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浙江杭州市萧山区文渊实验初级中学2025-2026学年九年级下学期3月学情自测数学试题
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．大于﹣2.6且小于3的整数有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】题目中大于-2.6的最小整数是-2，小于3的最大整数是2，
如图，
可以利用数轴将将在这个范围内的所有整数都列举出来即可：-2，-1，0，1，2，共有5个。
故答案为：C。
【分析】 题目要求找出所有“大于-2.6且小于3的整数”。这意味着我们需要在数轴上，找到所有位于-2.6右侧和3左侧的整数点。
2．下列各式：①a2 a3＝a5；②（﹣3ab3）2＝9a2b6；③；④1；⑤x2+2x2＝3x2，其中正确的有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】我们按顺序分析每个式子：① a2 a3＝a5：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确；
② (-3ab3)2＝9a2b6 ：根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，(-3)2=9，a2.(b3)2=b6，正确；
③ ：根据公式，应有。由于，所以其绝对值应为，原式错误；
④ ：根据零指数幂法则，a°=1(a≠0)。计算，所以底数。底数为0时，00无意义，原式错误；
⑤x2+2x2=3x2：直接合并同类项，正确。综上，正确的式子有①、②、⑤，共3个。
故答案为：B。
【分析】 题目给出了五个独立的数学式子，要求判断哪些是正确的。我们需要逐一运用对应的运算法则进行检验：①同底数幂相乘；②积的乘方；③二次根式的化简与算术平方根的非负性；④零指数幂的底数条件；⑤合并同类项。任何一步法则应用错误或忽略隐含条件（如非负性、底数不为0）都可能导致判断失误。
3．中国运动健儿发扬拼搏精神，共获得201金，再次蝉联金牌榜第一．下列体育运动图标是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】轴对称图形指的是一个图形沿某条直线折叠，两边能完全重合，根据体育运动图标，可以确定只有B选项为轴对称图形。
故答案为：B。
【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，根据各选项进行判断即可.
4．2023年11月29日正式通航的安阳红旗渠机场是民航发展“十二五”规划明确的新建支线机场项目，也是河南省重点民生工程，项目总投资13.66亿元，数据“13.66亿”用科学记数法表示为（　　）
A．1.366×109 B．1.366×1010 C．13.66×109 D．13.66×108
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】根据题意，将13.66亿用科学记数法表示，
1亿=，
.
故答案为：A。
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示大于10的数，将13.66亿写成的形式，确定a和n即可。
5．如图所示的是从三个方向看一个几何体得到的图形，该几何体是（　　）
A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球
【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】根据题意可知从三个方向看到的图形是大小相同的三个圆，可以确定这个几何体是球。
故答案为：D。
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，从三个方向看一个体几何体都是圆，根据这一点可以确定。
6．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象一定经过的点是（　　）
A．（0，2） B．（2，﹣2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，4）
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】根据二次函数图象上点都满足二次函数解析式，将各选项中点的坐标代入验证：
A：当x=0时，y=-2≠2，故点（0，2）不在抛物线 y＝﹣2（x﹣1）2 上，不满足题意；
B：当x=2时，y=-2，故点（2，-2）在抛物线 y＝﹣2（x﹣1）2 上，满足题意；
C：当x=1时，y=0≠-2，故点（1，-2）不在抛物线 y＝﹣2（x﹣1）2 上，不满足题意；
D：当x=-1时，y=-8≠4，故点（-1，4）不在抛物线 y＝﹣2（x﹣1）2 上，不满足题意；
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，依次将选项中的点代入抛物线解析式验证即可.
7．下列图形都是用同样大小的●按一定规律组成的，其中第①个图形中共有3个●，第②个图形中共有8个●，第③个图形中共有15个●，…，则第⑧个图形中●的个数为（　　）
A．63 B．64 C．80 D．81
【答案】C
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】由图可知，图①中有3个黑点，图②有8个黑点，图③有15个黑点，观察规律3=22-1，8=32-1，15=42-1，则第n个图形中黑点的个数为(n+1)2-1，
当n=8时，(8+1)2-1=80.
故答案为：C。
【分析】 题目给出了前三个图形中黑点的具体数量（3， 8， 15）。我们需要从这些数据中找出隐藏的规律，并用一个含有序号n的代数式来表示第n个图形的黑点数，代入n=8即可求解。
8．如图，如果AD∥BE∥CF，则下列各式错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】已知 AD∥BE∥CF，根据平行线分线段成比例定理：由定理得（对应选项 B，正确）；由（对应选项 C，正确）；由（对应选项 D，正确）；选项 A 中不符合定理的对应关系，是错误的。故答案选 A。
【分析】 题目给出了三线平行（AD∥BE∥CF）的条件，这意味着它们截两条（或多条）直线所得的线段对应成比例。我们需要逐一检验每个选项的比例式是否符合“对应线段成比例”的原则。
9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB，AC分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E．作射线AE与边BC交于点D．若∠C＝38°，则∠ADC的度数为（　　）
A．116° B．120° C．128° D．142°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】在△ABC 中，
∵ ∠B=90°，∠C=38°，
∴ ∠BAC = 90° - 38° = 52°。
由作图可知，AE 平分∠BAC，
∴ ∠BAD = 21 ∠BAC = 26°。
∵ ∠ADC 是△ABD 的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD = 90° + 26° = 116°。
故答案为： A。
【分析】本题先根据尺规作图的步骤判断出 AE 是∠BAC 的角平分线，再利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC 的度数，进而得到∠BAD 的度数，最后结合三角形外角的性质求出∠ADC 的度数。
10．如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象的最低点，那么正方形的边长的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 点A与点C关于对角线BD对称，
∴ AN=CN，则AN+MN=CN+MN。
当C、N、M三点共线时，CN+MN取得最小值，即CM的长，对应函数图象最低点E的纵坐标，故CM=。
设正方形的边长为2a，
∵ 点M是AB的中点，
∴ BM=a，BC=2a。
在Rt△BCM中，由勾股定理得：
BM2+BC2=CM2
a2+(2a)2=()2
则a2=4
∵ a>0，∴ a=2，
则正方形的边长2a=4。
故答案为：C。
【分析】本题利用正方形的轴对称性（对角线 BD 为对称轴），将AN+MN的最小值转化为点C到点M的线段长，结合函数图象最低点的纵坐标，通过勾股定理列方程求解正方形边长。
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．函数的自变量的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵函数有意义，
∴-x+1≥0，x2-1≠0，
解-x+1≥0得x≤1，
解x2-1≠0得x≠，
∴自变量的取值范围为x＜1且x≠-1.
