连接，由平面，得，
而平面，则平面，
又平面，则，是二面角的平面角，
显然，当且仅当重合时取等号，，
所以二面角的正弦值的最大值为.
19．已知函数
（1）对于函数 ，如果存在实数a，b使得 ，那么称为的生成函数，据此生成函数的定义，判断是否存在实数m使成为函数的生成函数，若存在请求出m的值，若不存在请说明理由.
（2）若 其中 求 的取值范围.
（3）若x，m均为正整数，求函数 的最小值（用m表示） 及的最大值.
【答案】（1）解：假若存在实数m使成为函数的生成函数，
由题意，得，，
当时恒成立，
∴，
恒成立，
此方程无解，
不存在实数m使成为函数的生成函数.
（2）解：设，则，
因为有两个解为，
所以，得，且判别式为，解得，
，在上单调递增，
，
则.
（3）解：由题意，
得
，
x，m均为正整数，
，
是开口向上的二次函数，其对称轴为，
m均为正整数，
要找到离对称轴最近的正整数来确定最小值，
①当时，对称轴为，则，
所以；
②当时，对称轴为，离对称轴最近的正整数是，
则，所以；
③当时，对称轴为，
离对称轴最近的正整数是或，则，
所以；
④当时，，，，
综上所述，
通过前面计算，可知当时，；
当时，；当时，，
当时，
综上所述，.
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的最大（小）值；图形的对称性
【解析】【分析】（1）利用题意和生成函数列出等式，再化简整理结合函数恒等式的意义，从而判断出不存在实数m使成为函数的生成函数.
（2）利用确定的情况，再结合判别式以及函数的单调性得出的取值范围.
（3） 先求出的表达式，结合二次函数的性质分析当x，m均为正整数时函数的最小值和最大值 .
（1）假若存在实数m使成为函数的生成函数，由题意得，
，当时恒成立
∴，恒成立，此方程无解，
不存在实数m使成为函数的生成函数.
（2）设，则，
有两个解为，即，
得，且判别式，解得，
，在上单调递增，
，
即.
（3）由题意得函数
，
x，m均为正整数，，
是开口向上的二次函数，其对称轴为，
m均为正整数，要找到离对称轴最近的正整数来确定最小值，
①当时，对称轴为，，；
②当时，对称轴为，离对称轴最近的正整数是，，；
③当时，对称轴为，离对称轴最近的正整数是或，，；
④当时，，，，
综上所述，
通过前面计算可知当时，；
当时，；当时，，
当时，，
综上所述，.
1 / 1广东省广州市五校（省实、执信、广雅、二中、六中）2024~2025学年高一下学期期末联考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 若， 则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．3
3．如图，向量 等于（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，若， 且，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.所取的2道题都是同一类题的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正三棱柱 的各棱长均为1，的中点为D，上有两个动点，且 则下列结论中错误的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．平面
D．的面积与的面积相等
7．已知，是单位向量， 0．若向量满足||＝1，则||的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，并约定规则如下：在每个回合中，若发球方赢球，则得1分，并且下一回合继续由其发球；若发球方输球，则双方均不得分，且下一回合交换发球权；比赛持续三回合后结束，若最终甲乙得分相同，则为平局.已知在每回合中，甲获胜的概率均为 ，各回合比赛结果相互独立，第一回合由甲发球.则甲乙两人在比赛中平局的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．以下选项正确的是（ ）
A．
B．事件与事件互为对立事件，则事件与事件一定互斥
C．事件与事件相互独立，则事件与事件一定互斥
D．“掷2次硬币出现1个正面”的概率与“掷4次硬币出现2个正面”的概率不相等
10．已知矩形，，沿BD将折起成若点在平面上的射影落在内部（含边界），则在翻折过程中，下列选项正确的是（ ）
A．四面体的外接球表面积为5π
B．四面体的体积的最大值为
C．四面体的体积的最小值为
D．四面体的4个面中最多有3个直角三角形
11．双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数 ，且当时有，则下列选项正确的是（ ）
A． B．的值域为
C．，则 D．，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n =　 　.
13．函数的部分图象如图所示，则　 　.
14．在大数据时代，由于整合不同来源的数据需要以及在数据量庞大的情况下为减少计算量，实际上在计算机中计算方差是使用递推方法进行计算的.先计算前面k个数据的平均数和方差， 再计算前面k+1个数据的平均数和方，计算可利用递推式：，则　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数
（1）若直线是函数图像的对称轴（其中是正实数），求的最小值；
（2）若锐角满足 求的取值范围.