故答案为：且．
【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件列出不等式求解即可.
12．分解因式：m2n﹣16n＝　 　 ．
【答案】n（m+4）（m﹣4）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】m2n 16n =n(m2 16)=n(m2 42)=n(m+4)(m 4)，
故分解因式的结果为n(m+4)(m 4)。
【分析】本题需先提取公因式n，再对剩余部分利用平方差公式a2 b2=(a+b)(a b)进行二次分解，确保分解彻底。
13．不等式组的所有整数解的和为 　 　 ．
【答案】5
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解不等式 3x+2>7：得：，
解不等式 2x 1 ≤1：得：，
所以不等式组的解集为，其中的整数解为 2，3。
整数解的和为 2+3=5。
故答案为：5。
【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后找出解集中的所有整数解并求和。
14．如图，在⊙O中的半径OA＝5cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长度为 　 　 cm．
【答案】8
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】设圆心O到弦AB的垂线垂足为C，则OC=3 cm，OA=5 cm，且OC⊥AB。
由垂径定理得。
在Rt△OAC中，由勾股定理：，
因此AB=2AC=8 cm。
答案：8。
【分析】本题利用垂径定理（垂直于弦的直径平分弦），结合勾股定理求解弦长。先由垂径定理得圆心到弦的垂线平分弦，再在直角三角形中用勾股定理求出半弦长，最后乘以 2 得到弦长。
15．从2名男生和2名女生中随机选出2人讲题，恰好选出一男一女的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：从2名男生和2名女生中随机选出2人共有6种选法：（男1，男2），（男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2），（女1，女2），
其中恰好选出一男一女的选法有4种，分别为：（男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2），
∴恰好选出一男一女的概率是为：，
故答案为：．
【分析】
根据题目要求，先列出所有选取2人的等可能情况，再找出其中恰好选中一男一女的情况数量，最后根据古典概型的概率公式计算对应概率即可.
16．函数与的图象的交点坐标为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式的值；分式的加减法；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵函数与的图象的交点坐标为，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】
先根据交点坐标满足两个函数解析式，得到这两个关系，再对所求分式通分化简，最后利用整体代入的方法计算出结果即可.
17．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，若∠A＝20°，AB＝6，则弧AC的长为　 　．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：
连接OC，则OA=OC，∴∠OCA=∠A=20°，
∴∠AOC=180°-20°-20°=140°
∴弧AC的长度是：
故答案为：.
【分析】连接OC，先计算出∠AOC，再根据 弧长公式进行计算即可。
18．已知a，b为有理数，如果规定一种新运算：　 　 ．
【答案】﹣16
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】根据新定义的运算规则，
，
故答案为：-16.
【分析】本题是定义新运算题型，核心是先根据给定的运算规则 ，将代入规则计算即可。
19．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝10，点E为边DC上的一个动点，将△ADE沿AE折叠得到△AD'E，连接D'D，D'C，当△DD'C为直角三角形时，则D'C的长为 　 　 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】已知矩形 ABCD 中，AD=6，AB=10，由折叠性质得 AD'=AD=6，D'E=DE，∠AD'E=∠D=90 。
可以发现只有∠DD'C=90
如图，由折叠知 AE 垂直平分 DD'，故 AE∥D'C，∠AED=∠DCD'。
又 ∠D=∠DD'C=90 ，得 △ADE △DD'C。
设DE=x，则，，
则
代入可解得x=5，
则D'C=，
【分析】本题主要考查矩形的折叠， 核心是利用折叠的性质（对应边相等、对应角相等），确定△DD'C 为直角三角形的直角顶点位置，再结合勾股定理、相似三角形的判定与性质，矩形性质求解 D'C 的长度。
20．【阅读材料】过矩形对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，会得到面积相等的两个矩形，如图（1），S矩形AEOM＝S矩形CFON．
【解决问题】如图（2），点M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作EF∥BC分别交AB，CD于点E，F，连接BM，DM．若CF＝4，EM＝3，DF＝2，则MF＝　 　 ．
【答案】6
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】如图，过点M作GH||AB交AD，BC于点G，H，则由材料知S矩形BEMH=S矩形MGDF，
可知S△BEM=S△DMF，
即，
因为BE=CF=4，
所以，
解得MF=6.
【分析】 题目给出了阅读材料：过矩形对角线上一点作平行于两邻边的直线，所得两个小矩形面积相等。在图（2）中，EF∥BC，相当于过点M作了一条平行于BC（即平行于AD）的直线。我们需要利用“S矩形AEFD = S矩形EBCF”这一核心结论。然后，将面积用已知和未知的线段表示出来，建立方程求解MF。
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．先化简，再求值：，其中x＝tan60°．
【答案】解：原式 ，
，
当x＝tan60°时，
原式（）（2）＝﹣5﹣3．
【知识点】求特殊角的三角函数值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先通分计算，然后运用分式的除法法则进一步化简，最后计算特殊角的三角函数值，代入即可.
22．小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形，已知：在△ABC中，∠ACB＝90°．求作：直线CD，使得直线CD将△ABC分割成两个等腰三角形．下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图，①作直角边CB的垂直平分线MN，与斜边AB相交于点D；②作直线CD，则直线CD就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，解决下列问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）小明进一步探究：以点D为圆心，适当长为半径画弧分别交DA、DC于P、Q两点，再分别以点P、Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧在∠ADC内交于点M，直线DM交AC于点E，则AE＝CE ▲ （填写理由），使用尺规作图在图中补全作图痕迹
【答案】（1）解：如图，直线CD即为所求：
（2）解：图形如图所示：
由作图可知DE平分∠ADC，
∵DA＝DC，
∴AE＝CE（等腰三角形三线合一的性质），
故答案为：等腰三角形三线合一的性质．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】 题目分为两部分：
(1) 补全作图：核心是理解“作直角边CB的垂直平分线”的目的是得到点D，使得DC = DB（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），从而确保△CDB是等腰三角形。再连接CD，需要证明△ACD也是等腰三角形（利用直角三角形斜边中线性质或角度计算）。
(2) 补充作图并填写理由：根据描述完成角平分线的尺规作图，然后利用“DA=DC”（已证）和“DE平分∠ADC”，结合等腰三角形“三线合一”的性质，推导出AE=CE。
23．为有效解决近视和肥胖等青少年健康问题，2025年1月我市发布了《关于优化全市义务教育阶段学生课间活动时间的指导意见》，学校需确保每日综合体育活动时间不低于2小时，课间活动时长统一调整为15分钟．某校想了解政策实行前后学生的近视率，随机从六、七年级抽查了40名学生1月份和4月份的视力情况．其中，1月份视力情况如表1，4月份视力情况如图1和图2（尚不完整）．
表1
视力 人数/人
4.5 4
4.6 10
4.7 12
4.8 8
4.9 4
5.0 2
设定视力4.9及以上为良好，分析两次视力结果得到表2．
表2
平均数 众数 中位数 良好率
第一次 4.71 a 4.7 15%
第二次 b 4.8 4.8 c
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）将图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值；
（2）若全校六、七年级学生以1250人计算，估计政策实行后视力达到良好的学生人数；
（3）从多角度分析本次政策实行的效果．
【答案】（1）解：根据表1得众数a为4.7；
由图1得视力为4.8的人数为40×35%＝14人，
∴视力为4.7的人数为40﹣4﹣8﹣14﹣6＝8人，
∴；
；
补全图2统计图如下：
（2）解：用样本估计总体的方法计算可得：
1250×30%＝375（人），
答：政策实行后视力达到良好的学生人数约为375人；
（3）解：根据表2可知：政策实行前平均视力为4.71，政策实行后平均视力为4.79；
政策实行前众数为4.7，政策实行后众数为4.8；
政策实行前中位数为4.7，政策实行后中位数为4.8；
政策实行前视力良好率为15%，政策实行后，视力良好率为30%；
综上所述，本次政策实行的效果很好．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1) 根据表1的频数分布计算第一次的众数a；根据图1的扇形图计算第二次各视力段人数，补全图2的条形图，并计算第二次的平均数b和良好率c；
(2) 利用第二次的良好率c和全校总人数，用样本估计总体计算视力良好人数；
(3) 对比表2中政策实施前后各项统计指标（平均数、众数、中位数、良好率）的变化，从多个角度综合评价政策效果。
24．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形．
（1）判断四边形的形状并证明．
（2）若、的距离为，、的距离为，求四边形的面积．
【答案】（1）解：四边形是菱形，证明如下：
作交于点，作交于点，
依题得：，，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
平行四边形是菱形 ．
（2）解：连接、，
由得：四边形是菱形，
且、互相平分，
即，，
，，
，
中，，
，
．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）过点于点，于点，先结合题目条件证明四边形是平行四边形，再证明，得到邻边相等，即可推出平行四边形是菱形；
（2）连接对角线、，设对角线交于点，结合菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理计算出的长度，得到对角线的长，最后代入菱形面积公式即可求出面积．
25．为迎接第16届体艺文化节，重庆外国语学校在广告公司制作一批吉祥物，该公司由甲乙两组共同完成制作任务，乙组每天完成的件数是甲组的1.5倍，甲组完成2400个吉祥物比乙组完成2160个吉祥物多用2天．
（1）甲、乙两组每天各完成多少个吉祥物？
（2）学校两校区共需要制作13296个吉祥物．为加快进度，甲组每天完成的个数比（1）中多完成20m个，乙组每天完成的个数也比（1）中增加了，因考虑运送等问题，该广告公司完成任务的时间不超过8天，则m的值至少为多少？
【答案】（1）解：设甲组每天完成x个吉祥物，则乙组每天完成1.5x个吉祥物，
由题意得：2，
解得：x＝480，
经检验，x＝480是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×480＝720，
答：甲组每天完成480个吉祥物，乙组每天完成720个吉祥物；
（2）解：由题意得：（480+20m）×8+720（1m%）×8≥13296，
解得：m≥15，
∴m的最小值为15，
答：m的值至少为15．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）核心是“工作量÷工作效率=工作时间”。已知甲组完成2400个比乙组完成2160个多用2天，且乙组效率是甲组的1.5倍。设甲组原效率为x，则乙组为1.5x，根据时间差建立分式方程求解；
（2）在已知原效率基础上，甲组效率增加20m个/天，乙组效率增加 。要求在8天内完成总量13296个，即“甲8天工作量 + 乙8天工作量 ≥ 总工作量”。据此建立关于m的一元一次不等式，求解m的最小整数值。
26．已知点C是以AB为直径的圆上一点，连结AC，在AB上截取AD＝AC，连结CD并延长交圆于点E，连结AE，设AC＝kAB．
（1）如图1，若∠EAB＝25°时，求∠BAC度数；
（2）如图2，过点A作AF⊥CD，证明：2k；
（3）如图3，若k＜1，连结EB并延长，交AC的延长线于点F，设△BCF的面积为S1，设△AEF面积为S2，用含k的代数式表示S1：S2．
【答案】（1）解：如图1，
连接BE，作AF⊥CD于F，
∴∠AFC＝90°，
∵AD＝AC，
∴∠BAC＝2∠CAF＝2∠DAF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵，
∴∠C＝∠B，
∴∠CAF＝∠EAB＝25°，
∴∠BAC＝50°；
（2）证明：如图2，