16．2025年4月15日~5月5日春季广交会期间，出口意向成交额249.5亿美元. “一带一路”共建国家成交占比过半，欧美传统市场成交实现增长.现从某出口贸易展馆随机抽取了100名观展人员，统计他们的观展时间（从进入至离开该展馆的时长，单位：分钟，取整数），将时间分成五组， 并绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中a的值；
（2）由频率分布直方图，试估计该样本数据的第75百分位数（保留一位小数）以及该样本数据的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）；
（3）展馆举办方为了进一步了解所抽取的100名观展人员对展品的评价，现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从参观时间在和内的观展人员中抽取5人，再从中随机挑出两人进行详细调研，求两人分别来自于观展时间在和的概率.
17．如图， 是等边三角形， ， A，B，C三点共线，D是线段BC上的任意点 （不含端点）.
（1）求 的值；
（2）若 求的最小值.
18．在三棱柱中，，且D为BC的中点， 为的中点.
（1）若，求证：
（2）若，求直线与平面 所成角的正弦值
（3）若，求二面角的正弦值的最大值.
19．已知函数
（1）对于函数 ，如果存在实数a，b使得 ，那么称为的生成函数，据此生成函数的定义，判断是否存在实数m使成为函数的生成函数，若存在请求出m的值，若不存在请说明理由.
（2）若 其中 求 的取值范围.
（3）若x，m均为正整数，求函数 的最小值（用m表示） 及的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意，得，
当时，，故C正确、D错误；
当时，，，
但当时，上述关系不成立，故A、B错误.
故答案为：C.
【分析】先求出集合，N，再利用集合的运算判断即可.
2．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：依题意，
，
则，解得，
所以，实数a的值为.
故答案为：A.
【分析】利用复数的除法运算法则和纯虚数的定义，从而列式求解得出满足要求的实数a的值.
3．【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由图可知：
则，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据图象得出，再利用向量的减法运算法则和平面向量基本定理，从而找出正确的选项.
4．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为函数，
由，得，
由，得，
因此，
则，，
解得，故A、B错误；
因为，故C正确、D错误.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件结合对数的运算法则，从而可得的值，再利用得出a，b的不等关系，则判断出选项A和选项B；利用基本不等式求最值的方法，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
5．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设4道甲类题为，2道乙类题为，
则共有15种情况，
令事件表示所取的2道题都是同一类题，
所以共有7种情况，
则.
故答案为：D.
【分析】根据题意，先求出样本空间，令事件表示所取的2道题都是同一类题，再求出事件的所有情况，再由古典概率公式得出所取的2道题都是同一类题的概率.
6．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；三角形中的几何计算；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A：因为，点为的中点，所以，
由正三棱柱，得平面平面，
又因为平面平面，平面，
因为平面，所以，故A正确；
对于B：由平面，则为点到平面的距离，
因为，
所以，，
则，故B正确；
对于C：因为正三棱柱，平面平面，又因为平面，
所以平面，故C正确；
对于D：取的中点为，连接，
由，，
则，，，
所以，故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据面面垂直的性质定理得出线线垂直，则判断出选项A；利用线面垂直得出为点到平面的距离，再利用中点的性质和勾股定理以及三角形的面积公式、三棱锥体积公式，则判断出选项B；由正三棱柱的结构特征得出面面平行，再利用面面平行的性质定理得出线面平行，则判断出选项C；利用中点的性质和勾股定理以及三角形的面积公式，则判断出选项D，从而找出结论错误的选项.
7．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由题意，如图：
∵||＝||＝1，且，
∴设，，．
∴．
∵，∴，
则（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．
∴的最大值．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件建立平面直角坐标系，从而设出点的坐标，再利用向量运算的坐标表示和向量的模的坐标表示以及圆的几何性质求最值的方法，从而得出的最大值．
8．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：设“第回合甲胜”，
则，
设事件“甲乙两人平局”，
依题意，甲乙两人在比赛中平局只有与两种情况，
则，
因此
.
故答案为：D
【分析】根据已知条件把所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用对立事件求概率公式、互斥事件加法求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而得出甲、乙两人在比赛中平局的概率.
9．【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；互斥事件与对立事件；相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：对于A：因为，故A正确；
对于B：由事件A与事件B互为对立事件，
则，
所以事件与事件一定互斥，故B正确；
对于C：抛一枚骰子，令事件，事件，
则，，
所以，事件与事件相互独立，但事件与事件不互斥，故C错误；
对于D：因为“掷2次硬币出现1个正面”的概率为，
“掷4次硬币出现2个正面”的概率为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据平均数公式和求和公式，则可判断选项A；根据对立事件的定义和互斥事件的定义，则判断出选项B；举反例结合独立事件定义和互斥事件定义，则判断出选项C；分别求“掷2次硬币出现1个正面”的概率与“掷4次硬币出现2个正面”的概率，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,B,C
【知识点】棱锥的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：在矩形中，过作于，交于，
则，，.