连接BE，
∵∠AEB＝∠AFC＝90°，∠B＝∠C，
∴△AEB∽△AFC，
∴，∠BAE＝∠CAF，
∵AD＝AC，AF⊥CD，
∴∠C＝∠ADC，CFCD，∠CAD＝2∠CAF＝2∠BAE，
∵∠BDE＝∠ADC，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝BD，
∴，
∴；
（3）解：如图3，
作AB的垂直平分线，交AE于H，
∴AH＝BH，
∴∠BAE＝∠ABH，
∴∠BHE＝∠BAE+∠ABH＝2∠BAE，
由（2）知：∠BAC＝2∠BAE，
∴∠BHE＝∠BAC，
∴cos∠BHE＝cos∠BAC，
∴，
不妨设AH＝BH＝1，EH＝k，BE，
∴AB，
∴，
在Rt△ABC中，
，
∴，
∵AB是直径，
∴∠CFB＝∠ACB＝∠AEB＝90°，
∵∠F＝∠F，
∴△FCB∽△FEA，
∴2﹣2k，
∴．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）通过连接BE构造直径所对的直角，作AF⊥CD利用等腰三角形三线合一得到角平分线，再结合同弧所对圆周角相等，证明∠CAF=∠EAB=25°；
（2）连接BE后，证明△AEB∽△AFC，得到对应边成比例。再利用AD=AC和AF⊥CD的条件，推导出CD与ED的比例关系，最终证明即可；
（3）作AB的垂直平分线构造等腰三角形，利用第二问的角关系证明∠BHE=∠BAC。通过设参数建立线段比例，再证明△FCB∽△FEA，将面积比转化为相似比的平方；
27．定义：在平面直角坐标系中，我们把经过抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点且平行于x轴的直线称为这条抛物线的平割线．
（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的平割线与这条抛物线的交点坐标为 　 　 ；
（2）经过点A（﹣2，0）和B（x，0）（x＞﹣2）的抛物线与y轴交于点C，它的平割线与该抛物线另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为P，直线EF垂直平分OC，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F．
①当∠CDF＝45°时，求点P的坐标；
②若直线EF与直线MN关于平割线对称，是否存在使点P到直线MN的距离与点B到直线EF的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（0，﹣3）和（2，﹣3）
（2）解：∵抛物线经过点A（﹣2，0），
∴，
∴n＝m+1，
∵，
∴对称轴为直线x＝m，
∵与y轴交点为（0，n），
∴点D的坐标为（2m，m+1）．
（3）解：①设CD与对称轴交于点G，如图1，若∠CDF＝45°，则DG＝GF，
∴，
∴m＝1或，
当m＝1时，，点P的坐标为，
当时，，
点P的坐标为，
∴点P的坐标为或；
②或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线，与y轴交点为（0，﹣3），
∴平割线为y＝﹣3；
∴平割线与这条抛物线的一个交点坐标为（0，﹣3），则另一个交点坐标为（2，﹣3）．
故答案为：（0，﹣3）和（2，﹣3）；
（3）②存在使点P到直线MN的距离与点B到直线EF的距离相等的m的值；m的值为0，或．
如图2，设MN与对称轴的交点为H，
由（2）知，n＝m+1，，
∴，
∴抛物线的平割线CD：y＝m+1，
∵直线EF垂直平分OC，
∴直线EF：，
∴点B到直线EF的距离为，
∵直线EF与直线MN关于平割线CD对称，
∴直线MN：，
∵，
∴点P到直线MN的距离为，
∵点P到直线MN的距离与点B到直线EF的距离相等，
∴，
∴或．
【分析】（1）根据题目给出的新定义，平割线是经过抛物线与y轴交点且平行于x轴的直线。对于具体抛物线y=x2-2x-3，先求出它与y轴的交点(0，-3)，那么平割线就是y=-3。然后令y=-3与原抛物线方程联立解之即可；
（2）已知抛物线过点A(-2，0)和B(x，0)，先代入A点坐标求出参数n=m+1，得到完整的抛物线解析式。根据抛物线的轴对称性，平割线y=n（即y=m+1）与抛物线的两个交点关于对称轴对称。已知一个交点是C(0， n)，对称轴为x=m，那么另一个交点D的横坐标就是2m，纵坐标与C相同为n，即可确定点D坐标；
（3）① 当∠CDF=45°时，利用等腰直角三角形的性质（DG=GF）建立关于m的方程，解出m=1或m=-1/2，再分别代入抛物线顶点公式计算出对应的顶点P坐标；
②根据“直线EF与直线MN关于平割线对称”的条件，用含m的代数式分别表示出点P到直线MN的距离和点B到直线EF的距离。然后根据“这两个距离相等”建立方程，解方程即可。
1 / 1浙江杭州市萧山区文渊实验初级中学2025-2026学年九年级下学期3月学情自测数学试题
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．大于﹣2.6且小于3的整数有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．下列各式：①a2 a3＝a5；②（﹣3ab3）2＝9a2b6；③；④1；⑤x2+2x2＝3x2，其中正确的有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．中国运动健儿发扬拼搏精神，共获得201金，再次蝉联金牌榜第一．下列体育运动图标是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．2023年11月29日正式通航的安阳红旗渠机场是民航发展“十二五”规划明确的新建支线机场项目，也是河南省重点民生工程，项目总投资13.66亿元，数据“13.66亿”用科学记数法表示为（　　）
A．1.366×109 B．1.366×1010 C．13.66×109 D．13.66×108
5．如图所示的是从三个方向看一个几何体得到的图形，该几何体是（　　）
A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球
6．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象一定经过的点是（　　）
A．（0，2） B．（2，﹣2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，4）
7．下列图形都是用同样大小的●按一定规律组成的，其中第①个图形中共有3个●，第②个图形中共有8个●，第③个图形中共有15个●，…，则第⑧个图形中●的个数为（　　）
A．63 B．64 C．80 D．81
8．如图，如果AD∥BE∥CF，则下列各式错误的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB，AC分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E．作射线AE与边BC交于点D．若∠C＝38°，则∠ADC的度数为（　　）
A．116° B．120° C．128° D．142°
10．如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象的最低点，那么正方形的边长的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．函数的自变量的取值范围是　 　．
12．分解因式：m2n﹣16n＝　 　 ．
13．不等式组的所有整数解的和为 　 　 ．
14．如图，在⊙O中的半径OA＝5cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长度为 　 　 cm．
15．从2名男生和2名女生中随机选出2人讲题，恰好选出一男一女的概率是　 　．
16．函数与的图象的交点坐标为，则的值为　 　．
17．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，若∠A＝20°，AB＝6，则弧AC的长为　 　．
18．已知a，b为有理数，如果规定一种新运算：　 　 ．
19．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝10，点E为边DC上的一个动点，将△ADE沿AE折叠得到△AD'E，连接D'D，D'C，当△DD'C为直角三角形时，则D'C的长为 　 　 ．
20．【阅读材料】过矩形对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，会得到面积相等的两个矩形，如图（1），S矩形AEOM＝S矩形CFON．
【解决问题】如图（2），点M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作EF∥BC分别交AB，CD于点E，F，连接BM，DM．若CF＝4，EM＝3，DF＝2，则MF＝　 　 ．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．先化简，再求值：，其中x＝tan60°．
22．小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形，已知：在△ABC中，∠ACB＝90°．求作：直线CD，使得直线CD将△ABC分割成两个等腰三角形．下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图，①作直角边CB的垂直平分线MN，与斜边AB相交于点D；②作直线CD，则直线CD就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，解决下列问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）小明进一步探究：以点D为圆心，适当长为半径画弧分别交DA、DC于P、Q两点，再分别以点P、Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧在∠ADC内交于点M，直线DM交AC于点E，则AE＝CE ▲ （填写理由），使用尺规作图在图中补全作图痕迹
23．为有效解决近视和肥胖等青少年健康问题，2025年1月我市发布了《关于优化全市义务教育阶段学生课间活动时间的指导意见》，学校需确保每日综合体育活动时间不低于2小时，课间活动时长统一调整为15分钟．某校想了解政策实行前后学生的近视率，随机从六、七年级抽查了40名学生1月份和4月份的视力情况．其中，1月份视力情况如表1，4月份视力情况如图1和图2（尚不完整）．
表1
视力 人数/人
4.5 4
4.6 10
4.7 12
4.8 8
4.9 4
5.0 2
设定视力4.9及以上为良好，分析两次视力结果得到表2．
表2
平均数 众数 中位数 良好率
第一次 4.71 a 4.7 15%
第二次 b 4.8 4.8 c
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）将图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值；
（2）若全校六、七年级学生以1250人计算，估计政策实行后视力达到良好的学生人数；
（3）从多角度分析本次政策实行的效果．
24．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形．
（1）判断四边形的形状并证明．
（2）若、的距离为，、的距离为，求四边形的面积．
25．为迎接第16届体艺文化节，重庆外国语学校在广告公司制作一批吉祥物，该公司由甲乙两组共同完成制作任务，乙组每天完成的件数是甲组的1.5倍，甲组完成2400个吉祥物比乙组完成2160个吉祥物多用2天．
（1）甲、乙两组每天各完成多少个吉祥物？
（2）学校两校区共需要制作13296个吉祥物．为加快进度，甲组每天完成的个数比（1）中多完成20m个，乙组每天完成的个数也比（1）中增加了，因考虑运送等问题，该广告公司完成任务的时间不超过8天，则m的值至少为多少？
26．已知点C是以AB为直径的圆上一点，连结AC，在AB上截取AD＝AC，连结CD并延长交圆于点E，连结AE，设AC＝kAB．
（1）如图1，若∠EAB＝25°时，求∠BAC度数；
（2）如图2，过点A作AF⊥CD，证明：2k；
（3）如图3，若k＜1，连结EB并延长，交AC的延长线于点F，设△BCF的面积为S1，设△AEF面积为S2，用含k的代数式表示S1：S2．
27．定义：在平面直角坐标系中，我们把经过抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点且平行于x轴的直线称为这条抛物线的平割线．
（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的平割线与这条抛物线的交点坐标为 　 　 ；
（2）经过点A（﹣2，0）和B（x，0）（x＞﹣2）的抛物线与y轴交于点C，它的平割线与该抛物线另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为P，直线EF垂直平分OC，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F．
①当∠CDF＝45°时，求点P的坐标；
②若直线EF与直线MN关于平割线对称，是否存在使点P到直线MN的距离与点B到直线EF的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】题目中大于-2.6的最小整数是-2，小于3的最大整数是2，
如图，
可以利用数轴将将在这个范围内的所有整数都列举出来即可：-2，-1，0，1，2，共有5个。
故答案为：C。
【分析】 题目要求找出所有“大于-2.6且小于3的整数”。这意味着我们需要在数轴上，找到所有位于-2.6右侧和3左侧的整数点。
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】我们按顺序分析每个式子：① a2 a3＝a5：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确；
② (-3ab3)2＝9a2b6 ：根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，(-3)2=9，a2.(b3)2=b6，正确；
③ ：根据公式，应有。由于，所以其绝对值应为，原式错误；
④ ：根据零指数幂法则，a°=1(a≠0)。计算，所以底数。底数为0时，00无意义，原式错误；
⑤x2+2x2=3x2：直接合并同类项，正确。综上，正确的式子有①、②、⑤，共3个。
故答案为：B。
【分析】 题目给出了五个独立的数学式子，要求判断哪些是正确的。我们需要逐一运用对应的运算法则进行检验：①同底数幂相乘；②积的乘方；③二次根式的化简与算术平方根的非负性；④零指数幂的底数条件；⑤合并同类项。任何一步法则应用错误或忽略隐含条件（如非负性、底数不为0）都可能导致判断失误。
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】轴对称图形指的是一个图形沿某条直线折叠，两边能完全重合，根据体育运动图标，可以确定只有B选项为轴对称图形。
故答案为：B。
【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，根据各选项进行判断即可.