对于A，取中点，则，点为四面体的外接球球心，
所以，该球的表面积为，故A正确；
对于B、C，在四面体中，，
因为平面，则平面，
又因为平面内，所以平面平面，
由点在平面上的射影落在内部（含边界），得在平面上的射影落在线段上，
令点到平面的距离为，
当在平面上的射影与点重合时，；
当在平面上的射影与点重合时，，
则，
所以四面体的体积，故B、C正确；
对于D，在四面体中，都是直角三角形，
当在平面上的射影与点重合时，，
此时，则，
所以也都是直角三角形，
因此四面体的4个面都是直角三角形，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】先确定球心位置和半径，再利用球的表面积公式判断出选项A；根据射影定义求出点到平面的距离的最值，再结合三棱锥的体积公式判断出选项B和选项C；利用直角三角形的结构特征和勾股定理，则判断出四面体的4个面都是直角三角形，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的值域；奇偶性与单调性的综合；有理数指数幂的运算性质；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：对于A，
因为
，故A对；
对于B，因为，
又因为所以，则，
所以，则函数的值域为，故B对；
对于C，对于任意的，，则函数的定义域为，
所以，则函数为奇函数，
任取、，且，则，
所以
则，所以函数为上的增函数，且为奇函数，
由，可得，
则，解得，故C错；
对于D，因为，
当时，由，
整理可得，则，
所以，故D对.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件验证判断出选项A；先求出，再结合指数型函数的基本性质可得的值域，则可判断选项B；先判断出函数的单调性与奇偶性，再解不等式可判断选项C；当时，由化简得出，由此可得，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】13
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】(解法1)由分层抽样得 ，解得n＝13。
(解法2)从甲、乙、丙三个车间依次抽取a，b，c个样本，则120∶80∶60＝a∶b∶3?a＝6，b＝4，所以n＝a＋b＋c＝13。
【分析】利用已知条件结合分层抽样的两种方法，从而求出n的值。
13．【答案】6
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解；由图可知，
∴.
故答案为：6
【分析】利用函数的部分图象得出点A的坐标和点B的坐标，再利用向量的坐标表示和数量积的坐标表示，从而得出的值.
14．【答案】
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为前个数据的方差为：，
又因为前个数据的平均数为：，
得，
则，
因为，
所以
结合题意，得，
则．
故答案为：.
【分析】由方差公式和平均数公式，从而得出，再利用已知条件得出，从而得出．
15．【答案】（1）解：由题意，则
，
令，
所以，
当时，，
所以的最小值为.
（2）解：由则，
所以，
由，则，
所以，则，
因为，所以，
又因为为锐角三角形，
所以，则，
所以，则，
所以，
则的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换对化简得，利用正弦型函数的对称性和赋值法，从而得出的最小值.
（2）由（1）结合，则赋值结合锐角三角形中角A的取值范围，从而得出角的值，由为锐角三角形和三角形内角和定理，从而求出角的取值范围，再结合正弦型函数求值域的方法，进而求出的取值范围.
（1）由题意有
，
令，所以，当时，，
所以的最小值为；
（2）由有，即，
由有：，所以，即，
又，所以，
又因为为锐角三角形，所以，即，
所以，所以，
所以，
所以的取值范围为.
16．【答案】（1）解：由题意，则，
解得.
（2）解：设第75百分位数为，
则，
解得，
由
则估计出该样本数据的第75百分位数为，该样本数据的平均数为.
（3）解：由题意，
则的人数为：人，的人数为：人，
根据分层抽样，在应抽取：人，
在应抽取：人，
设抽取2人为，抽取3人为，
从5人中随机挑出两人进行详细调研，
则共有10种情况，
令事件表示两人分别来自于观展时间在和，
则共有6种情况，
所以.

【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形面积等于各小组的频率，再利用频率之和为1，从而得出实数a的值.
（2）根据频率分布直方图求百分位数的方法和频率分布直方图估计平均数的公式，从而估计出该样本数据的第75百分位数和该样本数据的平均数.
（3）先利用分层抽样计算出和应抽取的人数，再利用古典概率公式，从而得出两人分别来自于观展时间在和的概率.
（1）由题意有：，解得；
（2）设第75百分位数为，则，解得，
由，
所以估计该样本数据的第75百分位数为，该样本数据的平均数为；
（3）由题意有的人数为：人，的人数为：人，
根据分层抽样在应抽取：人，在应抽取：人，
设抽取2人为，抽取3人为，
从5人中随机挑出两人进行详细调研，则有共有10种情况，
令事件表示两人分别来自于观展时间在和，
则共有6种情况，所以.
17．【答案】（1）解：在中，，，
由正弦定理，，
得，
因此
.
（2）解：由，点D是线段BC上的任意点 （不含端点），
得，
则，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为9.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理和数量积的定义，再结合诱导公式和二倍角的正弦公式，从而得出的值.
（2）利用平面向量基本定理和已知条件，再利用基本不等式求最值的方法，从而求出的最小值.
（1）在中，，，
由正弦定理，得，
因此
.
（2）由，D是线段BC上的任意点 （不含端点），得，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为9.
18．【答案】（1）证明：在三棱柱中，连接，
由分别为中点，得，
则四边形为平行四边形，所以，
由，得，
由，得，
则，
所以，
由，得，
又因为，平面，
所以平面，则平面.
（2）解：由（1）知，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面，
在平面内，
过作于点，平面平面，
因此平面，连接，
则是直线与平面所成角，
由，
得，
在中，，
在中，，
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：由（1）得，
因为，
则，
由（2）得，
过作平面于，连接，
由平面，得，
因为平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
则是二面角的平面角，
显然，当且仅当重合时取等号，
则，
所以，二面角的正弦值的最大值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）先判断出四边形为平行四边形，进而得出线线平行，再利用等腰三角形三线合一得出线线垂直，再由线线垂直证出线面垂直.
（2）先得出是直线与平面所成角，再解三角形即可.
（3） 由（1）（2）中信息，求出直角三角形领边上的高，再作平面于，利用定义法求出二面角正弦值的最大值.
（1）在三棱柱中，连接，由分别为中点，
得，则四边形为平行四边形，，
由，得，由，得，
则，于是，由，
得，而，平面，则平面，
所以平面.
（2）由（1）知，平面，所以平面，
而平面，则平面平面，
在平面内过作于点，平面平面，
因此平面，连接，是直线与平面所成角，
由，得，
在中，，在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由（1）得，又，
则，由（2）得，
过作平面于，连接，由平面，得，
而平面，则平面，
又平面，则，是二面角的平面角，
显然，当且仅当重合时取等号，，
所以二面角的正弦值的最大值为.
19．【答案】（1）解：假若存在实数m使成为函数的生成函数，
由题意，得，，
当时恒成立，
∴，
恒成立，
此方程无解，
不存在实数m使成为函数的生成函数.
（2）解：设，则，
因为有两个解为，
所以，得，且判别式为，解得，
，在上单调递增，
，
则.
（3）解：由题意，
得
，
x，m均为正整数，
，
是开口向上的二次函数，其对称轴为，
m均为正整数，
要找到离对称轴最近的正整数来确定最小值，
①当时，对称轴为，则，
所以；
②当时，对称轴为，离对称轴最近的正整数是，
则，所以；
③当时，对称轴为，
离对称轴最近的正整数是或，则，
所以；
④当时，，，，
综上所述，
通过前面计算，可知当时，；
当时，；当时，，
当时，
综上所述，.
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的最大（小）值；图形的对称性
【解析】【分析】（1）利用题意和生成函数列出等式，再化简整理结合函数恒等式的意义，从而判断出不存在实数m使成为函数的生成函数.
（2）利用确定的情况，再结合判别式以及函数的单调性得出的取值范围.
（3） 先求出的表达式，结合二次函数的性质分析当x，m均为正整数时函数的最小值和最大值 .
（1）假若存在实数m使成为函数的生成函数，由题意得，
，当时恒成立
∴，恒成立，此方程无解，
不存在实数m使成为函数的生成函数.
（2）设，则，
有两个解为，即，
得，且判别式，解得，
，在上单调递增，
，
即.
（3）由题意得函数
，
x，m均为正整数，，
是开口向上的二次函数，其对称轴为，
m均为正整数，要找到离对称轴最近的正整数来确定最小值，
①当时，对称轴为，，；
②当时，对称轴为，离对称轴最近的正整数是，，；
③当时，对称轴为，离对称轴最近的正整数是或，，；
④当时，，，，
综上所述，
通过前面计算可知当时，；
当时，；当时，，
当时，，
综上所述，.
1 / 1

展开更多......

收起↑