4．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】根据题意，将13.66亿用科学记数法表示，
1亿=，
.
故答案为：A。
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示大于10的数，将13.66亿写成的形式，确定a和n即可。
5．【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】根据题意可知从三个方向看到的图形是大小相同的三个圆，可以确定这个几何体是球。
故答案为：D。
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，从三个方向看一个体几何体都是圆，根据这一点可以确定。
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】根据二次函数图象上点都满足二次函数解析式，将各选项中点的坐标代入验证：
A：当x=0时，y=-2≠2，故点（0，2）不在抛物线 y＝﹣2（x﹣1）2 上，不满足题意；
B：当x=2时，y=-2，故点（2，-2）在抛物线 y＝﹣2（x﹣1）2 上，满足题意；
C：当x=1时，y=0≠-2，故点（1，-2）不在抛物线 y＝﹣2（x﹣1）2 上，不满足题意；
D：当x=-1时，y=-8≠4，故点（-1，4）不在抛物线 y＝﹣2（x﹣1）2 上，不满足题意；
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，依次将选项中的点代入抛物线解析式验证即可.
7．【答案】C
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】由图可知，图①中有3个黑点，图②有8个黑点，图③有15个黑点，观察规律3=22-1，8=32-1，15=42-1，则第n个图形中黑点的个数为(n+1)2-1，
当n=8时，(8+1)2-1=80.
故答案为：C。
【分析】 题目给出了前三个图形中黑点的具体数量（3， 8， 15）。我们需要从这些数据中找出隐藏的规律，并用一个含有序号n的代数式来表示第n个图形的黑点数，代入n=8即可求解。
8．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】已知 AD∥BE∥CF，根据平行线分线段成比例定理：由定理得（对应选项 B，正确）；由（对应选项 C，正确）；由（对应选项 D，正确）；选项 A 中不符合定理的对应关系，是错误的。故答案选 A。
【分析】 题目给出了三线平行（AD∥BE∥CF）的条件，这意味着它们截两条（或多条）直线所得的线段对应成比例。我们需要逐一检验每个选项的比例式是否符合“对应线段成比例”的原则。
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】在△ABC 中，
∵ ∠B=90°，∠C=38°，
∴ ∠BAC = 90° - 38° = 52°。
由作图可知，AE 平分∠BAC，
∴ ∠BAD = 21 ∠BAC = 26°。
∵ ∠ADC 是△ABD 的外角，
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD = 90° + 26° = 116°。
故答案为： A。
【分析】本题先根据尺规作图的步骤判断出 AE 是∠BAC 的角平分线，再利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC 的度数，进而得到∠BAD 的度数，最后结合三角形外角的性质求出∠ADC 的度数。
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 点A与点C关于对角线BD对称，
∴ AN=CN，则AN+MN=CN+MN。
当C、N、M三点共线时，CN+MN取得最小值，即CM的长，对应函数图象最低点E的纵坐标，故CM=。
设正方形的边长为2a，
∵ 点M是AB的中点，
∴ BM=a，BC=2a。
在Rt△BCM中，由勾股定理得：
BM2+BC2=CM2
a2+(2a)2=()2
则a2=4
∵ a>0，∴ a=2，
则正方形的边长2a=4。
故答案为：C。
【分析】本题利用正方形的轴对称性（对角线 BD 为对称轴），将AN+MN的最小值转化为点C到点M的线段长，结合函数图象最低点的纵坐标，通过勾股定理列方程求解正方形边长。
11．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵函数有意义，
∴-x+1≥0，x2-1≠0，
解-x+1≥0得x≤1，
解x2-1≠0得x≠，
∴自变量的取值范围为x＜1且x≠-1.
故答案为：且．
【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件列出不等式求解即可.
12．【答案】n（m+4）（m﹣4）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】m2n 16n =n(m2 16)=n(m2 42)=n(m+4)(m 4)，
故分解因式的结果为n(m+4)(m 4)。
【分析】本题需先提取公因式n，再对剩余部分利用平方差公式a2 b2=(a+b)(a b)进行二次分解，确保分解彻底。
13．【答案】5
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解不等式 3x+2>7：得：，
解不等式 2x 1 ≤1：得：，
所以不等式组的解集为，其中的整数解为 2，3。
整数解的和为 2+3=5。
故答案为：5。
【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后找出解集中的所有整数解并求和。
14．【答案】8
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】设圆心O到弦AB的垂线垂足为C，则OC=3 cm，OA=5 cm，且OC⊥AB。
由垂径定理得。
在Rt△OAC中，由勾股定理：，
因此AB=2AC=8 cm。
答案：8。
【分析】本题利用垂径定理（垂直于弦的直径平分弦），结合勾股定理求解弦长。先由垂径定理得圆心到弦的垂线平分弦，再在直角三角形中用勾股定理求出半弦长，最后乘以 2 得到弦长。
15．【答案】
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：从2名男生和2名女生中随机选出2人共有6种选法：（男1，男2），（男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2），（女1，女2），
其中恰好选出一男一女的选法有4种，分别为：（男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2），
∴恰好选出一男一女的概率是为：，
故答案为：．
【分析】
根据题目要求，先列出所有选取2人的等可能情况，再找出其中恰好选中一男一女的情况数量，最后根据古典概型的概率公式计算对应概率即可.
16．【答案】
【知识点】分式的值；分式的加减法；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵函数与的图象的交点坐标为，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】
先根据交点坐标满足两个函数解析式，得到这两个关系，再对所求分式通分化简，最后利用整体代入的方法计算出结果即可.
17．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：
连接OC，则OA=OC，∴∠OCA=∠A=20°，
∴∠AOC=180°-20°-20°=140°
∴弧AC的长度是：
故答案为：.
【分析】连接OC，先计算出∠AOC，再根据 弧长公式进行计算即可。
18．【答案】﹣16
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】根据新定义的运算规则，
，
故答案为：-16.
【分析】本题是定义新运算题型，核心是先根据给定的运算规则 ，将代入规则计算即可。
19．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】已知矩形 ABCD 中，AD=6，AB=10，由折叠性质得 AD'=AD=6，D'E=DE，∠AD'E=∠D=90 。
可以发现只有∠DD'C=90
如图，由折叠知 AE 垂直平分 DD'，故 AE∥D'C，∠AED=∠DCD'。
又 ∠D=∠DD'C=90 ，得 △ADE △DD'C。
设DE=x，则，，
则
代入可解得x=5，
则D'C=，
【分析】本题主要考查矩形的折叠， 核心是利用折叠的性质（对应边相等、对应角相等），确定△DD'C 为直角三角形的直角顶点位置，再结合勾股定理、相似三角形的判定与性质，矩形性质求解 D'C 的长度。
20．【答案】6
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】如图，过点M作GH||AB交AD，BC于点G，H，则由材料知S矩形BEMH=S矩形MGDF，
可知S△BEM=S△DMF，
即，
因为BE=CF=4，
所以，
解得MF=6.
【分析】 题目给出了阅读材料：过矩形对角线上一点作平行于两邻边的直线，所得两个小矩形面积相等。在图（2）中，EF∥BC，相当于过点M作了一条平行于BC（即平行于AD）的直线。我们需要利用“S矩形AEFD = S矩形EBCF”这一核心结论。然后，将面积用已知和未知的线段表示出来，建立方程求解MF。
21．【答案】解：原式 ，
，
当x＝tan60°时，
原式（）（2）＝﹣5﹣3．
【知识点】求特殊角的三角函数值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先通分计算，然后运用分式的除法法则进一步化简，最后计算特殊角的三角函数值，代入即可.
22．【答案】（1）解：如图，直线CD即为所求：
（2）解：图形如图所示：
由作图可知DE平分∠ADC，
∵DA＝DC，
∴AE＝CE（等腰三角形三线合一的性质），
故答案为：等腰三角形三线合一的性质．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】 题目分为两部分：
(1) 补全作图：核心是理解“作直角边CB的垂直平分线”的目的是得到点D，使得DC = DB（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），从而确保△CDB是等腰三角形。再连接CD，需要证明△ACD也是等腰三角形（利用直角三角形斜边中线性质或角度计算）。
(2) 补充作图并填写理由：根据描述完成角平分线的尺规作图，然后利用“DA=DC”（已证）和“DE平分∠ADC”，结合等腰三角形“三线合一”的性质，推导出AE=CE。
23．【答案】（1）解：根据表1得众数a为4.7；
由图1得视力为4.8的人数为40×35%＝14人，
∴视力为4.7的人数为40﹣4﹣8﹣14﹣6＝8人，
∴；
；
补全图2统计图如下：
（2）解：用样本估计总体的方法计算可得：
1250×30%＝375（人），
答：政策实行后视力达到良好的学生人数约为375人；
（3）解：根据表2可知：政策实行前平均视力为4.71，政策实行后平均视力为4.79；
政策实行前众数为4.7，政策实行后众数为4.8；
政策实行前中位数为4.7，政策实行后中位数为4.8；
政策实行前视力良好率为15%，政策实行后，视力良好率为30%；
综上所述，本次政策实行的效果很好．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1) 根据表1的频数分布计算第一次的众数a；根据图1的扇形图计算第二次各视力段人数，补全图2的条形图，并计算第二次的平均数b和良好率c；
(2) 利用第二次的良好率c和全校总人数，用样本估计总体计算视力良好人数；
(3) 对比表2中政策实施前后各项统计指标（平均数、众数、中位数、良好率）的变化，从多个角度综合评价政策效果。
24．【答案】（1）解：四边形是菱形，证明如下：
作交于点，作交于点，
依题得：，，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
平行四边形是菱形 ．
（2）解：连接、，
由得：四边形是菱形，
且、互相平分，
即，，
，，
，
中，，
，
．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）过点于点，于点，先结合题目条件证明四边形是平行四边形，再证明，得到邻边相等，即可推出平行四边形是菱形；
（2）连接对角线、，设对角线交于点，结合菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理计算出的长度，得到对角线的长，最后代入菱形面积公式即可求出面积．
25．【答案】（1）解：设甲组每天完成x个吉祥物，则乙组每天完成1.5x个吉祥物，
由题意得：2，
解得：x＝480，
经检验，x＝480是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×480＝720，
答：甲组每天完成480个吉祥物，乙组每天完成720个吉祥物；
（2）解：由题意得：（480+20m）×8+720（1m%）×8≥13296，
解得：m≥15，
∴m的最小值为15，
答：m的值至少为15．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）核心是“工作量÷工作效率=工作时间”。已知甲组完成2400个比乙组完成2160个多用2天，且乙组效率是甲组的1.5倍。设甲组原效率为x，则乙组为1.5x，根据时间差建立分式方程求解；
（2）在已知原效率基础上，甲组效率增加20m个/天，乙组效率增加 。要求在8天内完成总量13296个，即“甲8天工作量 + 乙8天工作量 ≥ 总工作量”。据此建立关于m的一元一次不等式，求解m的最小整数值。
26．【答案】（1）解：如图1，
连接BE，作AF⊥CD于F，
∴∠AFC＝90°，
∵AD＝AC，
∴∠BAC＝2∠CAF＝2∠DAF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵，
∴∠C＝∠B，
∴∠CAF＝∠EAB＝25°，
∴∠BAC＝50°；
（2）证明：如图2，
连接BE，
∵∠AEB＝∠AFC＝90°，∠B＝∠C，
∴△AEB∽△AFC，
∴，∠BAE＝∠CAF，
∵AD＝AC，AF⊥CD，
∴∠C＝∠ADC，CFCD，∠CAD＝2∠CAF＝2∠BAE，
∵∠BDE＝∠ADC，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝BD，
∴，
∴；
（3）解：如图3，
作AB的垂直平分线，交AE于H，
∴AH＝BH，
∴∠BAE＝∠ABH，
∴∠BHE＝∠BAE+∠ABH＝2∠BAE，
由（2）知：∠BAC＝2∠BAE，
∴∠BHE＝∠BAC，
∴cos∠BHE＝cos∠BAC，
∴，
不妨设AH＝BH＝1，EH＝k，BE，
∴AB，
∴，
在Rt△ABC中，
，
∴，
∵AB是直径，
∴∠CFB＝∠ACB＝∠AEB＝90°，
∵∠F＝∠F，
∴△FCB∽△FEA，
∴2﹣2k，
∴．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）通过连接BE构造直径所对的直角，作AF⊥CD利用等腰三角形三线合一得到角平分线，再结合同弧所对圆周角相等，证明∠CAF=∠EAB=25°；
（2）连接BE后，证明△AEB∽△AFC，得到对应边成比例。再利用AD=AC和AF⊥CD的条件，推导出CD与ED的比例关系，最终证明即可；
（3）作AB的垂直平分线构造等腰三角形，利用第二问的角关系证明∠BHE=∠BAC。通过设参数建立线段比例，再证明△FCB∽△FEA，将面积比转化为相似比的平方；
27．【答案】（1）（0，﹣3）和（2，﹣3）
（2）解：∵抛物线经过点A（﹣2，0），
∴，
∴n＝m+1，
∵，
∴对称轴为直线x＝m，
∵与y轴交点为（0，n），
∴点D的坐标为（2m，m+1）．
（3）解：①设CD与对称轴交于点G，如图1，若∠CDF＝45°，则DG＝GF，
∴，
∴m＝1或，
当m＝1时，，点P的坐标为，
当时，，
点P的坐标为，
∴点P的坐标为或；
②或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线，与y轴交点为（0，﹣3），
∴平割线为y＝﹣3；
∴平割线与这条抛物线的一个交点坐标为（0，﹣3），则另一个交点坐标为（2，﹣3）．
故答案为：（0，﹣3）和（2，﹣3）；
（3）②存在使点P到直线MN的距离与点B到直线EF的距离相等的m的值；m的值为0，或．
如图2，设MN与对称轴的交点为H，
由（2）知，n＝m+1，，
∴，
∴抛物线的平割线CD：y＝m+1，
∵直线EF垂直平分OC，
∴直线EF：，
∴点B到直线EF的距离为，
∵直线EF与直线MN关于平割线CD对称，
∴直线MN：，
∵，
∴点P到直线MN的距离为，
∵点P到直线MN的距离与点B到直线EF的距离相等，
∴，
∴或．
【分析】（1）根据题目给出的新定义，平割线是经过抛物线与y轴交点且平行于x轴的直线。对于具体抛物线y=x2-2x-3，先求出它与y轴的交点(0，-3)，那么平割线就是y=-3。然后令y=-3与原抛物线方程联立解之即可；
（2）已知抛物线过点A(-2，0)和B(x，0)，先代入A点坐标求出参数n=m+1，得到完整的抛物线解析式。根据抛物线的轴对称性，平割线y=n（即y=m+1）与抛物线的两个交点关于对称轴对称。已知一个交点是C(0， n)，对称轴为x=m，那么另一个交点D的横坐标就是2m，纵坐标与C相同为n，即可确定点D坐标；
（3）① 当∠CDF=45°时，利用等腰直角三角形的性质（DG=GF）建立关于m的方程，解出m=1或m=-1/2，再分别代入抛物线顶点公式计算出对应的顶点P坐标；
②根据“直线EF与直线MN关于平割线对称”的条件，用含m的代数式分别表示出点P到直线MN的距离和点B到直线EF的距离。然后根据“这两个距离相等”建立方程，解方程即可。
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